湖南省长沙2025年上学期九年级期末数学检测试卷附答案

上学期九年级期末数学检测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数中，是无理数的是（）A． B． C． D．02．下列几何体中，俯视图是三角形的是（）A． B． C． D．3．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.000，数据0.0000004用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．5．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于4，则的值等于（）A．2 B．8 C． D．6．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（）A． B． C． D．7．在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，问人数是多少？若设人数为人，则下列关于的方程符合题意的是（）A． B．C． D．8．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直径垂直于这条弦B．一组数据，，，，，，的众数和中位数都是C．为了了解全国中学生的睡眠情况，应该采用全面调查的方式D．反比例函数在每一象限内，随的增大而减小9．如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的度数为（）A． B． C． D．10．如图，抛物线（，，是常数，）与轴交于A、两点，顶点．给出下列结论，正确的有（）①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于的方程有实数解，则．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（每小题3分，共18分）11．甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是，，则射击成绩较稳定的是（填“甲”或“乙”）．12．已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为．13．半径为6，圆心角为的扇形的面积为（结果保留π）．14．如图，在中，，，则的长度为．15．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为．16．如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为．三、解答题（共9小题，总计72分）17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志、风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．我校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，他们在处仰望雕塑顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：）（1）求证：；（2）若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度．（结果精确到）20．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图；（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____；（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．21．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，且平分，过点作，交的延长线于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的面积．22．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元．（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？23．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．（1）求证：是的切线．（2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明．（3）若，，求的半径的长．24．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”．（1）请你判断下列说法是否正确（在相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．①函数的图象上存在“三倍点”．（）②函数的图象上有且只有一个“三倍点”．（）③函数的图象上有两个“三倍点”．（）（2）一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点是线段的中点．求证：点是“三倍点”．（3）若二次函数的图象在的范围内总有两个相异的“三倍点”，求的取值范围．25．如图，在等腰中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，．（1）_____．（2）当时，求的值；（3）设，，①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围；②设的面积为，的面积为，求的最小值．

答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】甲12．【答案】13．【答案】14．【答案】915．【答案】16．【答案】17．【答案】解：原式，，．18．【答案】解：，当时，原式．19．【答案】（1）证明：由题意可知，，，，，；（2）解：由题意可知，，，由（1）可知，，在中，，，即该雕塑的高度约为．20．【答案】（1），补全条形统计图如下，（2）（3）解：画出树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，∴，

，

平分，

，

，

，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形．（2）解：四边形是菱形，，，，，

，

，

，

∵，

四边形是平行四边形，，

，

，

的面积为36．22．【答案】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，由题意可得，

解得，．

答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元；（2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套，由题意可得：，

解得，

又为正整数，

可以取26，27，28，29；

共有4种购买方案，

设总费用为元，则，

，

随着的增大而增大，

当时，最小，最小值为，

答：共有4种购买方案，最低费用是5780元23．【答案】（1）证明：如图，连接、，是的切线，，，是直径，，，在和中，，，，在上，是的切线．（2）解：，理由如下：是的直径，，，，，，，，，，．（3）解：，

，，，，，，，，，，，．的半径的长为．24．【答案】（1）①√②√③×（2）设，则，联立得整理得：

则则

由是中点得，

即，易知，故点是“三倍点”．（3）设两个三倍点得横坐标是，，联立得

整理得，则

依题意，，

解得：或

解得：

∵在的范围内总有两个相异的“三倍点”，则，

∴，即，解得：

∴．25．【答案】（1）（2）解