多维随机变量及其分布市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件

第三章多维随机变量及其分布第1页第三章多维随机变量及其分布在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变量整体地讨论其结果.如射击时考虑子弹在靶标上位置,我们用定义在同一个样本空间S上两个随机变量X和Y分别表示子弹在靶标上横坐标与纵坐标,则子弹在靶标上位置可用二维随机变量或二维随机向量（X，Y）表示.第2页普通，设随机试验E样本空间为S={e},X=X(e)和Y=Y(e)分别是定义在同一个样本空间S上随机变量，我们称向量（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量。类似能够定义三维随机变量以及任意有限维随机变量。我们把二维及二维以上随机变量称为多维随机变量。本章主要讨论二维随机变量，其结果只要形式上加以处理，就能够推广到三维或三维以上随机变量。第3页§1二维离散型随机变量§1.1二维离散型随机变量及联合分布律第4页二维离散型随机向量(X,Y)分布律表第5页解

(X,Y)可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)联合分布律为第6页§1.2二维离散型随机变量联合分布律性质性质1

性质2证

第7页证

第8页解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)分布律为第9页§1.3二维随机变量联合分布函数第10页设二维离散型随机变量X和Y含有分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2,...)，则二维离散型随机变量(X,Y)联合分布函数为其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y来求和.第11页(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy第12页§1.4二维随机变量联合分布函数性质性质1

F(x,y)分别关于x和y单调不减.

证对任意因为

所以即

同理可证,对任意

有第13页性质3F(x,y)分别关于x和y右连续.

第14页§1.5二维连续型随机变量第15页第16页解

(1)由得所以

k=6(2)第17页解

由

则

当x>1,y>1时,所以(X,Y)联合分布函数第18页例:设二维随机向量(X,Y)含有概率密度

(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点坐标.G是xoy平面上直线y=x下方部分.第19页关于二维随机向量讨论,能够推广到n(n>2)维随机向量情况.设(X1,X2,…,Xn)为n维随机向量,对于任意n个实数x1,x2,…,xn,n元函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}称为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)分布函数或随机变量X1,X2,…,Xn联合分布函数.它含有类似于二维随机向量分布函数性质.第20页21例题：已知随机变量X和Y联合概率密度为求（X，Y）联合分布函数第21页§1.6惯用二维连续型随机变量第22页p67第23页第24页§2边缘分布第25页§2.1边缘分布函数第26页边缘分布函数完全由联合分布函数确定.第27页解

(X,Y)关于X边缘分布函数第28页解

(X,Y)关于Y边缘分布函数第29页§2.2边缘分布律第30页(1)(X,Y)关于X边缘分布律(2)(X,Y)关于Y边缘分布律第31页第32页解

P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)分布律及关于X和Y边缘分布律为第33页例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3三个盒子中.记落入第1号盒子白球个数为X,落入第2号盒子红球个数为Y.求(X,Y)分布律和关于X和Y边缘分布律.解显然有又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立,所以有第34页用表格可以下表示第35页例：已知(X,Y)联合分布律以下，且知X与Y相互独立，请将表格填写完整。Y=y1Y=y1Y=y1Pi.X=x11/8X=x11/8P.j1/61第36页§2.3边缘密度函数边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.第37页设连续型二维随机变量(X,Y)概率密度函数为f(x,y)则从而得到X和Y概率密度函数分别为第38页例:设随机变量X和Y含有联合概率密度求边缘概率密度fX(x)和fY(y).解第39页第40页解（X，Y）联合密度函数则（X，Y）关于X边缘密度函数（X，Y）关于Y边缘密度函数第41页（1）（X,Y）关于X边缘密度函数（2）（X，Y）关于Y边缘密度函数第42页§3条件分布条件分布是条件概率推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量条件分布律和关于二维连续型随机变量条件密度函数.第43页§3.1条件分布律第44页第45页第46页则在X=3条件下Y条件分布律其中如同理在Y=1条件下X条件分布律第47页§3.2条件密度函数第48页第49页第50页例：设数X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机取值。求Y概率密度。第51页§4相互独立随机变量随机变量相互独立是概率论中非常主要概念,它是随机事件相互独立推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立普通性定义,然后对两个离散性随机变量和两个连续性随机变量相互独立进行不一样处理.第52页第53页第54页第55页证

X与Y联合分布律与边缘分布律如表所表示:第56页例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3三个盒子中.记落入第1号盒子白球个数为X,落入第2号盒子红球个数为Y.求(X,Y)分布律,并判断随机变量X和Y是否相互独立.解显然有又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立,所以X和Y是相互独立,且有第57页用表格可以下表示第58页解

(1)第59页例:设随机向量(X,Y)概率密度函数为试证X和Y相互独立.解于是有

f(x,y)=fX(x)fY(y)所以X和Y相互独立.第60页解(1)X与Y密度函数分别为因为X与Y相互独立,所以(X,Y)联合密度函数第61页解

(2)因为所以第62页证关于X与Y边缘密度函数分别为则X与Y相互独立充分必要条件是

即

第63页第64页例：一责任人抵达办公室时间均匀分布在8~12时，他秘书抵达办公室时间均匀分布在7~9时，设他们两人抵达时间相互独立，求他们抵达办公室时间相差不超出5分钟概率。第65页§5两个随机变量函数分布处理两个随机变量函数分布方法与一个随机变量函数分布方法是一样,只是前者要比后者复杂得多.有鉴于此,我们仅仅对几个特殊情形加以讨论.第66页§5.1Z=X+Y分布解Z为离散型随机变量,其可能取值是0,1,2,3，则Z0123P{Z=k}0.100.400.350.15第67页解

(1)求Z分布函数(2)求Z密度函数由X与Y对称性,得假如X与Y相互独立则有第68页例：设X与Y相互独立，且都在（-a,a）上服从均匀分布，求Z=X+Y分布。（a>0）第69页定理表明：相互独立且都服从正态分布随机变量线性组合也服从正态分布.第70页§5.2、分布设(X,Y)

为二维连续型随机变量，它含有概率密度f(x,y),则、仍为连续型随机变量，其概率密度分布为：第71页若X与Y相互独立，设（X,Y)关于X,Y边缘概率密度分布为，则上两式可化为：§5.2、分布第72页§5.3Z1=max{X,Y}和Z2=min{X,Y}分布解

即Z1=max{X,Y}分布函数为第73页解

即Z2=min{X,Y}分布函数为第74页第75页解系统寿命Z=min{X,Y}(1)求Z分布函数当z>0时,第76页(2)求Z密度函数因为X与Y都服从U(0,1000),则所以第77页例:设系统L由两个相互独立子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作）.设L1，L2寿命X和Y概率密度分别为其中α>0,β>0,且α≠β.试分别就以上三种联接方式写出L寿命Z概率密度.第78页解X和Y分布函数分别为因为当L1，L2中有一个损坏时,系统L就停顿工作,所以这时L寿命为Z=min{X,Y},其分布函数为于是Z=min{X,Y}概率密度为（1）串