《线性代数》总复习省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

《线性代数》总复习.121/23

第二章第四节分块矩阵第四章第五节向量空间第五章后几节二次型部分此次期末考试不考内容2/23齐次线性方程组有非零解充分条件化三角法递推法数学归纳法降阶展开法拆项法

…行列式概念性质展开式计算应用3/23行列式1、二阶三阶行列式计算4/232、n阶行列式计算性质1行列式与它转置行列式相等.性质2交换行列式两行（列）,行列式变号.性质3行列式某一行（列）中全部元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.性质４行列式中假如有两行（列）元素成百分比，则此行列式为零．(1)利用行列式性质计算（化为三角形）5/23性质5若行列式某一列（行）元素都是两数之和.性质６把行列式某一列（行）各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应元素上去，行列式不变．(2)利用行列式展开计算定理行列式等于它任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积之和，即6/23m×n个数组成m行n列数表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩阵

A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,A+(

A)=O,数乘：kA=k(aij)k(lA)=(kl)A,

(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kBcij=

aikbkj.k=1s矩阵乘法：AB=C，其中C是m×n矩阵.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵秩初等变换7/23转置：A=(aij),AT=(aji)方阵行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.设A=[aij]n

n为方阵,元素aij代数余子式为Aij,则称以下矩阵为方阵A伴随矩阵.矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵秩初等变换8/23定义:

设A为方阵,若存在方阵B,使得

AB=BA=E.

则称A可逆,并称B为A逆矩阵.

注意：A可逆

detA≠0(A1)1=A.

(AT)1=(A1)T.

(kA)1=k1A1.

(AB)1=B1A1.

运算性质逆阵求法:定义法用伴随矩阵用初等行变换(A

E)→(E

A-1)逆阵证法:

A

≠0，R(A)=n,反证法矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵秩初等变换9/23单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：非0子式最高阶数求法：初等变换或定义法性质：经初等变换矩阵秩不变几个惯用初等变换行阶梯矩阵、行最简型、标准型矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵秩初等变换10/23线性方程组Ax=bb=0?齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R(A)

nR(A)＝R(Ab)解结构基础解系有没有非零解有解判定线性方程组11/231.解判定

(1)齐次线性方程组有非零解充要条件定理3.1.

Am

nx=0有非零解

r(A)<n.

A列向量组

1,

2,…,

n

线性相关特殊,An

nx=0有非零解|A|=0.

12/23(2)非齐次线性方程组有解充要条件定理3.4.设ARm

n,bRm,则

(3)当秩([A,b])=秩(A)<n时,Ax=b有没有穷解,且通解中含有n

秩(A)

个自由未知量.(1)Ax=b有解(2)当秩([A,b])=秩(A)=n时,Ax=b有唯一解;秩([A,b])=秩(A);2.解结构

(1)齐次线性方程组基础解系及通解若

1,

2,…,

s是Ax

=0一个基础解系,则应该满足三条:13/23

(2)非齐次线性方程组解结构及普通解。(a)

1,

2,…,

s是Ax

=0解向量;

(b)

1,

2,…,

s是线性无关；

(c)Ax=0每个解都能够由

1,

2,…,

s线性表示。Ax=b普通解为

x=

+k1

1

+…+kn

r

n

r

.

14/23n维向量运算线性表示线性相关性k1

1+k2

2+…+kn

n=0

ki均为0，则

1,

2,…,

n线性无关

只要有一个ki不为0，

1,

2,…,

n

线性相关

极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量组成向量组是A一个最大线性无关组。求法：非零子式法、初等变换法极大无关组包含向量个数极大无关组向量组秩15/23向量组与矩阵关系矩阵A=(

1,

2,…,

s)

列向量组:

1,

2,…,

s

注：行向量问题与列向量相同矩阵A秩R(A)向量组秩RT

最高阶非零子式最大线性无关组

16/23线性无关

A

E

A=P1…Ps

线性相关17/23定义：向量内积

对称性:

[

,

]=[

,

];(2)线性性:

[k1

1+k2

2,

]=k1[

1,

]+k2[

2,

];(3)[

,

]0;且[

,

]=0

=0.(4)|[

,

]|[

,

][

,

].性质：正交：施密特(Schmidt)正交化方法若[

,

]=0,则称

与

正交.正交矩阵A为正交矩阵ATA=E

18/23(

E–A)

=0基础解系法方阵特征值和特征向量特征值与特征向量A

=

，

≠0定义求法性质相同矩阵实对称阵特征值特征向量定义法特征方程|

E–A|=0定义法

1+…+

n=tr(A).

1…

n=|A|.A

可逆

1,…,

n全不为零.|

E–A|=|

E–AT|.19/23概念求法性质相同矩阵实对称阵特征值与特征向量矩阵相同，则其特征值相同。不一样特征值特征向量线性无关。A有n个线性无关特征向量P-1AP=BA有n个不一样特征值A是实对称阵

定义矩阵可对角化条件应用An=P-1

nP第四章方阵特征值和特征向量20/23概念求法性质相同矩阵实对称阵特征特征值与特征向量必可相同对角化不一样特征值特征向量相互正交特征值全是实数k重特征值必有k个线性无关特征向量与对角阵协议第四章方阵特征值和特征向量21/23矩阵等价、相同、协议联络与区分

A,B∈Mn,

A与B相同

存在可逆矩阵P，使P-1AP=BA与B协议

存在可逆矩阵C，使CTAC=B

A,B∈Mm×n,

A与B等价

存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B第四章方阵特征值和特征向量22/23实对称阵对角化步骤求A全部特征值依据（全部特征值重根次数之和等于n）对每个ki重特征值

i求方程(A-

iE)x=0基础解系得出对应于特征值

ik