山东省烟台市牟平县姜格庄镇职业高级中学高三数学理测试题含解析

山东省烟台市牟平县姜格庄镇职业高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合，，则下列关系中，正确的是(

)A．

；B.；C.；D.参考答案：D2.复数z满足，则A.2i

B.2

C.i

D.1参考答案：D3.设是虚数单位，表示复数的共轭复数，若=1+，则+·=（A）-2

（B）-2i（C）2

（D）2i参考答案：C4.设全集是实数集，M={|＞4}，N＝{|}，则右图中阴影部分表示的集合是(

)A．{x|－2≤x＜1

B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2

D．{x|x＜2}参考答案：C5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图如图所示，若输出的，则的值可以是（

）（参考数据：）A．3.14 B．3.1 C．3 D．2.8参考答案：B输入n=6，进入循环由题可知不满足，进入循环由题可知不满足，进入循环由题可知满足，输出，此时故选B

6.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为(

)A．

B．

C．1

D．参考答案：7.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为

A．6

B．4

C．2

D．参考答案：C略8.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是

（

）A．－2 B． C． D．－1参考答案：B建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则，设，则，则，当时，取得最小值.故选：B.

9.已知向量，，若，则（

）A．4

B．-4

C．2

D．-2参考答案：A因为//，故，解得，故选A.10.已知函数f（x）=下列命题正确的是（）A．若f1（x）是增函数，f2（x）是减函数，则f（x）存在最大值B．若f（x）存在最大值，则f1（x）是增函数，f2（x）是减函数C．若f1（x），f2（x）均为减函数，则f（x）是减函数D．若f（x）是减函数，则f1（x），f2（x）均为减函数参考答案：D考点：命题的真假判断与应用；函数单调性的性质．专题：规律型．分析：举例来判断A、B、C是否正确；根据函数单调性的定义判断D是否正确．解答：解：对A，若f1（x）=x；f2（x）=，满足若f1（x）是增函数，f2（x）是减函数，而f（x）不存在最大值，故A错误；对B，若f1（x）=0；f2（x）=sinx，满足f（x）存在最大值，而f1（x）不是增函数，f2（x）也不是减函数，∴B错误；对C，若f1（x）=﹣x；f2（x）=，满足f1（x），f2（x）均为减函数，而f（x）在其定义域内不是减函数，∴C错误；对D，根据减函数的定义，D正确．故选D点评：本题借助考查命题的真假判断，考查分段函数的单调性．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设正三棱柱ABC﹣A'B'C'中，，则该正三棱柱外接球的表面积是．参考答案：20π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．【解答】解：由正三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距d=1，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=5，∴外接球的表面积S=4πR2=4π×5=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．12.已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA=2cm，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点B，AB=cm，则△ABC的面积为

cm2。参考答案：略13.已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=

.参考答案：试题分析：由题意，解得所以，14.已知，则______________.参考答案：15.若函数有3个不同零点，则实数的取值范围是

参考答案：-2＜a＜2试题分析：由函数有三个不同的零点，则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；由，解得，所以函数f（x）的两个极，，，∴函数的极小值f（1）=a-2和极大值f（-1）=a+2．因为函数有三个不同的零点，所以a+2>0,a-2<0，解之，得-2＜a＜2．故实数a的取值范围是A.考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.函数的零点.16.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.参考答案：160

总体中男生与女生的比例为，样本中男生人数为.17.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是____________.参考答案：②③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形,且M,N分别为PA与BC的中点（1）求证：CD⊥平面PAD（2）求证：MN∥平面PCD；

（3）在四棱锥P-ABCD的表面上任取一个点，求这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率．参考答案：19.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）在△中，内角、、的对边分别是、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为△的面积，求的最大值，并指出此时的值．参考答案：20.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，且AC⊥BD．（Ⅰ）求证：B1C∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求证：AC⊥B1D；（Ⅲ）若AD=2AA1，判断直线B1D与平面ACD1是否垂直?并说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，，，∴．

∵，，…（2分），∴．

…………（3分）又因为．∴平面

．

……（4分）又因为，∴

．

……（5分）

（Ⅱ）证明：∵，

∴…………（6分）又∵，，∴．………（7分）又∵．∴．

……………（8分）（Ⅲ）结论：直线与平面不垂直．证明：假设，由，得．

……（9分）由棱柱中，，，可得，．

又∵，∴．

……（11分）∴．又∵，∴．…（12分）∴．这与四边形为矩形，且矛盾．故直线不垂直．

…（13分）21.（本小题满分12分）已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为，，且.已知,若不等式恒成立,求的范围.参考答案：见解析考点：导数的综合运用解：(Ⅰ)函数的定义域为，

所以方程在有两个不同根．

即，方程在有两个不同根．…1分

转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点，

可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须．

令切点，所以，又，所以，

解得，，于是，所以．

（Ⅱ）因为等价于．

由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，即，

所以原式等价于，

因为，，所以原式等价于．

又由，作差得，，即．

所以原式等价于，

因为，原式恒成立，即恒成立．令，，

则不等式在上恒成立．

令，又，

当时，可见时，，所以在上单调增，又，

在恒成立，符合题意．

当时，可见时，，时，

所以在时单调增，在时单调减