湖南省张家界市市永定区桥头中学高三数学理期末试题含解析

湖南省张家界市市永定区桥头中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(1)与f(－1)

B．f(－1)与f(1)

C．f(2)与f(－2)

D．f(－2)与f(2)

参考答案：D2.函数的周期为2,当时,,，则函数的所有零点之和为()A．2

B．8

C．6

D．4 参考答案：B3.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：因为,故,故应选B.考点：二倍角公式及运用.5.如图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．设函数是图中阴影部分介于平行线及轴之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为（

）

参考答案：略6.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩?UB=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，?UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩?UB={2，5}．故选：B．7.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为(

)A.4 B.5 C.8 D.9参考答案：B【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B．【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.8.在中，，如果不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则(

)A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．10.平面的斜线AB交于点B，斜线AB与平面成角，过定点A的动直线l与斜线AB成的角，且交于点C，则动点C的轨迹是

（）A．圆

B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足，则的最小值为______.参考答案：－3【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为．

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

12.已知函数f（x）=cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=；③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）；④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．其中正确的结论序号参考答案：②③④【分析】化简函数f（x），由定义判断函数f（x）不是奇函数，判断①错误；由f（）=1取得最大值，得出直线x=是f（x）的一条对称轴，判断②正确；由f（）=0，得出点（，0）是f（x）的一个对称中心，判断③正确；由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间，判断④正确．【解答】解：函数f（x）=cos（2x+）﹣cos2x=﹣cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x+），其中x∈R：对于①，f（﹣x）=﹣sin（﹣2x+）=sin（2x﹣）≠﹣f（x），∴函数f（x）不是奇函数，①错误；对于②，当x=时，f（）=﹣sin（2×+）=1为最大值，∴函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=，②正确；对于③，当x=时，f（）=﹣sin（2×+）=0，∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0），③正确；对于④，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，④正确．综上，正确的结论序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．13.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；②任意相邻的两项，满足.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列1,2,3,4,5,6__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii）若，则数列__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.参考答案：是

是【分析】依据定义检验可得正确的结论.【详解】若数列为1,2,3,4,5,6，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，故1,2,3,4,5,6为“有趣数列”.若，则，.，故.,故.，故.综上，为“有趣数列”.故答案为：是，是.【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.

14.已知命题：，．则命题的否定：

．参考答案：（3分），略15.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为______________.参考答案：由题意知点P的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为16.若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是

.参考答案：17.函数且在上，是减函数，则n=_______________.参考答案：1或2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜﹣2．∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}（2）不等式f（x）＞0的解集为R，∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，∴△=a2﹣4×6＜0?﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是（﹣2，2）【点评】本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．19.

己知数列{}是首项和公比均为的等比数列，设，数列{}满足．

(I)求证数列{bn}是等差数列；（II）求数列{}的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，， ……2分（常数），∴数列是首项公差的等差数列.

……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,

…………6分于是,两式相减得

……11分.

……12分略20.已知F1，F2为椭圆：的左右焦点，点为其上一点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。【详解】解：（1）由题可知，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，由，得，由韦达定理得：，，由得或.又因为原点在线段为直径的圆外部，则，，即，综上所述：实数的取值范围为21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知，，，.(1)求证：；(2)求点到平面的距离.参考答案：（1）因为侧面,侧面，故,

………………2分在中,由余弦定理得：，所以故,所以,

………………4分而

………………6分（2）点转化为点，，

………………8分

………………10分又

所以点到平面的距离为

………………12分22.已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B． （Ⅰ）求点P的坐标； （Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标． 参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标； （Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果． 【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则， 所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．… （Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2． 当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1； 当y1≠﹣2时，直线AP的方程为， 化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0； 综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0． 与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为． 因为，