四川省成都市君平街中学高三数学文上学期摸底试题含解析

四川省成都市君平街中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是的（

）（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）不充分不必要条件参考答案：A略2.设集合,集合，则集合中有___个元素A．4

B．5

C．6

D． 7 参考答案：∵，所以，∴中有6个元素，故选．3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.参考答案：C【分析】将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数的取值范围.【详解】函数有6个零点，等价于函数与有6个交点，当时，，当时，，，当时，递增，当时，递减，的极大值为：，作出函数的图象如下图，与的图象有6个交点，须，表示为区间形式即.故选：C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.若（i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】按照复数的运算法则，先将化为形式，再按照复数的几何意义，即可求解.【详解】复数对应的点在第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题.5.函数的图像向右平移()个单位后，与函数

的图像重合．则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C试题分析：函数向右平移()个单位后得:,则,即,故,故当时,,选C.考点：正弦余弦函数的图象．6.若x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）A.－2 B.1 C.－7 D.－3参考答案：C【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.故选C.

7.f（x）=sinωx+cosωx，x∈R，f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值为，则正数ω=(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意可得，|α﹣β|的最小值为==，由此求得正数ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），x∈R，f（α）=﹣2，f（β）=0，故|α﹣β|的最小值为==，则正数ω=，故选：B．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象特征，属于基础题．8.设、分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使得，则双曲线的离心率为

（

）A．2 B． C． D．参考答案：D略9.已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为()参考答案：C略10.已知函数的图象关于对称，当时，，且，若，则（

）A．

B．C．可能为

D．可正可负参考答案：B试题分析：由题设可得,故,所以函数是减函数.又因,故且关于对称,所以,所以,故应选B.考点：对数函数的图象和性质及运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围为__________．参考答案：由题意，可求得交点坐标为，如图所示，要使直线上存在点满足约束条件，则．12.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.85x﹣0.25．由以上信息，得到下表中c的值为

．天数t（天）34567繁殖个数y（千个）2.5344.5c参考答案：6【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于c的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（3+4+5+6+7）=5，=（2.5+3+4+4.5+c）=∴这组数据的样本中心点是（5，）把样本中心点代入回归直线方程=0.85x﹣0.25∴=0.85×5﹣0.25，∴c=6故答案为：6【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．13.已知与之间的几组数据如下表：34562.5344.5假设根据上表数据所得线性回归方程为，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为，则，．（填“”或“”）参考答案：，试题分析：由数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为，而由图表中数据所得线性回归方程为，所以.考点：线性回归方程.14.设函数，若方程有12个不同的根，则实数t的取值范围为________．参考答案：得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则所以t取值的范围．故答案为：。点睛：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数判断函数的极值和单调性，以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．一般这种成为复合函数方程的根，分别设内层外层函数，内外层单独研究。15.下列四种说法中正确的是

.①“若<,则a<b”的逆命题为真；②线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点，…，中的一个点；

③若实数x,y∈[0.1],则满足：＞1的概率为；

④用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=13…(2n-1)(n∈N*)时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2(2k+1).参考答案：④“若<,则a<b”的逆命题为“若a<b,则<”为假命题，当不成立。线性回归方程对应的直线一定过，不一定过样本点。在第一象限内圆的面积为，所以＞1的概率为，所以正确的命题是④。16.已知定义在R上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．参考答案：【分析】先根据构造差函数，再根据条件化为一元函数，利用导数确定其单调性，最后根据单调性解不等式，解得结果.【详解】由，可得，即.因为，所以问题可转化为恒成立，记，所以在上单调递增.又，所以当时，恒成立，即实数的取值范围为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.17.已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为．参考答案：3【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由可得x+y=3；化简=?+?=++，从而利用基本不等式求最值．【解答】解：∵，∴x﹣3=﹣y；即x+y=3；故=?+?=++≥+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：3．【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21:4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

参考答案：解（1）设，，记，则，

由，

化简得，解得或（舍去），所以，．

答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，

即

记，则，

令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.

答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.

19.（12分）已知点P是圆外一点，设k1,k2分别是过点P的圆C两条切线的斜率。

（1）若点P坐标为（2，2），求k1·k2的值；

（2）若k1·k2=，求点P的轨迹M的方程，并指出曲线M所在圆锥曲线的类型。参考答案：解析：（1）设过点P的切线斜率为k，方程为其与圆相切则…………4分（2）设点P坐标为，过点P的切线斜率为k,则方程为即化简得………………6分因为存在，则，且是方程的两个根，所以，化简得即所求的曲线M的方程为………………8分若所在圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线；若所在圆锥曲线是焦点在y轴上的双曲线；若所在圆锥曲线是焦点在x轴上的椭圆；若所在圆锥曲线是圆；若所在圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆.………………12分20.（本小题满分12分）已知函数

（1）求的值.

（2）求的最大值和最小值.参考答案：解：（1）=

………5分（2）

……………………7分因为,所以，当时，取得最大值，最大值为2；

………………10分当时，取得最小值，最小值为-1.……12分21.已知函数，且。（1）求的值；（2）设，；求的值参考答案：（1）

（2）

22.有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点,．

（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

参考答案：（1）在图甲中，连接交于点．设，在中，因为，所以，则．从而，即.

……………2分故所得柱体的底面积.

……………4分又所得柱体的高，所