电路第五版高等教育出版社邱关源著教案上省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

动态电路方程及其初始条件7-1一阶电路和二阶电路阶跃响应7-7一阶电路零输入响应7-2一阶电路和二阶电路冲激响应7-8一阶电路零状态响应7-3卷积积分*7-9一阶电路全响应7-4状态方程*7-10二阶电路零输入响应7-5二阶电路零状态响应和全响应7-6动态电路时域分析中几个问题*7-11首页本章重点第七章一阶电路和二阶电路时域分析(上）1/77一阶和二阶电路零输入响应、零状态响应和全响应概念及求解重点一阶和二阶电路阶跃响应概念及求解1.动态电路方程建立及初始条件确实定返回2/77含有动态元件电容和电感电路称为动态电路。1.动态电路7-1动态电路方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时(换路)，需要经历一个改变过程才能到达新稳定状态。这个改变过程称为电路过渡过程。下页上页特点返回3/77下页上页返回500kV断路器4/77Oti过渡期为零电阻电路下页上页+-USR1R2（t=0）i返回5/77电容电路下页上页S+–uCUSRCi(t=0)+-(t→∞)+–uCUSRCi+-返回i=0,uC=USi=0,uC=0S接通电源后很长时间，电容充电完成，电路到达新稳定状态：S未动作前，电路处于稳定状态：前一个稳定状态过渡状态新稳定状态t1USuCtO?i有一过渡期6/77uL=0,i=US/Ri=0,uL=0S接通电源后很长时间，电路到达新稳定状态，电感视为短路：S未动作前，电路处于稳定状态：电感电路下页上页前一个稳定状态过渡状态新稳定状态t1US/RitO?uL有一过渡期返回-S+–uLUSRLi(t=0)+(t→∞)+–uLUSRLi+-7/77下页上页S未动作前，电路处于稳定状态：uL=0,i=US

/RS断开瞬间i=0,uL=∞工程实际中在切断电容或电感电路时会出现过电压和过电流现象。注意返回(t→∞)+–uLUSRLi+-S+–uLUSRLi(t

∞)+8/77过渡过程产生原因

电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生改变，而能量储存和释放都需要一定时间来完成。电路结构、状态发生改变换路支路接入或断开电路参数改变下页上页返回9/77应用KVL和电容VCR得若以电流为变量2.

动态电路方程下页上页(t>0)+–uCuSRCi+-RC电路返回10/77应用KVL和电感VCR得若以电感电压为变量下页上页RL电路返回(t>0)+–uLuSRi+-11/77含源电阻电路一个动态元件一阶电路下页上页结论含有一个动态元件电容或电感线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称为一阶电路。返回12/77二阶电路下页上页RLC电路应用KVL和元件VCR得含有二个动态元件线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称为二阶电路。返回(t>0)+–uLuSRi+-CuC＋－13/77一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路方程是一阶线性微分方程。描述动态电路电路方程为微分方程。动态电路方程阶数通常等于电路中动态元件个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回14/77高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路方程是高阶微分方程。动态电路分析方法依据KVL、KCL和VCR建立微分方程。下页上页返回15/77复频域分析法时域分析法求解微分方程。经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法傅氏变换本章采取工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下页上页返回16/77稳态分析和动态分析区分稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程特解恒定或周期性激励换路发生后整个过程微分方程通解任意激励下页上页直流时返回17/77

t=0＋与t=0－概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路初始条件初始条件为t=0＋时，u、i

及其各阶导数值。下页上页注意Of(t)0－0＋t返回18/77图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo，求开关闭合后电容电压随时间改变。例1-1解特征根方程：通解：代入初始条件得：在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答必需条件。下页上页明确R－+CiuC(t=0)返回19/77t=0+

时刻iuCC+-电容初始条件0下页上页当i(

)为有限值时返回20/77q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。q

=CuC电荷守恒下页上页结论返回21/77电感初始条件t=0+时刻0下页上页当uL为有限值时返回iLuLL+-22/77

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。下页上页结论返回=LiL23/77

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qC(0+)=qC(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立条件。换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前、后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前、后保持不变。换路定律反应了能量不能跃变。下页上页注意返回24/77电路初始值确实定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0+)iC(0－)例1-2求

iC(0+)。电容开路下页上页+-10ViiC+uC-S10k

40k

+-10V+uC-10k

40k

+8V-0+等效电路+-10ViiC10k

电容用电压源替换注意返回25/77iL(0+)=iL(0－)=2A例1-3t=0时闭合开关S,求

uL(0+)。先求应用换路定律:电感用电流源替换解电感短路下页上页iL10V1

4

+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-注意返回iL+uL-L10VS1

4

+-26/77求初始值步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)。2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量0+值。(2)电容（电感）用电压源（电流源）替换。(1)换路后电路;（取0+时刻值，方向与原假定电容电压、电感电流方向相同）。下页上页小结返回27/77iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)。例1-4解由0－电路得下页上页由0+电路得RiS0－电路uL+–iCRiSRiS+–返回S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiC28/77例1-5求S闭合瞬间各支路电流和电感电压。解下页上页由0－电路得由0+电路得iL2

+-48V3

2

+－uC返回iL+uL-LS2

+-48V3

2

C12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL29/777-2一阶电路零输入响应换路后外加激励为零，仅有动态元件初始储能产生电压和电流。1.RC电路零输入响应已知

uC

(0－)=U0uR=Ri零输入响应下页上页iS(t=0)+–uRC+–uCR返回30/77特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0返回iS(t=0)+–uRC+–uCR31/77下页上页或返回32/77tU0uCOI0tiO令

=RC,称

为一阶电路时间常数。电压、电流是随时间按同一指数规律衰减函数。连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC相关。下页上页表明返回33/77时间常数

大小反应了电途经渡过程时间长短

=RC

大——过渡过程时间长

小——过渡过程时间短电压初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuCO

小

大C

大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义下页上页返回34/77

:电容电压衰减到原来电压36.8%所需时间。工程上认为,经过3

5

,过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下页上页注意返回35/77

＝

t2－t1

t1时刻曲线斜率等于U0tuCO

t1t2次切距长度下页上页返回时间常数

几何意义：切点在定直线(x轴)上垂足,到切线与定直线交点间距离.36/77能量关系电容不停释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完成。设

uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：下页上页返回uCR+－Ci37/77例2-1图示电路中电容原充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间改变规律。解这是一个求一阶RC

零输入响应问题，有+uC4

5F－i1t>0等效电路下页上页i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回38/77分流得下页上页返回+uC4

5F－i1i3S3+uC2

6

5F－i2i139/77下页上页例2-2求:图示电路S闭合后各元件电压和电流随时间改变规律。解这是一个求一阶RC

零输入响应问题，有u

(0+)=u(0－)=-20V返回U1(0-)=4VuSC1=5F++---iC2=20FU2(0-)=24V250k+40/77下页上页uS4F++--i-20V250k返回41/772.

RL电路零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下页上页返回iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR42/77tI0iLO连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减函数。下页上页表明-RI0uLtO返回iL+–uLR43/77响应与初始状态成线性关系，衰减快慢与L/R相关。下页上页令

称为一阶RL电路时间常数

=L/R时间常数

大小反应了电途经渡过程时间长短。L大

W=LiL2/2

初始能量大R小

p=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢，

大

大——过渡过程时间长

小——过渡过程时间短物理含义电流初始值iL(0)一定：返回44/77能量关系电感不停释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完成。设

iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：下页上页返回iL+–uLR45/77iL

(0+)=iL(0－)=1AuV(0+)=－10000V

造成V损坏。例2-3t=0时,打开开关S，求uV。电压表量程：50V。解下页上页返回iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V46/77例2-4t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解下页上页t>0返回i+–uL6

6HiLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

1247/77下页上页返回iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12i+–uL6

6H48/77一阶电路零输入响应是由储能元件初始值引发响应,都是由初始值衰减为零指数衰减函数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路：RL电路：下页上页小结返回49/77一阶电路零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数

。同一电路中全部响应含有相同时间常数。下页上页小结

=RC

=L/RR为与动态元件相连一端口电路等效电阻。RC电路RL电路返回50/77动态元件初始能量为零，由t>0时刻电路中外加激励作用所产生响应。方程：7-3一阶电路零状态响应解答形式为：1.RC电路零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0+–非齐次线性常微分方程返回51/77与输入激励改变规律相关，为电路稳态解。改变规律由电路参数和结构决定。通解通解（自由分量，瞬态分量）特解（强制分量）特解下页上页返回52/77全解uC

(0+)=A+US=0

A=－US由初始条件uC

(0+)=0定积分常数

A下页上页从以上式子能够得出返回53/77－USuC"uC′UStiOtuCO电压、电流是随时间按同一指数规律改变函数；电容电压由两部分组成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）瞬态分量（自由分量）下页上页表明+返回54/77响应改变快慢，由时间常数＝RC决定；

大，充电慢，

小充电就快。响应与外加激励成线性关系。能量关系：电容储存能量电源提供能量电阻消耗能量电源提供能量二分之一消耗在电阻上，二分之一转换成电场能量储存在电容中。下页上页表明RC+-US返回55/77例3-1t=0时,开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流；(2)uC＝80V时充电时间t。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC＝80V下页上页500

10

F+-100VS+－uCi返回56/772.RL电路零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为tiLO下页上页返回iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—57/77uLUStO下页上页返回iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—58/77例3-2t=0时,开关S打开，求t>0后iL、uL改变规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有t>0下页上页返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq59/77例3-3t=0开关S打开，求t>0后iL、uL及电流源电压。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有下页上页t>0返回iLS+–uL2H10

2A10

5

+–uiL+–uL2HUocReq+－60/777-4一阶电路全响应电路初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应下页上页解答为

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回S(t=0)US+–uRC+–uCRi61/77uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0A=U0

-US由初始值定A下页上页强制分量(稳态解)自由分量(瞬态解)返回62/772.全响应两种分解方式uC"-USU0瞬态解uC'US稳态解U0uC全解tuCO全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(瞬态解)着眼于电路两种工作状态物理概念清楚下页上页返回63/77全响应=零状态响应

+

零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算下页上页零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0返回S(t=0)USC+–RuC(0－)=0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U064/77零状态响应零输入响应tuCOUS零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回65/77例4-1t=0

时,开关S打开，求t>0后iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有零输入响应：零状态响应：全响应：