均值不等式主题教育课件市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

1/792/793/794/795/796/797/798/799/7910/791.函数f(x)=最大值为()(A)(B)(C)(D)1【解析】选B.∵x≥0，(1)当x=0时，f(0)=0；(2)当x＞0时，当且仅当即x=1时取等号.故选B.11/792.已知m＞0,n>0且mn≥81,则m+n最小值为()(A)18(B)36(C)81(D)243【解析】选A.∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴≥9,∴m+n≥≥18.12/793.函数y=x+值域为______.【解析】|y|=|x+|=|x|+≥=4当且仅当|x|=即x=±2时取等号，∴|y|≥4∴y≤-4或y≥4.答案：(-∞,-4］∪［4,+∞)13/794.已知a、b为正实数，=10,则a+2b最小值为_____.【解析】∵a＞0,b＞0,=10∴a+2b=(a+2b)×10答案：14/795.某农场计划建造一个室内面积为800m2矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽通道，沿前侧内墙保留3m宽空地.当矩形温室边长各为______、_______时蔬菜种植面积最大.15/79【解析】设矩形温室左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800.蔬菜种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).所以S≤808-=648(m2).当a=2b,a=40m,b=20m时，S最大.答案：40m20m16/7917/7918/7919/791利用均值不等式求最值【例1】(1)求+a取值范围.(2)已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求最小值.【审题指导】利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.惯用方法为：拆、凑、代换、平方.20/79【自主解答】(1)显然a≠2，当a＞2时，a-2＞0.21/79(2)∵x＞0,y＞0，且x+y=1，22/79【规律方法】为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子进行恒等变形，利用均值不等式求最值焦点在于凑配“和”与“积”，而且在凑配过程中就应考虑到等号成立条件.23/79【互动探究】把(2)中条件改为x＞0,y＞0且求x+y最小值.【解析】∵x＞0，y＞0且当且仅当即2x=时取等号,∴x+y最小值为24/79【变式训练】(1)(·浙江高考)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy最小值是_______．【解析】xy=2x+y+6≥+6,令xy=t2,可得t2--6≥0，注意到t＞0，解得t≥故xy最小值为18.答案：1825/79(2)求函数最小值.【解析】令x+1=t,则x=t-1，t>0当且仅当t=即t=2亦即x=1时取等号，∴ymin=9.26/792利用均值不等式求范围问题【例2】已知a、b∈R，a+b+a2+b2=24，则a+b取值范围是_______.【审题指导】利用≥ab(a,b∈R)求解.27/79【自主解答】∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,即a2+b2≥当且仅当a=b时取“=”.∴24-(a+b)=a2+b2≥当且仅当a=b时取“=”，即(a+b)2+2(a+b)-48≤0,解关于a+b二次不等式，得-8≤a+b≤6.答案：［-8，6］28/79【规律方法】利用≥ab(a,b∈R)求最值时，要注意和a+b为定值时，平方和a2+b2有最小值,平方和a2+b2为定值时，和a+b有最大值.29/79【变式训练】已知a＞0，b＞0，a,b等差中项是且求α+β取值范围.【解析】∵a,b等差中项是∴a+b=1,α+β=(a+)+(b+)=(a+b)+(+)=30/7931/79均值不等式实际应用【例3】某食品加工厂定时购置玉米，已知该厂天天需用玉米6吨，每吨玉米价格为1800元，玉米保管等其它费用为平均每吨天天3元，购置玉米每次需支付运费900元．求该厂多少天购置一次玉米，才能使平均天天所支付费用最少?【审题指导】平均天天所支付费用=先列出平均天天所支付费用函数解析式，再利用均值不等式求其最值.332/79【自主解答】设该厂应每隔x天购置一次玉米，其购置量为6x吨，由题意知，玉米保管等其它费用为3［6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1］设平均天天所支付费用为Y1元，则当且仅当即x=10时取等号.该厂每隔10天购置一次玉米,才能使平均天天所支付总费用最少.33/79【规律方法】均值不等式实际应用题特点：(1)问题背景是人们关心社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当利用均值不等式求最值时，若等号成立自变量不在定义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可依据变量范围用对应函数单调性求解．34/79【变式训练】围建一个面积为360m2矩形场地，要求矩形场地一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面新墙上要留一个宽度为2m进出口，已知旧墙维修费用为45元/m,新墙造价为180元/m,设利用旧墙长度为x(单位：m)，所需费用为y元.(1)将y表示为x函数；(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙总费用最少，并求出最少总费用.35/79【解析】(1)设矩形另一边长为am，则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360由已知xa=360,得所以y=225x+-360(x>0).(2)∵x＞0，∴225x+≥=10800,∴y=225x+-360≥10440，当且仅当时，等号成立.即当x=24m时，修建此矩形场地围墙总费用最少，最少总费用是10440元.36/79用均值不等式证实简单不等式【例】证实不等式a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.【审题指导】先把原不等式进行等价转化为2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)，再利用均值不等式、同向不等式可加性即可.37/79【规范解答】∵2(a4+b4+c4)=(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4),a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.38/79【规律方法】证实不等式时，可依据求证式两端式子结构，合理选择均值不等式及变形式来证．同时要从整体上把握不等式,如a4+b4≥2a2b2是对均值不等式灵活利用．本题先局部利用均值不等式，然后用不等式性质，经过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证不等式，这种证实方法在证实这类对称不等式时含有一定普遍性．39/79【变式备选】已知a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=1，求证≥9.【证实】因为a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=1,所以40/7941/79利用均值不等式求最值解题技巧【典例】(·四川高考)设a＞b＞c＞0，则最小值是()(A)2(B)4(C)2(D)542/79【审题指导】经过拆、拼、凑创造条件，利用均值不等式求最值，但要注意等号成立时条件.【规范解答】选B.原式=(a2-10ac+25c2)++ab+43/79【创新点拨】拆、拼、凑典范：本题求多个和式最小值，故可选取均值不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，关键点在于使目标出现形式.利用均值不等式求最值解题技巧：①代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式；②拆、拼、凑，目标只有一个，出现定值.44/79【变式训练】设x为正实数且x2+=1，求最大值.【解析】∵x＞0，45/7946/791.(·日照模拟)以下结论正确是()(A)x∈R，使2x2-x+1＜0成立(B)(C)最小值为2(D)0＜x≤2时，函数y=x-有最大值为47/79【解析】选D.∵2x2-x+1=2(x-)2+≥＞0，∴x∈R，都有2x2-x+1＜0不成立；∵x＞1,都有成立，∴x＞0，都有lgx+≥2不成立；若则当且仅当x2+2=1时，不等式取等号，显然不可能；当0＜x≤2时，函数y=x-为增函数，其最大值为即此结论正确，故应选D.48/792．(·重庆高考)已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y最小值是()(A)3(B)4(C)(D)【解题提醒】由已知等式消去一个未知数，转化为函数最值问题；或用均值不等式把等式转化为关于目标式不等式问题.49/79【解析】选B.方法一：因为x+2y+2xy=8，所以所以50/79方法二：因为x+2y≥所以2xy≤所以x+2y+2xy≤x+2y+设x+2y=A，则A+≥8，即A2+4A-32≥0，解此不等式得A≤-8(舍去)或A≥4，即x+2y≥4.∴最小值为4.51/793.(·安徽高考)若a＞0,b＞0,a+b=2，则以下不等式对一切满足条件a,b恒成立是_______(写出全部正确命题编号)．①ab≤1②③a2+b2≥2④a3+b3≥3⑤≥2【解题提醒】能够利用a=b=1特值排除，结合基本不等式变形转化求解．52/79【解析】令a=b=1，排除②、④；由2=a+b≥ab≤1，命题①正确；由a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2，命题③正确；由命题⑤正确．答案：①③⑤53/794.(·山东高考)已知x，y∈R+，且满足，则xy最大值为_______.【解析】∵x,y∈R+且由基本不等式有解得xy≤3，当且仅当即y=2时，等号成立.所以xy最大值为3.答案：354/795.(·大连模拟)已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1，求证：【解题提醒】把中1用a+b+c代替.55/79【证实】∵a+b+c=1∴左边又∵a、b、c∈R+∴b+c≥＞0a+c≥＞0a+b≥＞0∴(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc∴左边≥=右边，故原不等式得证.56/7957/79一、选择题(每小题4分，共20分)1.已知a＞2,则()(A)p＞q(B)p＜q(C)p≥q(D)p≤q【解析】选A.令a-2=t，得a=t+2(t＞0)，(当且仅当t=即t=1∈(0，+∞)时取等号),又故选A.58/792.设a＞0,b＞0，若lga和lgb等差中项是0，则最小值是()(A)1(B)2(C)4(D)【解析】选B.∵lga+lgb=0,∴ab=1,59/793.(·沈阳模拟)若实数x,y满足则x2+2y2有()(A)最大值(B)最小值(C)最大值6(D)最小值6【解题提醒】本题考查均值不等式应用，可利用整体代换方法求解.60/79【解析】选B.据题意可得：61/794.已知不等式(x+y)()≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a最小值为()(A)2(B)4(C)9(D)16【解析】选B.∵x,y,a＞0,由题意得62/795.(·青岛模拟)已知函数f(x)=|lgx|.若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，则a+2b取值范围是()(A)(+∞)(B)［+∞)(C)(3,+∞)(D)［3,+∞)【解题提醒】画出f(x)=|lgx|图象可求得a、b范围.【解析】选C.画出f(x)图象可知0＜a＜1＜b.由f(a)=f(b)得-lga=lgb，∴ab=1,b=∴a+2b=a+由函数y=x+在(0，1)上单调递减得a+2b＞3.63/79二、填空题(每小题4分，共12分)6.若x＞0,则最小值为_______.【解析】∵x＞0,∴当且仅当x=即x=时等号成立.答案:64/797．(·山东高考)若对任意x＞0,恒成立，则a取值范围是_______．【解题提醒】将恒成立问题转化为最值问题.【解析】因为x＞0，所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号)，所以有即最大值为故a≥答案:［+∞)65/79【方法技巧】不等式恒成立问题解题方法1.不等式恒成立问题与函数最值有亲密关系，处理不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：c≥f(x)恒成立c≥f(x)max;c≤f(x)恒成立c≤f(x)min.2.高次函数或非基本初等函数最值问题，通常采取导数法处理.66/798.已知数列{an}满足a1=36,an+1-an=2n,则最小值为___.【解题提醒】可由累加法求an.【解析】∵an+1-an=2n∴an-an-1=2(n-1)an-1-an-2=2(n-2)

a2-a1=2×1…67/79上述各式相加得an-a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1=∴an=a1+n2-n=n2-n+36当且仅当n=即n=6时取等号.答案:1168/79三、解答题(每小题9分，共18分)9．已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，求(1)xy最小值；(2)x+y最小值.【解题提醒】把2x+8y-xy=0转化为即可.69/79【解析】(1)由2x+8y-xy=0，得又x＞0,y＞0，则得xy≥64，当且仅当时，等号成立.所以xy最小值为64.70/79(2)方法一：由2x+8y-xy=0，得∵x＞0,∴y＞2,则x+y=y+=(y-2)++10≥18，当且仅当即y=6,x=12时，等号成立.∴x+y最小值为18.71/79方法二：由2x+8y-xy=0，得则x+y=()·(x+y)