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第七章布莱克-舒尔斯期权定价公式扩展

Copyright©ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*1/31主要内容布莱克-舒尔斯期权定价模型缺点

交易成本

波动率微笑和波动率期限结构

随机波动率

不确定参数跳跃扩散过程

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*2/31B-S模型缺点

交易成本假设

波动率为常数假设

不确定参数

资产价格连续变动

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*3/31交易成本影响规模效应和交易成本差异化。即使是同一个投资者，在调整过程中，持有同一个合约多头头寸和空头头寸，价值也不一样。Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*4/31H-W-W交易成本模型

基本假设：投资者投资于欧式期权组合而不但仅是单个期权；整个投资组合调整存在交易成本；投资者组合调整策略事先确定；股票价格随机过程以离散形式给出；保值组合预期收益率等于无风险银行存款利率

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*5/31H-W-W模型推导结构无风险组合

之后,整个组合价值改变对应降低：要求交易成本项,关键要取得n值，显然：

（7-1）Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*6/31H-W-W模型推导（续）由Ito引理：依据无风险假设，有:将公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：（7-3）（7-2）（7-4）Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*7/31

对H-W-W方程了解项在实际中含有深刻金融含义

存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非线性方程期权多头和空头价值不一致性

对于单个期权多头，H-W-W方程实际上是一个以为波动率BS公式

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*8/31交易成本其它模型

期权组合中值不是同一个符号情形交易成本不是前述简单结构，而是资产价格和调整数量函数情况

W-W模型Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*9/31波动率微笑和波动率期限结构

人们经过研究发觉，应用期权市场价格和BS公式推算出来隐含波动率含有以下两个方向变动规律：“波动率微笑”（VolatilitySmiles）：隐含波动率会伴随期权执行价格不一样而不一样；波动率期限结构（VolatilityTermStructure）：隐含波动率会随期权到期时间不一样而改变。Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*10/31波动率微笑对于货币期权而言，隐含波动率经常展现近似U形。平价期权波动率最低，而实值和虚值期权波动率会伴随实值或虚值程度增大而增大，两边比较对称。股票期权波动率微笑则展现另一个不一样形状，即向右下方偏斜。当执行价格上升时候，波动率下降，而一个较低执行价格所隐含波动率则大大高于执行价格较高期权。Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*11/31货币期权波动率微笑与分布Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*12/31股票期权波动率微笑与分布Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*13/31波动率期限结构从长久来看，波动率大多表现出均值回归，即到期日靠近时，隐含波动率改变较猛烈，伴随到期时间延长，隐含波动率将逐步向历史波动率平均值靠近。波动率微笑形状也受到期权到期时间影响。大多时候，期权到期日越近，波动率“微笑”就越显著，到期日越长，不一样价格隐含波动率差异越小，靠近于常数

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*14/31波动率矩阵执行价格剩下使用期0.900.951.001.051.10一个月14.213.012.013.114.5三个月14.013.012.013.114.2六个月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8两年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*15/31意义和应用波动率微笑和波动率期限结构存在，证实了BS公式关于波动率为常数基本假设是不成立，最少期权市场不是这么预期。所以放松波动率为常数假设，成为期权理论发展一个主要方向。当前主要有两种不一样策略：从期权市场出发改良策略创新策略

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*16/31随机波动率模型普通模型股票风险中性随机波动率模型

（Hull等）Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*17/31随机波动率对定价影响当波动率是随机，且与股票价格不相关时，欧式期权价格是BS价格在期权使用期内平均方差率分布上积分值：

在股票价格和波动率相关情况下，这个随机波动率模型没有解析解，只能使用数值方法得到期权价格

波动率随机性质影响，也会因到期时间不一样而不一样

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*18/31GARCH模型GARCH模型能够分为各种，其中最常见是GARCH(1,1)模型：采取形式，用最大似然预计法预计三个参数、和，能够深入得到和值，并可计算出特定时刻波动率大小（7-5）Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*19/31不一样时期权重分布

对公式7-5右边右边重复迭代过程，能够得到：经过适当变换，我们能够将式（7-6）写作因为，可得未来波动率预期值为：

（7-6）Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*20/31不确定参数

问题：现实生活当中存在着这么问题：当参数价值是不确定时候，怎样为期权定价？处理方法：假设我们知道这些参数位于某个特定区间之内，之后考虑最消极情况下我们期权最少值多少。用这么假设和思绪，我们不会计算出期权某一特定价值，而会发觉期权价值也将位于某个区间之内

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*21/31不确定波动率依然结构无风险组合，组合价值：假设与考虑最糟糕情况，能够确定时权最低值，用公式表示：Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*22/31期权价值下限期权价值下限满足其中，

且

。

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*23/31期权价值上限期权价值上限满足：其中，。Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*24/31不确定利率考查组合，假设：，则：此时，我们选择利率将依赖于符号，对应方程为：其中：，Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*25/31不确定红利收益率在连续支付红利情况下，其推导过程很类似，在假定下，只要解出：其中：

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*26/31跳跃扩散过程所谓跳跃扩散过程是普通（路径连续）扩散过程和一个在随机时刻发生跳跃（跳跃幅度也是随机）跳跃过程结合，显然这种改变过程更能反应现实价格路径，对应模型则能够认为是考虑资产价格有不连续跳跃时对BS公式推广

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*27/31资产价格所遵照跳跃扩散过程

使用连续布朗运动来反应连续扩散过程，同时引入泊松过程来描述资产价格跳跃为泊松过程，定义为：依据Ito引理，可得：

Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*28/31跳跃扩散过程保值组合和期权定价依然考查组合，利用Ito引理，包含了跳跃组合价值改变为

假如时刻没有跳跃发生，则，那么我们就会选择来降低风险。假如有跳跃，则，

我们依然能够选择Copyright@ZhenlongZheng,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*29/31包含了跳跃期权定价公式

Merton于1976年提出了一个主要思想：假如资产价格改变过程中跳跃成份与整个市场无关话，就属于可分散风险，可分散风险不应该取得期望收益