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19.3正方形学习目标:1.探索并掌握正方形的性质,并了解正方形与矩形、菱形之间的联系.2.会判定一个四边形是正方形.3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.自主学习一、知识链接填表:性质判定方法矩形边:角:对角线:对称性:1.2.3.菱形边:角:对角线:对称性:1.2.3.二、新知预习阅读教材P119~120,完成下列问题:1.正方形的性质:(1)正方形是中心对称图形,也是轴对称图形.(2)四条边_________.(3)四个角都是_________.(4)对角线________且互相______________.2.正方形的判定:(1)矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?由此得出______________的矩形是正方形.(2)菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?一个角是_____一个角是_____由此得出______________的菱形是正方形.(3)平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:合作探究一、探究过程探究点1:正方形的性质例1如图,已知正方形ABCD,求∠ABD、∠DAC、∠DOC的大小.【针对训练】1.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°分析:观察发现∠BFC=∠AFE,∠AFE在△AEF中,而∠CAD=45°,∠DAE=60°,AE与AB构成等腰三角形,所以可以求出∠AEF的度数,从而求出结果.(或求出∠ABF的度数,直接利用三角形的外角也可求出)例2如图,△EBF为等腰直角三角形,点B为直角顶点,四边形ABCD是正方形.
(1)求证:△ABE≌△CBF;
(2)CF与AE有什么特殊的位置关系?请证明你的结论.【针对训练】2.如图,以正方形的中心O为顶点作一个直角,直角的两边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F,问:
(1)△BOE与△COF有什么关系?证明你的结论;
(2)若正方形的边长为2,四边形EOFC的面积为多少?探究点2:正方形的判定做一做:用一张矩形的纸片(如图所示)折出一个正方形.对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.那么如何判断一个四边形是正方形呢?【要点归纳】正方形的判定方法:1.有一个角是直角的菱形是正方形.2.有一组邻边相等的矩形是正方形.例3已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于点Q、点P.求证:四边形PQMN是正方形.分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.二、课堂小结内容正方形的性质四条边都相等四个角都是直角3.对角线相等且互相垂直平分正方形的判定1.有一个角是直角的菱形是正方形.2.有一组邻边相等的矩形是正方形.当堂检测1.正方形具有而菱形不一定具有的性质()A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等2.一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是()A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm23.如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBC的度数是________.第3题图第4题图4.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,请添加一个条件____________________,可得出该四边形ABCD是正方形.5.如图6,已知点E为正方形ABCD的边BC上一点,连结AE,过点D作DG⊥AE,垂足为G,延长DG交AB于点F.求证:BF=CE.参考答案自主学习一、知识链接性质判定方法矩形边:对边相等角:四个角都是直角对角线:相等且互相平分对称性:轴对称,中心对称1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.有三个角是直角的四边形是矩形.3.对角线相等的平行四边形是矩形.菱形边:四边都相等角:对角相等对角线:互相垂直平分对称性:轴对称,中心对称1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.四条边都相等的四边形是菱形.3.对角线互相垂直的四边形是菱形.二、新知预习1.(2)都相等(3)直角(4)相等垂直平分2.(1)一组邻边相等(2)一个角是直角合作探究一、探究过程探究点1:例1解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠DAB=90°,AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,∴∠ABD=eq\f(1,2)×90°=45°,∠DAC=45°.∠DOC=90°.【针对训练】1.C例2证明:(1)∵等腰直角△EBF,∴BE=BF,∠EBF=90°.在正方形ABCD中,BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°,∴∠ABE=∠CBF.在△ABE和△CBF中,∴△ABE≌△CBF(SAS).
(2)CF⊥AE,理由:延长CF交AB于H,交AE于G.
∵△ABE≌△CBF,∴∠BAE=∠BCF.∵∠BCF+∠BHC=90°,∴∠BAE+∠AHG=90°.
∴∠AGH=90°,即CF⊥AE.【针对训练】2.解:(1)△BOE≌△COF,
理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,OB⊥OC,∠OBC=∠OCD=45°.∵∠EOF=90°,
∴∠BOE=90°-∠EOC=∠COF,且∠OBE=∠OCF.∴△BOE≌△COF(ASA).(2)由(1)知:四边形EOFC的面积=S△BOC=S正方形ABCD=×4=1.探究点2:例3证明:∵PN⊥l1,QM⊥l1,∴PN∥QM,∠PNM=∠QMN=90°.∵PQ∥NM,∴四边形PQMN是矩形.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD.∴∠1+∠2=90°.又∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3.又∠AMB=∠DNA=90°,∴△ABM≌△DAN(AAS).∴AM=DN.同理,△CDP≌△DAN(AAS),∴AN=DP.∴AM+AN=DN+DP,即MN=PN.∴四边形PQMN是正方形.当堂检测1.D2.A3.
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