高中数学第一章三角函数1.3弧度制教案省公开课一等奖新名师获奖课件

1.3

弧度制1/54【知识提炼】1.弧度制概念(1)1弧度角:在单位圆中,长度为______所正确圆心角为1弧度角,它单位符号是rad,读作弧度.(2)弧度制:以_____作为单位来度量角单位制.1弧弧度2/542.角度与弧度互化3/543.弧度数与弧度制作用正数负数04/54【即时小测】1.思索以下问题(1)长度为1弧所正确圆心角一定是1弧度角吗?提醒:不一定.只有半径也是1时圆心角才是1弧度角.不然圆心角不是1弧度角.5/54(2)弧度计算公式为|α|=,为何带绝对值号?提醒:因为角度有正角、负角之分,而弧长为正值,当α<0时,α=-.6/542.假如一扇形弧长为π,半径等于2,则扇形所对圆心角为(

)A.π

B.2π

【解析】选C.由题意π=2α,故α=.7/543.将-300°化为弧度为________.【解析】-300×=-.答案:-8/544.π化为度,结果为________.【解析】πrad=180°,则1rad=所以

答案:150°9/545.把-570°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)形式为____________.【解析】

答案:

10/54【知识探究】知识点1角度制与弧度制观察图形,回答以下问题:问题:怎样了解、记忆角度制与弧度制互化公式?11/54【总结提升】1.角度制与弧度制差异(1)定义不一样.(2)单位不一样.弧度制是以“弧度”为单位,单位能够省略,而角度制是以“度”为单位,单位不能省略.(3)弧度制是十进制,而角度制是六十进制.12/542.角度制与弧度制互化(1)不论以“弧度”还是以“度”为单位角大小都是一个与圆半径大小无关值,仅和半径与所含弧这二者比值相关.(2)“弧度”与“角度”之间能够相互转化.13/543.学习弧度制注意点14/54知识点2弧度制下弧长公式及扇形面积公式观察图形,回答以下问题:问题:怎样利用角度制下扇形面积公式推导弧度制下扇形面积公式?15/54【总结提升】关于扇形面积公式(1)公式中共四个量分别为α,l,R,S,由其中两个量能够求出另外两个量,即知二求二.(2)利用弧度制下弧长公式及扇形面积公式显著比角度制下公式简单得多,但要注意它前提是α为弧度数.16/54(3)在利用公式时,还应熟练地掌握这两个公式变形利用:①②17/54【题型探究】类型一角度与弧度互化【典例】1.(·宝鸡高一检测)角°弧度表示为(

)

18/542.以下转化结果错误是(

)A.67°30′化成弧度是πradB.-π化成度是-600度C.-150°化成弧度是πradD.化成度是15度19/543.把以下各角写成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)形式,并指出它们是第几象限角:

20/54【解题探究】1.典例1,2中角度化弧度、弧度化角度公式是什么?提醒:

2.用弧度判断角所在象限普通考虑哪个范围?提醒:利用与该角终边相同角(0≤α<2π)所在象限判断.21/542.选C.因为1°=π180，A中，正确.B中，正确．C中：错误．D中，正确．22/543.①是第三象限角.②所以-315°能够表示为（-2）×π+,是第一象限角.③是第一象限角.23/54【方法技巧】角度制与弧度制互化标准、方法以及注意点(1)标准:切记180°=πrad,充分利用1°=rad和1rad=进行换算.(2)方法:设一个角弧度数为α,角度数为n,则

24/54(3)注意点①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”能够省略不写;②用“弧度”为单位度量角时,经常把弧度数写成多少π形式,如无尤其要求,无须把π写成小数;③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.25/54【拓展延伸】1.用弧度数表示象限角26/542.弧度制下与角α终边相同角表示在弧度制下,与角α终边相同角能够表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同角能够表示成α加上2π整数倍.27/5428/54【变式训练】(1)157°30′=________rad.(2)πrad=________°.(3)如图所表示,用弧度表示终边落在阴影部分内(不包含边界)角α集合.29/54【解析】(1)因为157°30′=157.5°,所以

答案:

(2)因为

答案:7230/54(3)①按逆时针方向,在-π～π范围内与角终边相同角为故所求集合S为

②所求集合为

31/54类型二用弧度制表示角集合【典例】1.终边经过点(a,a)(a≠0)角α集合是(

)32/542.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角集合(包含边界)并判断°是不是这个集合元素.33/54【解题探究】1.典例1中,在[0,2π]内,哪个角终边经过点(a,a)(a≠0)?提醒:终边经过点(a,a)(a≠0).2.典例2中,在[0,2π]内终边在图中阴影区域内集合(包含边界)是什么?提醒:

34/54【解析】1.选D.终边经过点(a,a)(a>0)角α集合为

终边经过点(a,a)(a<0)角α集合为

所以终边经过点(a,a)(a≠0)角α集合是35/542.因为150°=.所以终边在阴影区域内角集合为

因为°=215°+5×360°=+10π,又

所以°=∈S,即°是这个集合元素.36/54【方法技巧】1.用弧度表示角注意点(1)注意角度与弧度不能混用.(2)各终边相同角需加2kπ,k∈Z.(3)求两个角集合交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当地赋值.37/542.处理“弧度”与“角度”概念问题关键点(1)引入弧度制后,角集合与实数集建立了一一对应关系.(2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不一样,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任意非零角,单位不一样,数量也不一样.(3)“角度”与“弧度”能够按照“180°=πrad”这一等量关系进行相互转化.38/54【变式训练】用弧度表示终边落在如图所表示阴影部分内(不包含边界)角θ集合.39/54【解析】(1)以OB为终边330°角可看成-30°角,化为弧度,即-,而

所以终边落在阴影部分内角集合为{θ|2kπ-<θ<2kπ+,k∈Z}.(2)因为30°=rad,210°=rad,这两个角终边所在直线相同,所以终边在直线AB上角为α=kπ+,k∈Z,而终边在y轴上角为β=kπ+,k∈Z,从而终边落在阴影部分内角集合为{θ|kπ+<θ<kπ+,k∈Z}.40/54类型三弧长公式与面积公式应用【典例】1.(·福州高一检测)已知扇形圆心角为120°,半径为

cm,则此扇形面积为________.2.已知半径为10☉O中,弦AB长为10.求弦AB所正确圆心角α弧度值.41/54【解题探究】1.题1中据已知条件,可利用扇形哪个面积公式求解?提醒:因为已知扇形圆心角和半径,可利用扇形面积公式S=lR.2.圆心角角度值是多少?提醒:圆心角角度值是60°.42/54【解析】1.设扇形弧长为l,因为

所以

所以

答案:πcm243/542.由☉O半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,所以α=∠AOB=60°=.44/54【延伸探究】1.(改变问法)若题2中条件不变,改为求α所在扇形弧长l.【解析】因为α=,r=10,故l=αr=.45/542.(改变问法)若题2条件不变改为求弧所在弓形面积S.【解析】S扇形=而S△AOB=所以S=S扇形-S△AOB=46/54【方法技巧】弧度制下扇形面积公式应用(1)包括公式:弧长l=|α|r,周长2r+l,面积S=lr=αr2.(2)解题策略:先分析题目条件中已知哪些量,然后利用相关公式直接求解或解方程组求解.47/54【赔偿训练】(·石家庄高一检测)已知扇形AOB周长为8cm,面积为3cm2,则其圆心角为(

)48/54【解析】选A.由题意解得49/54规范解答弧长与扇形面积问题【典例】(12分)(·沈阳高一检测)已知扇形周长为40cm,当它半径和圆心角取什么值时,才能使扇形面积最大?最大面积是多少?50/54【审题指导】要求扇形面积最大值,首先利用半径,圆心角表示出扇形面积,再利用周长40建立半径与圆心角关系,用其中一个表示另一个后代入,配方求最值.51/54【规范解答】设扇形半径和弧长分别为r和l,由题意可得2r+l=40,……………2分所以l=40-2r,………4分由l=40-2r>0,解得0<r<20,………………………6分52/54所以扇形面积S=lr=(40-2r)r

=-r2+20r=-(r-10)2+100,…………………8分因为0<r<20,所以当r=10时,面积取得最大值100,………9分当r=10时,弧长l=20,圆心角为2,……………11分所以当半径为10、圆心角