高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例教案省公开课一等奖新名师优

第三章

函数应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型应用实例1/30OR圆周长伴随圆半径增大而增大：L=2*π*R(一次函数)圆面积伴随圆半径增大而增大：S=π*R2(二次函数)2/3012222324回顾：某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这么细胞分裂x次后，得到细胞个数y与x函数关系是

.第一次第二次第三次第四次y=2x2x3/30例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报以下：方案一：天天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后天天比前一天多 回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后天天回报比前 一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？4/30思考投资方案选择标准：投入资金相同，回报量多者为优

比较三种方案天天回报量(2)比较三种方案一段时间内总回报量哪个方案在某段时间内总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案？5/30我们能够先建立三种投资方案所对应函数模型，再经过比较它们增加情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报为y元，则方案一：天天回报40元；

y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后天天比前一天多回报10元；

y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后天天回报比前一天翻一番.

y=0.4×2x-1(x∈N*)分析6/30x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.47/30图112-1从天天回报量来看：

第1~4天，方案一最多：每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有些人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？8/30累积回报表天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论投资8天以下（不含8天），应选择第一个投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。9/30处理实际问题步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题解还原说明实际问题解例题启示10/30例2、某企业为了实现1000万元利润目标，准备制订一个激励销售部门奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)伴随销售利润x(单位：万元)增加而增加，但资金数不超出5万元，同时奖金不超出利润25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合企业要求呢？11/3012/30(1)、由函数图象能够看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合资金不超出5万元要求。模型y=log7x+1(2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时，资金是否不超出利润25%，即当x∈[10,1000]时，是否有成立。13/30令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)图象，由图象可知它是递减，所以f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即

log7x+1<0.25x所以，当x∈[10,1000]，14/30实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型处理问题基础过程关键目标几个常见函数增加情况：常数函数一次函数指数函数没有增加直线上升指数爆炸小结15/30思考从上节课两个例子中能够看到，这三类函数增加是有差异，那么，这种差异详细情况到底怎么样呢？16/3017/30几何画板演示18/30结论1：普通地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，经过探索能够发觉：在区间(0,+∞)上，不论n比a大多少，尽管在x一定范围内，ax会小xn，但因为ax增加快于xn增加，所以总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.19/30结论2：普通地，对于指数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，经过探索能够发觉：在区间(0,+∞)上，伴随x增大，logax增大得越一越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x一定范围内，logax可能会小xn，但因为logax增加慢于xn增加，所以总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.20/30总而言之：(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数.(2)、伴随x增大，

y=ax

(a>1)增加速度越来越快，会远远大于y=xn(n>0)增加速度.(3)、伴随x增大，y=logax(a>1)增加速度越来越慢，会远远大于y=xn(n>0)增加速度.总存在一个x0，当x>x0时，就有

logax<xn<ax21/30例3、一辆汽车在某段旅程行驶速度与时间关系如图所表示.(1)、求图中阴影部分面积，并说明所求面积实际含义；(2)、假设这辆汽车里程表在汽车行驶这段旅程前读数为km，试建立汽车行驶这段旅程时汽车里程表读数skm与时间th函数解析式，并作出对应图象.22/3023/30例4、人口问题是当世界各国普遍关注问题.认识人口数量改变规律，能够为有效控制人口增加提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下人口增加模型：

y=y0

er×t期中t表示经过时间，y0表示t=0时人口数，r表示人口年增加率.24/30(1)、假如以各年人口增加率平均值作为我国这一时期人口增加率(准确到0.0001)，用马尔萨斯人口模型建立我国在这一时期详细人口增加模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)、假如表增加趋势，大约在哪一年我国人口到达12亿？y=y0

er×t25/3026/30例5、某桶装水经营部天天房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水进价是5元.销售单价与日均销售量关系以下表：请依据心上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能取得最大利润？销售单价/元6789101112日均销售量/桶48044040036032028024027/30例6、某地域不一样身高未成年男性体重平均值以下表：(1)、依据表提供数据，能否建立恰当函数模型，使它能比