2023学年福州一中高二数学下学期第三学段模块考试卷附答案解析

学年福州一中高二数学下学期第三学段模块考试卷（完卷120分钟满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若函数，则（

）A．0 B． C． D．2．甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（

）A．120种 B．240种 C．360种 D．720种3．函数的图像大致是（

）A．B．

C．D．

4．已知今天是星期三，则天后是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五5．的展开式中的系数是，则实数的值为（）A． B． C． D．6．已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（

）A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件C． D．8．设，则下列关系正确的是（

）A．B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（

）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种10．已知，函数有两个极值点，则（

）A．可能为负值B．为定值C．若，则过点作曲线的切线，切线方程为或D．若存在，使得，则11．在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（

）A．B．的前项和为C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，则．13．4名同学打算参加学校组织的“文学社”、“街舞社”、“模联社”三个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则不同的参加方法数为．14．已知实数、、、满足，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数在处取得极大值．(1)求的值；(2)求在区间上的最大值．16．现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．(1)将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率；(2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．17．已知函数．(1)讨论在区间上单调性；(2)若恒成立，求实数的取值范围．18．某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．(1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；(2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，（i）求丙取出的第一道题是选择题的概率；（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率．19．设函数(1)若函数与的图象存在公切线，求的取值范围；(2)若方程有两个不同的实根，求证：．1．A【分析】求导，再令即可得解.【详解】，所以.故选：A.2．B【分析】利用相邻问题捆绑法计算即可.【详解】由题意可知不同的坐法有.故选：B3．C【分析】根据函数奇偶性可排除B，利用函数值正负可排除A，再根据单调性排除D，得解.【详解】令，，因为，所以是奇函数，排除B，又当时，恒成立，排除A，当时，，，，，函数单调递增，当时，，即函数单调递减，故D不正确.故选：C.4．A【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.【详解】．即除以7的余数为5，所以天后是星期一.故选：A.5．D【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详解】对，有，故的展开式中的系数为：，即.故选：D.6．A【分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答.【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，

方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，由，得：，即，而，，则，于是得，记，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又函数在定义域上单调递减，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可.7．D【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式一一判定选项即可.【详解】由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种，铅球区域可能安排2人或1人，所以，同理，，而，，由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立，故A错误；显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误；由条件概率公式知，故C错误；，故D正确.故选：D8．D【分析】构造，利用导数研究其单调性判定大小即可.【详解】设，则，易知，且，所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，即，在时取得等号，且，在时取得等号，则，在时取得等号，所以，即.故选：D【点睛】思路点睛：比大小问题通常利用常用的切线放缩，通过构造函数利用导数研究其单调性计算即可.常用的函数切线放缩有，要注意取等条件.9．ABC【分析】A选项，使用捆绑法进行求解；B选项，分两种情况，最左端排甲和最左端排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；C选项，采用插空法进行求解；D选项，定序问题采用倍缩法进行求解.【详解】A选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有种，A正确；B选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有种，若最左端排乙，则最右端只能从丙，丁，戊选出1人，其余三人与三个位置进行全排列，故有种选择，综上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，B正确；C选项，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，C正确；D选项，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，D错误.故选：ABC10．BD【分析】求出函数的导函数，即可判断A，从而得到，即可得到函数的单调性，求出极值点，再代入计算，即可判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程，求出即可得到切线方程，从而判断C，对于D，将问题转化为有解，结合计算可得.【详解】因为，则，对于A：当时，恒成立，所以单调递减，故没有极值，故A错误；对于B：当时，由解得，，所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，而，所以为定值，故B正确.对于C：若，，，设切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得，令，则，所以当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，又，，，所以方程的解为或，所以切线方程为或，所以函数过点的切线方程为或，故C错误；对于D：若存在，使得，即，即，即，即，即，由于，所以必存在，对于，则有，即，解得，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是求出极值点，再代入计算，C选项过点的切线方程，需要设出切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，再根据切线过点，求出切点横坐标，即可求出切线方程，D选项关键是转化为不等式有解问题.11．BCD【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可．【详解】解：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，，所以为一个等比数列，，所以，故A错误；，的前项和为，故B正确；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，，构成一个等差数列，项数之和为，则的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，取的就是第12行中的第三项，，故C正确；，这11行中共去掉了22个1，，故D正确，故选：BCD．12．【分析】利用组合数性质与公式计算即可.【详解】因为，由组合数性质可知，所以.故答案为：.13．【分析】将4名同学分三组全排列可计算得出结果.【详解】因为4名同学参加3三个社团，每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，所以先将4名同学分为3组，再将分好的3组全排列，共有种安排方法.故答案为：14．【分析】分析可知的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方，只需求出上和直线平行的切线方程，结合导数的几何意义求出切点坐标，求出切点到直线的距离，即可得解.【详解】因为实数、、、满足，所以，，，所以，点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．考查曲线上和直线平行的切线，对函数求导得，令，解得，所以，切点为，该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，故的最小值为．故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可；（2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值.【详解】（1）由已知令得或，当时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；当，即时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；所以；（2）由（1）得，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，且.因为,所以.16．(1)(2)1【分析】（1）利用组合知识结合古典概型计算概率即可；（2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.【详解】（1）由题意可知总情况有种，而翻开的四个半张扑克掐有2张相同的可能情况有，所以这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率为；（2）由题意可知的可能取值有，则，，所以的分布列为：0124P则.17．(1)答案见解析；(2)【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；（2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.【详解】（1）由，在时，，若，即在区间上单调递增；若，即在区间上单调递减；若，令，令，可知在上单调递增，在上单调递减；综上所述：时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.（2）根据题意可知恒成立，设，则，令，则定义域上单调递增，易知，即，使得，即时，，此时单调递减，时，，此时单调递增，则，所以，即18．(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可；（2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可.【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2，则，，，.由全概率公式得第2题抽到论述题的概率.（2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”，事件为“乙从A信封中取出2个选择题”，事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”，事件为“乙从A信封中取出2个论述题”，则，，两两互斥且，则，，，，，，（i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为，（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为.19．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，分类讨论切点是否为公共点，结合构造函数法求其单调性与最值计算可得的取值范围；（2）先构造函数，利用其导函数及零点个数判定，再二次函数根的分布结合隐零点确定，利用比值换元，消元转化得，构造函数判定，由适当放缩即可证明结论.【详解】（1）易知，①若切点为两函数公共点，不妨设为，即，易知切点为，此时，②若切点不为两函数公共点，由题意不妨设函数与上的切点分别为，