八年级数学下册期末试卷专题练习(解析版)

八年级数学下册期末试卷专题练习（解析版）一、选择题1．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠12．下列各组线段中不能作为直角三角形三边长的是（）A．1、、2 B．1、、 C．、2、 D．、、3．下列能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．对角线相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形B．一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形C．两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．一组数据，，，，的中位数和平均数分别是（）A．和 B．和 C．和 D．和5．如图，在中，是上一点，已知，则的长为()A． B． C． D．6．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若∠BDC＝62°，则∠DEF的度数为（）A．31° B．28° C．62° D．56°7．如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（）A．2 B． C． D．38．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2，③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．若有意义，则的取值范围是_________．10．已知菱形的边长为2，一个内角为，那么该菱形的面积为__________．11．由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长的和为3，面积为1，则图中阴影部分的面积为____________．12．如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为________．13．一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式并标明x的取值范围___________．14．如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形.若E、F为BD上两点，且BE=DF.现在请你给□ABCD添加一个适当的条件________，使得四边形AECF为菱形.15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是__________．16．如图，正方形的顶点、分别在坐标轴的正半轴上，点是第一象限内直线上的一点，则点的坐标为______．三、解答题17．计算：（1）；（2）；（3）解方程组；（4）解方程组．18．如图，一架长为5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC=3米．（1）求BC的长；（2）如果梯子的顶端B沿墙向下滑动2米，问梯子的底端A向外移动了多少米？19．图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写画法．（1）在图①中以线段为边画一个正方形．（2）在图②中以线段为边画一个菱形．20．如图，在平行四边形中，点、分别为边，的中点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为菱形．21．阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝．等运算都是分母有理化，根据上述材料，（1）化简：；（2）+++…+．22．某书定价a元，如果一次购买10本以上．超过10本部分打8折，下面用列表法表达了购买书的数量和付款金额这两个变量的对应关系．购买书数量（本）15101520付款金额（元）a4080112b（1）请直接写出上表中a，b的值．（2）请用解析法求出购买书数量与付款金额之间的函数关系．（3）小强一次购买书恰好花了92元8角，小华购买了8本书，分别计算他们的购买书量和付款金额．23．如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．24．[模型建立]如图等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：[模型运用]（1）如图1，若AD＝2，BE＝5，则△ABC的面积为；（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求AB与y轴交点D的坐标；（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝2x+1，点A（3，2），在其线l上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．[模型拓限]（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQ＝BP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为．（≈3.2，结果精确到0.1）25．如图，在Rt中，，，，动点D从点C出发，沿边向点B运动，到点B时停止，若设点D运动的时间为秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当时，，；（2）用含t的代数式表示的长；（3）当点D在边CA上运动时，求t为何值，是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由；（4）直接写出当是直角三角形时，t的取值范围．【参考答案】一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，x≥0且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1，故选：D．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．2．A解析：A【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．∵12+（）2≠22，∴以1，，2为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+（）2＝（）2，∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵22+（）2＝（）2，∴以2，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵（）2+（）2＝（）2，∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．3．D解析：D【解析】【分析】分别利用平行四边形的判定方法结合梯形的判定方法分析得出答案．【详解】解：A、对角线相等，且一组对角相等的四边形无法确定是平行四边形，故此选项不合题意；B、一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形，错误，有可能是梯形，故此选项不合题意；C、两条对角线相互垂直的四边形无法确定是平行四边形，故此选项不合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定条件.4．B解析：B【解析】【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】解：把这组数据按从小到大的顺序排列是：2，3，4，4，5，故这组数据的中位数是：4．平均数＝（2＋3＋4＋4＋5）÷5＝3.6．故选：B．【点睛】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．5．C解析：C【分析】先根据勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，然后根据勾股定理求出CD即可.【详解】解：根据题意，在△ABD中，∵，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在△ACD中，AD=12，AC=15，∴；故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和利用勾股定理进行解直角三角形.6．D解析：D【解析】【分析】先利用互余计算出∠BDE＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠BDE＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF的度数，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∵，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD＝∠CBD＝28°，∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−150°）＝15°，∠OAF＝45°−15°＝30°，∴AF＝2OF＝2，∴OA＝＝＝，∴AB＝OA＝，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．8．D解析：D【分析】①根据题意得：动点P在GC上运动的时间是2秒，又由动点的速度，可得GC和BC的长；②由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得y的值；③动点P在DC上运动的时间是2秒，又由动点的速度，可得CD的长；④根据图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，即可得出△ABP的面积；【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；②第4秒时P到达D点.P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，面积y=×6×8=24cm2；③第4秒时P到达D点.由图象可知CD=22=4cm④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点.AF=BC+DE=8+23=14,所以AH=AF-FH=14-24=6.△ABP的面积=66=18cm2．则四个结论正确；故选D【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．二、填空题9．且【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，以及分母不等于0，即可求的取值范围．【详解】解：根据题意得：，，解得且．故答案为：且．【点睛】主要考查了二次根式以及分式有意义的条件．解题的关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；分式有意义的条件是分母不等于零．10．A解析：【解析】【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，∵菱形的边长为2cm，∴AB=BC=2cm，∵有一个内角是60°，∴∠ABC=60°，∴∠BAM=30°，∴（cm），∴（cm），∴此菱形的面积为：（cm2）．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．11．1【解析】【分析】设直角三角形的一条直角边长为，则另一条直角边长为，由题意列方程，求出两直角边长，根据勾股定理求出斜边长。由阴影部分的面积＝大正方形的面积−4个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．【详解】解：设直角三角形的一条直角边长为，则另一条直角边长为，则由题意可得，，整理可得，，解可得或，即直角三角形的两直角边长分别为2，1，∴直角三角形的斜边长为，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长．12．D解析：【分析】由题意易得OD=OC，∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝12，∴，∵∠AOD＝120°，∴∠DOC=60°，∴△DOC是等边三角形，∴；故答案为：6．【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．13．【分析】根据函数的概念：函数中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应，解答即可．【详解】解：设挂重为，则弹簧伸长为，挂重后弹簧长度与挂重之间的函数关系式是：．故答案为：．【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的问题，解题关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．14．A解析：AB=AD【分析】由菱形的性质可得AE=AF，∠AEF=∠AFE，即可得到∠AEB=∠AFD，利用SAS即可证明△ABE≌△ADF，可得AB=AD，即可得答案.【详解】∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，∠AEF=∠AFE，∴∠AEB=∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF，∴AB=AD，∴可添加AB=AD，使得四边形AECF为菱形.故答案为：AB=AD【点睛】本题考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，利用菱形性质得出△ABE≌△ADF是解题关键.15．或【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，−a＋4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示解析：或【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，−a＋4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标．【详解】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，∵∠PAB＝∠ABO，∴AP∥OB，∵A（0，8），∴P点纵坐标为8，又P点在直线x＋y＝4上，把y＝8代入可求得x＝−4，∴P点坐标为（−4，8）；当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，设P点坐标为（a，−a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b，把A、P坐标代入可得，解得，∴直线AP的解析式为y＝x＋8，令y＝0可得x＋8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2＋OA2，即AC2＝（）2＋82，∵B（−4，0），∴BC2＝（＋4）2＝（）2＋＋16，∵∠PAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2＋82＝（）2＋＋16，解得a＝12，则−a＋4＝−8，∴P点坐标为（12，−8），综上可知，P点坐标为（−4，8）或（12，−8）．故答案为：（−4，8）或（12，−8）．【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出P点的位置，由条件得到AP∥OB或AC＝BC是解题的关键．16．【分析】根据正方形的性质可得点B的横纵坐标相等计算即可；【详解】由题可知：点B在直线上且点B是正方形ABCD的一个顶点，设，∴，解得：，∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考解析：【分析】根据正方形的性质可得点B的横纵坐标相等计算即可；【详解】由题可知：点B在直线上且点B是正方形ABCD的一个顶点，设，∴，解得：，∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质，准确计算是解题的关键．三、解答题17．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质化简各项，然后再合并同类项即可；（2）先结合平方差公式和完全平方公式计算，再去括号即可；（3）利用代入消元法求解即可；（4）利解析：（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质化简各项，然后再合并同类项即可；（2）先结合平方差公式和完全平方公式计算，再去括号即可；（3）利用代入消元法求解即可；（4）利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）由②可得：，将代入①得：，解得：，∴，∴原方程组解为：；（4）由①×4-②×3可得：，解得：，将代入①可得：，解得：，∴原方程组解为：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组等，掌握基本解法，并熟练运用乘法公式是解题关键．18．（1）的长为4米；（2）梯子的底端A向外移动了米【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长；（2）根据及（1）中的答案求得的长，进而利用勾股定理得出答案即可．【详解】解：（1）一架长5米的梯子解析：（1）的长为4米；（2）梯子的底端A向外移动了米【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长；（2）根据及（1）中的答案求得的长，进而利用勾股定理得出答案即可．【详解】解：（1）一架长5米的梯子，顶端靠在墙上，梯子底端到墙的距离米，，答：的长为4米；（2）∵，，∴，，∴，答：梯子的底端A向外移动了米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．19．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的判定进行画图即可；（2）根据菱形的判定进行画图即可．【详解】解：（1）如图所示：，，∴，∴∠ABC=90°，∴四边形AB解析：（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的判定进行画图即可；（2）根据菱形的判定进行画图即可．【详解】解：（1）如图所示：，，∴，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）如图所示，∴四边形ABEF是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；（2）先证解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=EB=AB，从而可得四边形BFDE为菱形．【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴，，．∵、分别为、的中点，∴，，∴，，在△ADE和△CBF中，∴．（2）∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，又AB∥CD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵∠ADB=90°，∴点E为边AB的中点，∴，∴平行四边形为菱形．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．21．（1）+；（2）．【解析】【分析】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1）；（2）+++…+＝．【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，本题解析：（1）+；（2）．【解析】【分析】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1）；（2）+++…+＝．【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，本题中二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．找出分母的有理化因式是解本题的关键．22．（1）a＝8；b＝144；（2）y＝；（3）12本书，64元【分析】（1）根据买5本书花费40元可以求出书的定价a，根据一次购买10本以上，超过10本部分打8折可以求出b；（2）分购买数量小于解析：（1）a＝8；b＝144；（2）y＝；（3）12本书，64元【分析】（1）根据买5本书花费40元可以求出书的定价a，根据一次购买10本以上，超过10本部分打8折可以求出b；（2）分购买数量小于等于10和大于10两种情况写出购买书数量与付款金额之间的函数关系；（3）把92.8分别代入（2）中解析式，求解即可；小华购买了8本书直接代入y＝8x即可．【详解】解：（1）由表中数据可知：a＝40÷5＝8，b＝8×10＋8××（20−10）＝80＋64＝144，∴a＝8，b＝144；（2）由（1）可知：a＝8，∴每本书的售价为8元，设购买书的数量为x本，付款金额为y元，当0≤x≤10，且x为整数时，y＝8x；当x＞10，且x为整数时，y＝8×10＋8××（x−10）＝6.4x十16；综上所述，购买书数量x（本）与付款金额y（元）之间的函数关系为：y＝；（3）由（2）可知：购买书数量x（本）与付款金额y（元）之间的函数关系为：y＝，把y＝92.8代入到y＝8x（0≤x≤10，x为整数）中，得92.8＝8x，解得：x＝11.6（不合题意，舍去）；把y＝92.8代入到y＝6.4x十16（x＞10，x为整数）中，得92.8＝6.4x＋16，解得：x＝12，∴小强一次购买书恰好花了92元8角，买了12本书，把x＝8代入到y＝8x（0≤x≤10，x为整数）中，得y＝8×8＝64，∴小华购买了8本书，付款金额为64元，综上所述，小强一次买了12本书，小华付款金额为64元．【点睛】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式．23．（1）；（2），证明见解析；（3）7【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．（2）解析：（1）；（2），证明见解析；（3）7【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．（2）过点作交于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后由证得，即可得出结论．（3）过点作交延长线于点，证明同（2），得出，证明，，则，，得出，，则，由勾股定理即可得出结果．【详解】解：（1）；理由如下：四边形是菱形，，，是等边三角形，，是线段的中点，，，，，，，．故答案为；（2）猜想线段与的数量关系为：；证明：过点作交于点，如图所示：四边形为菱形，，，，，与都是等边三角形，，，，又，，又，是等边三角形，，，，又，，在和中，，，；（3）过点作交延长线于点，如图：四边形为菱形，，菱形的周长为，是等边三角形，，，，，又，，又，是等边三角形，，，，又，，在和中，，，，，，，是等边三角形，，，在中，，，，，，，，由勾股定理得：．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形．24．（1）；（2）；（3）存在两个点，，理由见解析；（4）1.9.【解析】【分析】（1）由可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式解题；（2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三解析：（1）；（2）；（3）存在两个点，，理由见解析；（4）1.9.【解析】【分析】（1）由可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式解题；（2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式为：，令即可解题；（3）画出符合题意的示意图，可知有两个点符合，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标解得，根据题意可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点，最后将点代入直线上即可解题；（4）过点作于点，于点，连接，设，由全等三角形的判定与性质得到，再由全等三角形对应边相等得到，由此解得点，继而推出点在