高中生数学学习内容疑难分析与解决

高中生数学学习内容疑难分析与解决一、高中生数学学习内容疑难问题对抽象性强的内容不适应不理解如：函数及其性质；反函数概念等对涉及多个概念的综合性问题无思路无办法如：函数的奇偶性与周期性问题；函数、导函数与数列、不等式的综合性问题等第2页,共53页，2024年2月25日，星期天一、高中生数学学习内容疑难问题缺乏对学习内容的作用和意义的认识如：为什么引入极坐标方程、参数方程所学各部分知识处于分散状态，没有形成有机联系，缺乏对学习内容的整体性把握对蕴藏于数学知识之中的数学思想体会不深理解不透缺乏数学美的感受，对数学学习少有兴趣缺乏对数学的科学价值和人文价值的认识第3页,共53页，2024年2月25日，星期天二、问题解决途径和方法深刻理解把握数学学科的本质和特征用联系的观点和整体的视角指导课堂教学充分认识数学史的教育价值，将数学史有效融入数学教学高度重视数学思想的基础作用，提高学生的数学思维能力充分认识数学的科学价值和人文价值，增强学生学习数学的动力第4页,共53页，2024年2月25日，星期天（一）、数学的本质恩格斯对数学的含义作过如下的表述：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。（《反杜林论》，第3页，人民出版社，1970）数学是一门撇开内容，只研究形式和关系的科学，而且首要的是研究数量的和空间的关系及其形式。（《哲学百科全书》）第5页,共53页，2024年2月25日，星期天（一）、数学的本质数学是关于模式和秩序的科学。数学是研究思想事物的，它不是铅笔和粉笔写下的符号，也不是物质的三角形或物质的集合，而是思想。（R.Hersh（赫斯），1979）第6页,共53页，2024年2月25日，星期天（二）、数学的本质数学是一个由概念、命题、公式、法则、问题、方法、思想、符号语言等多种成分组成的复合体。数学是一门演算的科学。（林夏水）数学是研究空间形式和数量关系的科学。（普通高中《数学课程标准》（实验），中华人民共和国教育部制订，2003.4）第7页,共53页，2024年2月25日，星期天（二）、数学的特有属性

1、高度抽象性

2、严格的逻辑演绎性

3、独立性

4、广泛应用性第8页,共53页，2024年2月25日，星期天（二）、数学的特有属性

1、高度抽象性

数学是研究抽去了具体内容的形式或关系的一门科学，它用符号语言来表示具有高度概括性的抽象概念

数学对象没有任何物质的特征第9页,共53页，2024年2月25日，星期天（二）、数学的特有属性

2、严格的逻辑演绎性

数学的结果是从一些基本概念和公理出发采用严格的逻辑演绎方法得到的

数学的演绎推理是无须争辩和确定无疑的第10页,共53页，2024年2月25日，星期天（二）、数学的特有属性

3、独立性数学不需要昂贵的仪器设备数学很大程度上独立于政治与社会系统第11页,共53页，2024年2月25日，星期天（二）、数学的特有属性

4、广泛应用性

数学在天文、物理、化学、生物等自然科学中有广泛应用数学在工程技术，特别是高新技术中有广泛应用美国前总统科学顾问艾德华·大卫说：“高新技术在本质上是一种数学技术。”第12页,共53页，2024年2月25日，星期天（三）、数学史的教育价值了解数学的发展过程和来龙去脉认识数学的本质培养创新意识和创造能力培养学习数学的兴趣第13页,共53页，2024年2月25日，星期天（三）、数学史的教育价值1、数的产生与发展大约从公元前一万年开始，人类进入新石器时代，开始制造和使用磨制石器，发明了陶器，出现了原始农业、畜牧业和手工业。由于生产的发展和产品的丰富，出现了生活用品的交换，在这一过程中就必须进行计算，由此产生了各种不同的记数和计算方法。第14页,共53页，2024年2月25日，星期天（三）、数学史的教育价值原始人用手指、脚趾记数和计算，如英文单词“digit”，既有数字(0到9中的任何一个数字)的含义，又表示手指、脚趾。记数方法还有石块、结绳、木棒、龟甲、竹片或骨头上的刻痕等，如1937年在捷克发现的一根幼狼胫骨，长为18cm，上面有55道刻痕。据考证，这一文物存在于约三万年前，它的历史表明，数的概念先于文字。第15页,共53页，2024年2月25日，星期天（三）、数学史的教育价值约五千多年前，出现了书写记数系统：(1)古埃及草片文书上的象形数字(公元前3400年左右)第16页,共53页，2024年2月25日，星期天（三）、数学史的教育价值(2)巴比伦泥板上的楔形数字(公元前2400年左右)第17页,共53页，2024年2月25日，星期天（三）、数学史的教育价值(3)中国的甲骨文数字(公元前1600年左右)第18页,共53页，2024年2月25日，星期天(4)印度——阿拉伯数字(公元六世纪，印度)(公元十世纪，阿拉伯)(公元15世纪)(公元16世纪)(现代的国际通用阿拉伯数字)第19页,共53页，2024年2月25日，星期天

2、函数概念的产生与发展1）文字语言表述函数（1608年）伽利略在创立的近代力学著作《两门新科学》中，提出了许多函数关系，如：（a）从静止状态开始自由下降的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比；（b）沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比第20页,共53页，2024年2月25日，星期天

2、符号表示伽利略在提出上述文字语言表述15年后，给出了它们的符号表示：

s=kt2,t=kl3、具体函数（曲线）在函数概念尚未提出时，因动点轨迹的研究，产生了一些具体函数（曲线），如：

y=logx,y=sinx,y=arctanx等第21页,共53页，2024年2月25日，星期天4、函数概念的提出1673年，“函数”（function）概念首次由莱布尼兹提出，用来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量，例如：切线，法线，次法线等的长度以及纵坐标等

5、函数概念的第一次抽象概括1718年，约翰·贝努利给出如下定义：“由一个变量x与常量构成的任意表达式，称为x的函数”，记为x。这里，任意表达式的构成方式是指算术运算、三角运算、指数运算和对数运算第22页,共53页，2024年2月25日，星期天6、第二次抽象概括1748年，欧拉在他的著作《无穷小分析引论》中提出函数概念的如下定义：“函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式形成的解析表达式。”记为f（x）。这里，解析表达式包括多项式、幂级数、对数表达式、三角表达式、变量的无理次幂函数以及用积分表达的函数，如1755年，欧拉又给出如下定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”第23页,共53页，2024年2月25日，星期天7、第三次抽象概括

1797年，Lacroix引入了一个更广的函数概念：“每一个量，若其值依赖于一个或几个别的量，就称它为后者的函数，不管人们知不知道用何种必要的运算可以从后者得到。”第24页,共53页，2024年2月25日，星期天8、第四次抽象概括1821年，柯西在他的著作《代数分析教程》中，先给出变量的定义：“人们把依次取许多互不相同的值的量叫做变量。”之后给出函数的定义：“当变量之间这样联系的时候，即给定了这些变量中的一个的值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其它量就叫做这个自变量的函数。”第25页,共53页，2024年2月25日，星期天9、第五次抽象概括1837年，狄利克雷在一篇论文中给出函数的定义如下：“如果对于给定区间上的每一个x的值，有唯一的一个y的值同它对应，那么y就是x的一个函数。至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算来表达，那是无关紧要的。”他给出了一个x的函数的例子：第26页,共53页，2024年2月25日，星期天10、第六次抽象概括19世纪末至20世纪初，出现了函数概念的推广，即取消了自变量的取值范围都是区间的限制，自变量x的取值可以是任一数集第27页,共53页，2024年2月25日，星期天11、第七次抽象概括20世纪初至三十年代，维布伦等在更广意义的变量概念基础上定义函数。所谓变量，就是代表事物的集合中任一事物的记号。由变量所代表的任一事物称为该变量的值。据此，函数的定义如下：“若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即：对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数”第28页,共53页，2024年2月25日，星期天（四）高中数学中的数学思想

首先，我们给出数学思想的涵义

思想：1、客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。（《现代汉语词典》）

2、思维活动的结果，属于理性认识，亦称“观念”。（《辞海》）第29页,共53页，2024年2月25日，星期天

数学思想：是对数学知识、数学方法的本质认识，是在数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，并带有普遍的指导意义，是建立数学理论及用数学解决问题的指导数学。数学思想与数学知识的关系：数学思想蕴藏于数学知识之中。数学知识是数学这个有机体的躯干，数学思想是数学的灵魂。第30页,共53页，2024年2月25日，星期天（四）高中数学中的数学思想

（1）符号思想（2）集合思想（3）函数与方程思想（4）数形结合思想（5）分类思想（6）逼近思想第31页,共53页，2024年2月25日，星期天（四）高中数学中的数学思想

（7）变换与转化思想（8）特殊化与一般化思想（9）统计思想（10）概率思想（11）归纳思想（12）类比思想第32页,共53页，2024年2月25日，星期天（五）、数学的科学和人文价值

主要体现在如下四个方面：数学在自然科学中的应用数学在技术领域中的应用数学在社会科学中的应用数学在人的发展中的作用第33页,共53页，2024年2月25日，星期天1、数学在自然科学中的应用

（1）数学与物理学近代科学之父伽利略（1564—1642）说：“数学符号就是上帝用来书写自然这一伟大著作的统一语言，不了解这些文字就不可能懂得自然的统一语言，只有用数学概念和公式所表达的物理世界性质才可认识。”伽利略应用数学知识首次提出惯性、加速度等概念，发现自由落体定律并用数学公式表述。第34页,共53页，2024年2月25日，星期天开普勒（1571—1630）发现的行星运动三大定律都是用数学语方表述的：1、行星的运行轨道是椭圆，太阳居其焦点；2、在相等的时间内，行星与太阳之间的连线扫过的面积相等；3、行星公转周期的平方与行星和太阳之间的平均距离成正比。牛顿（1643—1727）的《自然哲学的数学原理》（1687）就是用数学刻画万有引力定律、动力学定律以及宇宙体系。第35页,共53页，2024年2月25日，星期天电磁场理论几乎是纯数学理论。爱因斯坦相对论的创立与数学紧密相关，闵可夫斯基几何为狭义相对论提供了合适的数学模型，张量分析是建立广义相对论的数学工具。霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的存在性，并由此提出宇宙大爆炸和黑洞学说。规范场是纤维丛上的联络（杨振宁，1975）第36页,共53页，2024年2月25日，星期天（2）数学与生物学德国哲学家康德曾经这样说道：“我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。”马克思也说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”20世纪以来，数学与生物学建立了紧密联系，产生了许多新的学科，例如，数学生态学、数量生理学、数量遗传学、细胞动力学、人口动力学等。第37页,共53页，2024年2月25日，星期天1926年，意大利数学家伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程，用以成功解释了生物学家在地中海观察到的不同鱼类周期消长的现象描述神经脉冲传导过程的数学模型是Hodgkin-Huxley方程（1952），这项工作获得1963年诺贝尔医学和生理学奖。第38页,共53页，2024年2月25日，星期天描述视觉系统侧抑制作用的数学模型是Hartline-Rutliff方程（1958），这项工作获得1967年度诺贝尔医学和生理学奖。DNA的双螺旋结构和DNA链中碱基的排序方面的新成就，是数学家与生物学家共同合作的成果，其中用到代数拓扑、统计学、组合数学等领域的知识。第39页,共53页，2024年2月25日，星期天（3）数学与化学

数学在化学中的作用日益广泛和深入数学与化学的结合产生了许多交叉学科，如数理化学、化学动力学、分子拓扑学、计算化学等。群论在化学中有广泛的应用，如分子对称性、晶体结构的研究都使用了群论方法。第40页,共53页，2024年2月25日，星期天2、数学在技术领域中的应用

（1）20世纪最伟大的技术成就是电子计算机的发明与应用，而计算机的产生源于数学，其创始人是数学家图林（1936）和冯·诺依曼（1945），计算机科学的每一步进展都与数学紧密相关。第41页,共53页，2024年2月25日，星期天(2)20世纪医学领域中最伟大的发明是CT技术，CT理论的核心是数学中的Radon变换，创立CT理论的柯马克和第一台CT研制者洪斯菲尔德获得了1979年诺贝尔医学和生理学奖。20世纪80年代后期兴起的核磁共振显像（MRI）的主要技术之一也是数学方面的，用到傅立叶变换的快速精确的反演。第42页,共53页，2024年2月25日，星期天

(3)王选的“汉字激光照排系统”是毕昇活字印刷术后中国印刷技术的第二次革命，其中的核心思想是数学思想。

(4)运用数学的现代科学技术还有很多，如，数值天气预报、数字地球、安全技术、现代军事、飞行器设计等。第43页,共53页，2024年2月25日，星期天3、数学在社会科学中的应用

（1）数学与经济学

20世纪40年代以来，经济学研究的数学化开始出现，1944年，冯·诺伊曼与摩根斯坦合著的《博弈论与经济行为》提出竞争的数学模型并应用于经济问题，由此创立了一门新的学科——数理经济学

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（1）数学与经济学20世纪50年代以来，数学方法在西方经济学中占据了主要地位

自1969年设立诺贝尔经济学奖以来，至今共有获奖者60位，其中近80%获奖者的工作与数学紧密相关第45页,共53页，2024年2月25日，星期天

（2）数学与语言学从19世纪中叶开始，许多数学家和语言学家进行了用数学方法研究语言学问题的实践，数学与语言学的结合形成了一门新兴学科——数理语言学数理语言学用数学方法研究语言现象，并加以定量化和形式化的描述，它包括三个主要分支：

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（2）数学与语言学

a、统计语言学：主要是应用统计程序处理语言资料，如统计语言单位（音素、字母或词汇项）的出现频率；研究作者的文体风格（计算风格学）

b、代数语言学

c、算法语言学第47页,共53页，2024年2月25日，星期天

（2）数学与语言学数理语言学中使用了概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论等多个数学理论，取得了许多重要的研究成果。例如，使用计算风格学方法，确认了肖洛霍夫就是《静静的顿河》的原作者，解决了苏联文坛的一大疑案，使用这一方法在对《红楼梦