连续信源的熵与互信息量

连续信源的熵与互信息量Review离散信源的非平均自信息与熵离散随机变量的非平均自信息：离散信源的平均自信息即熵：扩展第2页,共38页，2024年2月25日，星期天离散无记忆信源：H∞(X)=HL(X)=H(X)

离散有记忆信源：H∞(X)≤HL(X)≤H(X)Review离散信源序列的熵

信源的序列熵：第3页,共38页，2024年2月25日，星期天Review离散信源的互信息第4页,共38页，2024年2月25日，星期天系统1系统2XYZ两级串联信道的情况X-Y-Z构成Markov链当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。数据处理定理Review第5页,共38页，2024年2月25日，星期天连续信源的熵与互信息量第四讲第6页,共38页，2024年2月25日，星期天

输出消息取值上连续的信源，如语音，电视等，对应的数学工具为连续型随机变量或随机过程。连续信源输出的状态概率用概率密度来表示。

连续信源的数学模型第7页,共38页，2024年2月25日，星期天考虑一个定义在[a,b]区间的连续随机变量，如下图

首先把X的取值区间[a,b]等分割为n个小区间，小区间宽度为

△=(b-a)/n，根据概率分布与概率密度曲线区间面积的关系x取值为第i个小区间xi的概率为p(xi).△,

xi为小区间xi中的一点，于是得到分割后的离散信源Xn的概率源空间为：p(x)

p(xi)△

a0xibx

连续信源的熵？第8页,共38页，2024年2月25日，星期天其中按离散信源熵的定义当△→0，n→∞时，Xn接近于连续随机变量X，这时可得连续信源的熵为：绝对熵相对熵x1x2…xnp(x1)△p(x2)△…p(xn)△第9页,共38页，2024年2月25日，星期天定义:连续随机变量的相对熵为

1)相对熵为绝对熵减去一个无穷大量；2)相对熵不具有非负性，可以为负值；4)连续信源的绝对熵为一个无穷大量，但当分析互信息量时是求两个绝对熵的差，当采用相同的量化过程时，两个无穷大量将被抵消，因而采用相对熵不影响分析互信息。3)相对熵不等于一个消息状态具有的平均信息量；连续信源的相对熵第10页,共38页，2024年2月25日，星期天定义：连续随机变量的联合熵为

定义：连续随机变量的条件熵为连续信源的相对熵第11页,共38页，2024年2月25日，星期天连续随机变量的联合熵、条件熵和互信息之间关系连续信源的互信息定义：连续随机变量的平均互信息量为第12页,共38页，2024年2月25日，星期天连续随机变量的联合平均互信息量连续信源的互信息连续随机变量的条件平均互信息量第13页,共38页，2024年2月25日，星期天连续随机变量X与离散随机变量Y联合联合熵、条件熵连续信源的熵与平均互信息量连续随机变量X与离散随机变量Y的平均互信息量第14页,共38页，2024年2月25日，星期天例题令X是在区间(a，b)上均匀分布的随机变量，求X的相对熵。解：x的概率密度为

注意:连续变量的微分熵不具有非负性当b－a>

1时，

b－a<1时，

b－a=1时，第15页,共38页，2024年2月25日，星期天例令X是数学期望为m，方差为的正态随机变量，求它的熵。解：正态随机变量x的概率密度它的值视的大小可正、可负或零，且与数学期望无关。第16页,共38页，2024年2月25日，星期天均匀分布的连续信源的熵：高斯分布的连续信源的熵：连续熵实例仅与区域的边界有关与数学期望无关，仅与方差有关第17页,共38页，2024年2月25日，星期天设pXY是(xy)二维高斯概率密度函数求X与Y的平均互信息。连续熵实例第18页,共38页，2024年2月25日，星期天例

X和Y

的一维概率密度函数容易求得为第19页,共38页，2024年2月25日，星期天X和Y之间的平均互信息由定义有

奈特

表明，两个高斯变量之间的互信息只与相关系数有关，而与数学期望及方差和无关。

第20页,共38页，2024年2月25日，星期天例:设原连续随机变量X是数学期望为m，方差为的正态随机变量，经一个放大倍数为k的放大器放大输出为Y,求Y的相对熵。解：y=kx为数学期望为km，方差为的正态随机变量，

注意:相对熵值通过线性放大器后发生变化.

第21页,共38页，2024年2月25日，星期天指数分布的连续信源的熵：连续熵实例第22页,共38页，2024年2月25日，星期天连续熵可为负值（为什么？连续熵的相对性所致）可加性平均互信息的非负性，对称性，信息处理定理最大连续熵定理连续熵的性质第23页,共38页，2024年2月25日，星期天峰值功率受限的最大熵定理若连续随机变量X的峰值不超过M，即X限于(-M,M)内取值，则X的相对熵当且仅当X为均匀分布时等号成立。平均功率受限的最大熵定理若连续随机变量X的方差为一定，则X服从正态分布时的相对熵最大，即连续信源与离散信源不同，1)它不存在绝对最大熵;2)其最大熵与信源的限制条件有关。最大连续熵定理第24页,共38页，2024年2月25日，星期天峰值功率受限的最大熵定理

若连续随机变量X的峰值不超过M，即X限于(-M,M)内取值，则X的相对熵当且仅当X为均匀分布时等号成立。平均功率受限的最大熵定理若连续随机变量X的方差为一定，则X服从正态分布时的相对熵最大，即最大连续熵定理第25页,共38页，2024年2月25日，星期天证明：应用拉格朗日乘因子法，首先构造函数由相对熵定义，可得当且仅当时，等号成立。将其代入约束条件可得，则有于是有X∈

(-M,M)第26页,共38页，2024年2月25日，星期天峰值功率受限的最大熵定理若连续随机变量X的峰值不超过M，即X限于(-M,M)内取值，则X的相对熵当且仅当X为均匀分布时等号成立。平均功率受限的最大熵定理

若连续随机变量X的方差为一定，则X服从正态分布时的相对熵最大，即最大连续熵定理第27页,共38页，2024年2月25日，星期天证明：考虑到约束条件应用拉格朗日乘因子法计算极大值当且仅当时，等号成立。将其代入两个约束条件，即可求得和于是有X的方差一定第28页,共38页，2024年2月25日，星期天均值受限的最大熵定理若连续随机变量X非负的均值为M，则X服从指数分布时的相对熵最大，即最大连续熵定理第29页,共38页，2024年2月25日，星期天当平均功率受限时，高斯分布信源的熵最大，若令其平均功率为，则其熵为熵功率若平均功率为的信源具有熵为HC(X)，则称熵为HC(X)的高斯信源的平均功率为熵功率若另一信源的平均功率仍为，则它的熵一定小于第30页,共38页，2024年2月25日，星期天连续信源的剩余度平均功率受限时，一般信源的熵小于高斯分布信源的熵，所以信号的熵功率总小于信号的实际平均功率。熵功率的大小可以表示连续信源剩余的大小。信号平均功率和熵功率之差，称为连续信源的剩余度。第31页,共38页，2024年2月25日，星期天思考:设X和Y为连续随机变量，且X的概率密度为条件概率密度为其中－∞<x，y<∞。试求Hc(X)，Hc(Y/X)，Hc(X/Y)和I(X；Y)。第32页,共38页，2024年2月25日，星期天解：第33页,共38页，2024年2月25日，星期天第34页,共38页，2024年2月25日，星期天思考:习题2.23设X是在[－1，1]上为均匀分布的随机变量。试求Hc(X)，Hc(X2)和Hc(X3)。解:(a)

(b)令第35页,共38页，2024年2月25日，星期天(c)令