相似三角形基本模型综合培优训练（三）（解析版）

相似三角形基本模型综合培优训练（三）1．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（

）A．8 B．7 C．9 D．【答案】D【详解】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED＋∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，在△PEF与△DAE中，∴△PEF≌△DAE（AAS），∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE−CE＝CD−CE，∴PC＝DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF＝45°，∴点F在∠BCP的平分线上，如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AC、BM，连接AM交直线CF于点F，此时，AF＋BF最小，∵点B关于直线CF的对称点M，∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，∵ABCD，∴四边形ABMC为平行四边形，∴BG＝CG＝BC＝4，设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM−PC＝8−x，∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PFBC，∴△MPF∽△MCG，∴，即，解得：x＝，∴CE＝CD−DE＝8−，∴，故选：D．2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=DC，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF，在△ADF和△DCE中，，∴，∵，∴，∴．如图：延长DE交AB的延长线于H，，，，，∴BH=AB,点B是AH的中点，∵，，∴GB=HB，∴，∵，∴，∴，故选：A．3．如图，等边的边长是，点是线段上一动点，连接，点是的中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是直角三角形时，则线段的长度为______．【答案】或【详解】解：当时，当点在上时，是等边三角形且边长为，，，，旋转得到线段，，，，，是的中点，，，即时，，；，如图，延长到使，连接、，过作交延长线于，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，即，在和中，，≌，，，，，，，，设，则，是中点，，由旋转性质可知，，，，，∽，，，，，，，；当时，，，不成立，综上，或；故答案为：或．4．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是_____．【答案】2【详解】解：如图，∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4∴∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABE，∴点A，D，B，E四点共圆，∵∠DAE=90°，∴∠DBE=90°，∵F是DE的中点，，∴当DE最小时，BF的值最小，∵若点E是直线BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=4，∴，，∵△ABC∽△ADE，，，∴，∴BF=2，∴BF的最小值是2．故答案为:2．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC=2，则OE=_________．【答案】【详解】在CA上截取CF=CE，∵CD平分∠BCA，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，在△COE和△COF中，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∵EF平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=15°，∴∠COE=∠COF=∠AOD=45°+15°=60°．∵∠AOC=180°-∠CAE-∠ACO=180°-(∠BAC+∠ACA)=180°-(180°-60°)=120°，∴∠AOF=120°-60°=60°，∴∠AOD=∠AOF，在△AOD和△AOF中，∴△AOD≌△AOF（ASA），∴OF=OD，∴OE=OE．作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，∴∠CMO=∠CND=90°，∵∠OCM=∠DCN，∴△OCM∽△DCN，∴．∵sinB=，BD=4，∴DN=2，∵OC=2，∠OCM=45°，∴CM=OM=2，∴，∴OE=OD=．故答案为：．6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与BC边上的点重合，折痕为BE，再沿过点E的直线折叠，使点B与AD边上的点重合，折痕为EF，连接，，若，则的值为__________．【答案】【详解】解：设AB=a，∵矩形纸片ABCD折叠，使点A与BC边上的点重合，折痕为BE，∴，∴∴AE=AB=a，∴BE=，∵矩形沿过点E的直线折叠，使点B与AD边上的点重合，∴EB=，FB=，∠BEF=，∵，∴=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∴EB==FB=，∴四边形为菱形，∴，∵，∴，又，∴，∴，即，∴，∴，∴．故答案为∶．7．如图，等边边长为，点，分别是，边上的动点，且，作平行四边形PQCR，则用含的代数式表示平行四边形PQCR的面积为_____；当PCAR时，______．【答案】

##【详解】解：如图，过点P作PH⊥BC于点H，∴∠PHB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，BC=AB=4，∵AP=BQ=x，∴PB=QC=4-x，在Rt△BPH中，∵∠B=60°，∴PH=，∴平行四边形PQCR的面积=QC•PH=；当PCAR时，如图，连接PC，AR，AC、PR交于点O，∴△AOR∽△COP，∴，∵PRBC，∴△APO是等边三角形，∴AO=AP=PO=x，∴OR=PR-PO=4-x-x=4-2x，CO=4-x，∴，解得x=，∴当PCAR时，x=，故答案为：；．8．如图，菱形中，，对角线相交于点，点、分别是边、上的点，且，连接、分别交对角线于点、，若，，则的面积为__．【答案】【详解】解：四边形为菱形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，故答案为：．9．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在直线上的动点．(1)如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；(2)如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；(3)在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4，AE：EC＝1：3，请直接写出的值为．【答案】(1)AC＝BF+AE，理由见解析(2)2AE•BF＝AC2，理由见解析(3)【解析】（1）结论：AC＝BF+AE．理由：连接CD，如图①所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠ACD＝∠DCF＝45°，CD＝AB＝AD＝BD，∴∠A＝∠DCF，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；，∴BF+AE＝BF+CF＝BC＝AC，即AC＝BF+AE；（2）（1）中的结论不成立．结论：．理由：连接CD，如图②所示：∵∠ADF＝∠ADE+∠EDF＝∠B+∠F，∠EDF＝∠B＝45°，∴∠ADE＝∠F，又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BFD，∴＝，∴，∴，∵，∴；（3）∵AC＝4，AE：EC＝1：3，∴AE＝AC＝，AD＝CD＝4，由①得：，∴BF＝8，∵BC＝AC＝4，∴CF＝BF﹣BC＝4，∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，由①得：∠ADE＝∠F，∴∠F＝∠CDG，∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCG，∴∠DCF＝∠GCD，∴△DCF∽△GCD，∴＝＝＝．故答案为：．10．如图1在中，，，是中点，为上一点，连接，过作于交于．(1)求证：；(2)探究与的数量关系，并证明；(3)如图2，若，求的值．【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】（1）∵，，∴，∴；（2）如图，∵，，将绕点逆时针旋转，得到，∴，∴，，∴三点共线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为的中点，∴，∴，（3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，设，∵，∴，根据（2）可得，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，又，∴，∴，在中，，∴，，∴，∴，∴．11．在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是射线BA上一点，且满足DA＝DE，点F在线段CE上，联结DF，使∠EFD＝∠DAB．(1)如图，当点E在边BA上时，①求证：DF•CE＝AB•AD；②若BE＝2，求线段CF的长．(2)若△DCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长．【答案】(1)①见解析；②；(2)6或【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，ABCD，∴∠AED=∠CDE，∵DA=DE，∴∠DAB=∠DEA，∵∠EFD=∠DAB，∴∠DFE=∠DAB=∠DEA=∠EDC，又∵∠CED=∠DEF，∴△DEF∽△CED，∴，∴DF•CE=AB•AD；②解：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，∵BE=2，AB=6，∴AE=4，∵AD=DE，DH⊥AB，∴AH=EH=2，∴，∵ABCD，DH⊥AB，EN⊥CD，∴∠DHE=∠END=∠HDC=90°，∴四边形DHEN是矩形，∴EH=DN=2，EN=HD=，∴CN=4，∴，∵△DEF∽△CED，∴，∴，∴，∴；（2）解：当CF=CD时，CF=CD=6，当CF=FD时，如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，∵CF=FD，∴∠FCD=∠FDC，∴∠EFD=2∠FCD，∵∠EFD=∠DAB=∠BCD，∴∠BCD=2∠FCD，∴∠BCE=∠FCD，∵ABCD，∴∠BEC=∠FCD=∠BCE，∴BC=BE=3，∵AB=6，∴AE=3，∵AD=DE，DH⊥AB，∴AH=EH=，∴，∵AB∥CD，DH⊥AB，EN⊥CD，∴∠DHE=∠END=∠HDC=90°，∴四边形DHEN是矩形，∴EH=DN=，EN=HD=，∴CN=，∴，综上所述：CE的值为6或．12．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至A，记旋转角为α，连接B，过点D作DE垂直于直线B，垂足为点E，连接D，CE．(1)如图1，当α＝时，△DE的形状为______，连接BD，B与CE的数量关系是______．(2)当且a≠时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与E的数量关系．【答案】(1)等腰直角三角形，B＝CE(2)①两结论仍然成立，证明见解析；②BE＝3E或BE＝E【解析】（1）解：∵AB＝A，α＝，∴△AB是等边三角形，∴∠AB＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝，∴∠DA＝，AD＝A，∴∠DE＝，∴∠DE＝，∵DE⊥E，∴△DE是等腰直角三角形，连接BD，则△BCD是等腰直角三角形，∴，∠BDC＝∠DE＝，∴∠BD＝∠CDE，∴△BD∽△CDE，∴，∴B＝CE；（2）解：①两结论仍然成立，连接BD，设∠BA＝x，则∠AB＝﹣x，∠AD＝x﹣，∵AD＝A，∴∠AD＝[﹣（x﹣）]＝﹣x，∴∠BD＝∠AD﹣∠AB＝（﹣x）﹣（﹣x）＝，∵DE⊥E，∴△DE是等腰直角三角形，∴，∠BDC＝∠DE＝45°，∴∠BD＝∠CDE，∴△BD∽△CDE，∴，∴B＝CE；②BE＝3E或BE＝E，若CD为平行四边形的对角线，点在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点，连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥B交B的延长线于点E，由（1）可知△ED是等腰直角三角形，∴D＝E，由（2）①可知△BD∽△CDE，且B＝CE，∴＝＝，若CD为平行四边形的一边，如图，此时点E与点A重合，∴BE＝E，综上所述，BE＝3E或BE＝E，13．在△ABC中∠B＝45°，∠BAC＝90°，E为BC边上一点，D为BA延长线上一动点，连接DE，且∠BDE＝∠ACD．(1)如图1，求证：DE＝DC．(2)如图2，过点B作BF⊥CD于点F，交AC于点G，交DE于点H，求证：．(3)如图3，若点M是AC的中点，AC＝，点N是BC边上点E左侧的一点，且NE＝1，当点D在运动过程中，当四边形ANEM周长最短时，直接写出DC的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】（1）证明：如图1中，∵∠B=45°，∠ABC＝90°，∴AB=AC，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∠DCE＝∠ACB+∠ACD，∠BDE＝∠ACD，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（2）证明：如图2中，连接DG并延长交BC于点H．∵BF⊥CD，∴∠BAG＝∠CFG＝90°，∵∠AGB＝∠CGF，∴∠ABG＝∠ACD，∵∠BAG＝∠CAD＝90°，AB＝AC，∴△BAG≌△CAD（ASA），∴AG＝AD，∴∠AGD＝∠ADG＝∠CGH＝45°，∵∠GCH＝45°，∴∠GHC＝90°，∴DH⊥EC，∵DE＝EC，∴EH＝CH，∴CH＝CG，∴EC＝CG；（3）解：如图3﹣1中，作APEN，且AP＝EN，作点P关于BC的对称点T，连接MT交BC于点E，连接EP，此时四边形ANEM的周长最小．过点A作AQ⊥BC于点Q，过点M作ML⊥BC于点L，设PT交BC于点J．则四边形APJQ是矩形，∴AP＝QE＝1，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝AB＝8，∵AQ⊥BC，∴BQ＝CQ＝4，∴AQ＝BQ＝CA＝PJ＝JT＝4，∵AM＝CM＝2，ML⊥CB，∴CL＝ML＝2，∴JL＝CQ﹣QJ﹣CL＝1，∵MLJT，∴＝＝，∴LE＝JL＝，∴CE＝EL+CL＝，如图3﹣2中，过点D作DH⊥EC于点H．∵DE＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝，∵∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴BH＝DH＝8﹣＝，∴CD＝＝＝．14．矩形ABCD满足BC＝2AB，E、F分别为AD、BC边上的动点，连接EF，沿EF将四边形DEFC翻折至四边形GEFH．(1)①如图1，若点G落在矩形ABCD内，当∠BFE＝57°时，直接写出∠AEG＝．②如图2，若点G落在AB边上，当G为AB中点时，直接写出sin∠BFH＝．(2)如图3，若点G落在AB边上，且满足AB＝nAG，①求的值（用含n的代数式表示）；②在E、F运动的过程中，直接写出的值（用含n的代数式表示）【答案】(1)①66°②(2)①＝②＝【解析】（1）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠DEF＝∠BFE＝57°，∵沿EF将四边形DEFC翻折至四边形GEFH，∴∠DEF＝∠FEG＝57°，∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠FEG＝66°．故答案为：66°②如图2所示，∵沿EF将四边形DEFC翻折至四边形GEFH，∴EG＝DE，∠D＝∠EGH＝90°，∠C＝∠H＝90°，∵∠BFH＋∠HMF＝∠BMG＋∠BGM＝90°，∠HMF＝∠BMG，∴∠BFH＝∠BGM,∵∠AGE＋∠BGM＝∠AEG＋∠AGE＝90°，∴∠BGM＝∠AEG，∴∠BFH＝∠AEG，设AB＝a，则BC＝AD＝2a，∵G为AB的中点，∴AG＝BG＝，设AE＝x，则EG＝DE＝AD－AE＝2a－x，由勾股定理得，，∴，解得x＝，∴EG＝2a－x＝，∴sin∠AEG＝，∴sin∠BFH＝sin∠AEG＝．故答案为：（2）解：①如图3所示，连GF，令GH交BC于点M，由对称可得：DF＝GF，∵∠GBM＝∠FHM＝90°，∠BMG＝∠HMF，∴△BGM∽△HFM，∴，∴，∴△BMH∽△GMF，又∵∠BMH＝∠GMF，∴＝sin∠BGH＝sin∠AEG，令AG＝m，则AB＝nm，AD＝BC＝2nm，设GE＝x，则DE＝GE＝x，AE＝AD－DE＝2mn－x，在Rt△AEG中，由勾股可得：，，解得：x＝，∴sin∠AEG＝，∴＝；②令CF＝y，则BF＝2nm－y，BG＝mn－