第09讲 一元二次方程的解法-公式法（解析版）

第09讲一元二次方程的解法-公式法2.2【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【基础知识】公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.【考点剖析】考点1：公式法解一元二次方程及其逆用例1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值【解析】解：化为一般形式为：，，故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．例2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．【解析】解：A.的两根为，故选项A不符合题意；B.的两根为，故选项B不符合题意；C.的两根为，故选项C不符合题意；D.的两根为，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．例3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【解析】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．例4．用公式法解方程，其中求得的值是（

）.A．16 B．C．32 D．64【答案】D【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可.【解析】解：方程整理得：，∴，，，∴，故选D.【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．例5．是下列哪个一元二次方程的根（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【解析】解：对于一元二次方程，方程的根为：．因为，所以，，，所以对应的一元二次方程是：．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本考点，熟练掌握基本知识是解题关键．例6．方程中，的值为__________，根是___________．【答案】

12

【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可．【解析】解：变形为：，∵a=2，b=2，c=-1，∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0，∴x==，∴故答案为：12，．【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键．例7．解下列方程：(1)(2)(3)【答案】(1)，(2)，(3)方程无解【分析】先将方程化为一般式，再用公式法直接求解．(1)解：，，∵，∴，∴，；(2)解：，，∵Δ=>0，∴∴，；(3)解：，∵∴方程无解．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．例8．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法计算即可；（2）利用解一元二次方程中的公式法计算即可．（1）解：由公式法可知：∴即：，（2）解：移项得：由公式法可知：∴即：【点睛】本题考查了解一元二次方程的相关知识点，重点要掌握配方法，公式法，因式分解法等．例9．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【答案】x1=，x2=．【分析】把方程整理成一般式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解．【解析】解：原方程整理得：6x2-x-4=0，∵a=6，b=-1，c=-4，，∴，∴x1=，x2=．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．例10．解下列方程或不等式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2），【分析】（1）移项，系数化为1，再将结果化简可得；（2）方程变形后，利用公式法求解．【解析】解：（1），∴，∴∴∴（2），整理得：，∵a=，b=，c=1，∴△=，∴x=，解得：，．【点睛】本题考查了解不等式，二次根式的分母有理化，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和求根公式．例11．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（

）A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D．【答案】C【分析】根据求根公式对照求解即可．【解析】解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，，又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，∴=∴ac=-1．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．考点2：选择适当的方法解一元二次方程例12．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(

)A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法【答案】D【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法.④2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法.所以选D.例13．解方程①9(x-3)2=25，②6x2-x=1，③x2+4x-3596=0，④x(x-1)=1.较简便的方法依次是（

）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解;对于方程③二次项系数为1可考虑配方法;对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.例14．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．①；②；③；④；⑤．(1)直接开平方法：________；(2)配方法：_________；(3)公式法：________；(4)因式分解法：_________．【答案】

①

④⑤

③

②【分析】根据方程的特征逐一判断即可.【解析】解:①x-1=x=1.故①用直接开平方法解更简单.②原方程可变形为:；∴此方程用因式分解法解更简单.③-5x+6=3-5x+3=0∴此方程用公式法求解更好.④∴此方程用配方法解更好.⑤．=100∴此方程用配方法解更好.故答案为:

(1).①

(2).④⑤

(3).③

(4).②【点睛】本题考查了选择适当的解法求解一元二次方程.考点3：比较一元二次方程根的大小例15．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(

)A．1+ B． C． D．【答案】B【分析】利用公式法解方程求得方程的解，比较即可解答.【解析】解：,a=1，b=-1，c=-1，△=1+4=5＞0，x=，∵，∴较大的实数根为.故选B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法——公式法，正确利用公式法解方程是解本题的关键．例16．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（

）A．≥B．＞C．≤D．＜【答案】A【解析】因为,且a＜0,所以≥,故选A.例17．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣【答案】B【分析】先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案．【解析】2x2-4x=，8x2-16x-5=0，x=，∵x1为一元二次方程2x2-4x=较小的根，∴x1=，∵5＜＜6，∴-1＜x1＜0．故选B．【点睛】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．考点4：公式法的应用例18．若分式的值为，则的值等于_______.【答案】2【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【解析】解：根据题意:x2-x-2=0,且x2+2x+1≠0解x2-x-2=0，解得x=2或x=-1．当x=2时，分母x2+2x+1=9≠0，分式的值为0；当x=-1时，分母x2+2x+1=0，分式没有意义．所以x=2．故填2.例19．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为_____．【答案】6+【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【解析】方程x2-12x+31=0，变形得：x2-12x=-31，配方得：x2-12x+36=5，即（x-6）2=5，开方得：x-6=±，解得：x=6+或x=6-，当x=6-时，2x=12-2＜20-12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2-12x+31=0的根为6+．故答案是：6+.【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．例20．若，那么________．【答案】【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．【解析】解：由原方程，得两边同时乘以得：（）2+3×-2=0设=t，则上式方程即为：t2+3t-2=0，解得，t=，所以=；故答案是：.【点睛】本题考查了解一元二次方程--公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．考点5：创新阅读材料题例21．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（

）A．－1 B．－1或 C． D．1或【答案】B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【解析】解：当x>0时，有，解得，(舍去)，x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．【真题演练】一、单选题1．（2020·山东临沂·中考真题）一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.【解析】解：∵中，a=1，b=-4，c=-8，∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，∴方程有两个不相等的实数根∴x=，即，，故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．2．（2013·山东日照·中考真题）已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：解得，∴较小根为．∵，∴．故选A．二、填空题3．（2019·西藏·统考中考真题）一元二次方程的根是_____．【答案】．【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．【解析】，a=1，b=－1，c=－1，，，所以，故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．4．（2012·湖北黄石·中考真题）数学王子高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时候就能在讲堂上快速的计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100

①S=100+99+98+…+3+2+1

②由①+②：有2S=（1+100）×100解得：S=5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=_________【答案】12【解析】设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2+2n-168=0，解得n1=12，n2=-14（舍去）．故答案为12．三、解答题5．（2019·湖南常德·统考中考真题）解方程:.【答案】【分析】运用公式法解一元二次方程.【解析】解：【点睛】掌握运用公式法解一元二次方程.6．（2008·浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①；②；③；④．【答案】①；②；③，；④．【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接开平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；【解析】解：①；∵a=1，b=-3，c=1，∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴,即；②；∴x-1=∴，③；∴x（x-3）=0∴x=0或x=3∴，；④∴∴；∴∴【过关检测】一、单选题1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值【解析】解：化为一般形式为：，，故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．【解析】解：A.的两根为，故选项A不符合题意；B.的两根为，故选项B不符合题意；C.的两根为，故选项C不符合题意；D.的两根为，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【答案】C【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．【解析】解：判别式故选：C【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．4．解方程时，下面说法正确的是（

）A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用【答案】D【分析】公式法和配方法适用于任何有实根的一元二次方程．【解析】解：∵有实根，任何有实根的一元二次方程都可用配方法和公式法求解．故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，熟悉每种方法的适用条件是解题的关键．5．用公式法解方程，其中求得的值是（

）.A．16 B．C．32 D．64【答案】D【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可.【解析】解：方程整理得：，∴，，，∴，故选D.【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．6．一元二次方程x2﹣px+q=0的两个根是（4q＜p2）（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的求根公式x=−b±b2−4ac【解析】∵a=1，b=-p，c=q，∴b2-4ac=p2-4q，∵4q＜p2，∴b2-4ac=p2-4q＞0，∴x=−b±b2−4ac故选A．【点睛】此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0【答案】A【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．8．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于(

)A．3

B．2

C．1

D．【答案】B【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x＝＝，即p＝；2x2－2x－1＝0，这里a＝2，b＝－2，c＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x＝＝，即q＝；则p＋q＝＋＝2．故选B．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a，b，c，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．9．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（

）A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式可得答案．【解析】解：根据一元二次方程的求根公式可得：，，∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，∴，∴,,∴则，，故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．10．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3+1的值为（）A．1+ B．1﹣ C．3﹣ D．3+【答案】D【分析】用一元二次方程求根公式得x＝，利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，代入即可求得．【解析】解：x2﹣x﹣1＝0，∵，∴，∴x＝，且x2＝x+1，∵x＞0，∴x＝，∴x3+1＝x•x2+1＝x（x+1）+1＝x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，∴．故选：D．【点睛】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．二、填空题11．把方程化为一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.【答案】

3

－5

－2

49

2【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解析】解：方程化为一般形式是：，∴a＝3，b＝−5，c＝−2，∵b2−4ac＝25＋24＝49，∴x＝，则方程的解为x1＝，x2＝2．故答案为；3，−5，−2，49；，2．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．12．方程的解为________．【答案】或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【解析】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．13．认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．（1），应选用________法；（2），应选用_______法；（3），应选用__________法；（4），应选用__________法．【答案】

直接开平方

配方

因式分解

公式【分析】（1）将方程的二次项系数化为1得到，用直接开平方法求解；（2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法；（3）先移项，然后提出公因式，用因式分解法；（4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法．【解析】解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法；（2）的两边都加上64，易配方得，故选配方法；（3）方程，移项得，直接提公因式求解即可，故选因式分解法；（4），二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解．故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据方程的不同结构特点，选择适当的方法解方程．14．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．①；②；③；④；⑤．(1)直接开平方法：________；(2)配方法：_________；(3)公式法：________；(4)因式分解法：_________．【答案】

①

④⑤

③

②【分析】根据方程的特征逐一判断即可.【解析】解:①x-1=x=1.故①用直接开平方法解更简单.②原方程可变形为:；∴此方程用因式分解法解更简单.③-5x+6=3-5x+3=0∴此方程用公式法求解更好.④∴此方程用配方法解更好.⑤．=100∴此方程用配方法解更好.故答案为:

(1).①

(2).④⑤

(3).③

(4).②【点睛】本题考查了选择适当的解法求解一元二次方程.15．方程（）的根是___________．【答案】【分析】利用公式法解一元二次方程即可得出结论．【解析】解：∴x=解得：故答案为：．【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．16．方程中，的值为__________，根是___________．【答案】

12

【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可．【解析】解：变形为：，∵a=2，b=2，c=-1，∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0，∴x==，∴故答案为：12，．【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键．17．若a2＋ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为__________.【答案】【解析】∵a2＋ab﹣b2=0(ab≠0)，∴b2-ab﹣a2=0(ab≠0)，∴()2-−1=0，解得=，故答案为.18．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则________．【答案】3【分析】根据新定义的运算法则，构造一元二次方程，再求解即可．【解析】解：∵把放入魔术盒，得到实数，∴，解得：．故答案为：3．【点睛】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．正确理解新定义的