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文档简介
习题1-1
1.计算下列极限
ax-xa
(1)lim------,a>0-
r-x-a
解:原式=—=(优)'k〃一
-x-ax-a
=aa\na-a-aa~]=4(Ina-1)
sinx-sintz
(2)lim—;--------;
isin(x-a)
sinx-sin.,i
解:原式=vlim-----------=(sinx)=cosa
x=a
Xf“x—a'
]imn2(yja+~^=-2),a>0;
"T8Na
解:原式=lim3(®^)2=[(/)'l]2=ln2a
〃T8用01/n,x=0
(4)lim4(l+-)/,-l],p〉0;
〃一>8n
(l+»f
解:原式=lim(x")'L=l=PX「T
H->001lx=l=P
n
⑸lim(l+tanx)1»-(l-sinx)'»
gosinx
肘#i-(l+tan%y°—1..(1—sinx)10—1
解:原式--------------lim-------------
•s。tanxio-sinx
99
=10(l+0l,=o+10(l+f)%=20
心一T
(6)lim-7=——,〃2,〃为正整数;
iVx-1
(3)
解:原式=哂舍症!
过=巴
(/),m
x=i
2.设/(x)在玉)处二阶可导,计算盛/(/+力)-2/::0)+/(/一〃)
解.原式.尸二+①一八、。一①1加八%+人)一尸(/)+尸(/)—/'(/一人)
.八,102/2202h
=;/"(Xo)+gr'(Xo)=/"(Xo)
limm+^wu)+]而/(/一田一广(”。)
hfO2h20-2h
3.设。>0,/(。)>0,/'(a)存在,计算
f/(a)
ln/(x)-lnf(a)
解:lim[J(,)pnx-lna=]jmelnx-lnt?
x->afWX—->Q
Hm】n/(x)Tn/(a)
limln/(x)-ln/(a)x-a
eialnx-ln^gXTcix-aInx-lntz
//)a
习题1-2
1.求下列极限
(1)lim(sinJx+1-sinvx-1);
*->+00
解:原式=limcosj缶—^[(x+l)—(x—l)]=0,其中J在x—l与x+1之间
1田2痣
/八「cos(sin^)-cosx
(2)lim--------------;
gosinx
解:原式=limsmS(sm..x)=_]淞(*>(1)「巾「x)=j_,其中J在x与sinx之间
*T0xXf0gxx6
(3)lim(A/X6+X5-\/x6-x5);
A->+00
解:原式=lim4(l+-)^-(l--r]=limx--(l+^p•[(1+-)-(1--)]
•szXXXTm6XX
13111
=lim—(l+J)6=_,其中J在1一一与i+上之间
1+0033xx
.211
(4)limn(arctan——arctan-----);
〃T+<»Nn+1
解:原式=lim/_I^(_L-—!—)=1,其中其中f在」一与!之间
〃一”1+4+1H+1n
/(。+))
2.设/(x)在。处可导,f(a)>0,计算lim
”(In/(6f+-)-lnf(a-))limH(ln/(a+-)-lnf(a-))
解:原式=lime".”=efn."
8
ln/(6f+-)-ln/(tz)lnf(a——)-lnf(a)
Him----------------+lim----------------]八。)/'(。)2f(a)
n-KC1n->oo1---------------1------------------------------
=en~n=e/(“)/(“)=e〃a)
习题1-3
1.求下列极限
(1)lim,〃wO;
1。(l+x)"-l
2Y2
解:原式=lim空=2
XT。/LIX〃
/、1-cosxcos2x•••cosnx
(2)lim,-----------;
3。Vl+x2-1
kFr-Incosxcos2x•••cosnx….Incosx+Incos2xH----1-Incosnx
解:/r=hm------------------------------=-2hm-----------------------------------------
XTO1x->0x
-X2
2
cosx-1+cos2x-1+•••+cosnx-1..x2+(2x)2H—+(nx)2
=-2lim------------------------------------------=lim--------------;------------
XT。x->0
⑶蚓—
解:原式=lim^—-=lim--~~-=lim—=-
x(ex-l)1。x272xXTO2X2
Ij_
(4)limx2[(l+x)r-xA];
XT+oO
一,,-In(l+x)-Inx11
解:原式=limx2(ex-ex)=limxo2—(ln(l+x)-lnx)-limxln(l+—)
X->+00XXT—X
r1।
=limx—=1
XT+OCX
2.求下列极限
,...1-cosx-lncosx
(1)lim―:-----;----------
e'-e~x-sinx-
11
-x~2+-x~2
解:原式=lim2,2=]
102X-X-
ln(x+e")+2sinx
(2)lim
—。sin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanx
eEh「ln(l+x+-1)+2sinx「x+eA-l+2sinx
解:原式=hm--------------------------------------=lim----------------------------------------
xf。sin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanxsin(2tan2x)-sin(tan2x)-tanx
「x+x+2x
lim-------------=4A
so4X-2X-X
习题L4
1.求下列极限
(1)limn2(l-nsin
〃一>oon
解:原式=lim〃2[i一〃(_L__14+0(4))]=iim(-L+o(l))=L
〃T8n3!〃3!6
/、4「?—1—工
(2)求hm--------
iosinx
6
/c十r万+“16,)_%3c
1
解:原式=物lim
XTO2
1
(3)lim[x-x92ln(l+-)l:
—00x
解:原式=lim[x—------+o(—^-))]=—
is%2xx2
(4)lim(l+-)A%-v;
*—>+Q0JQ
[x2ln(l+i)-x]
解:原式=lim<?*-e2
XT8
此题已换3.设〃x)在x=0处可导,/(O)wO,/'(0)70.若4(〃)+步(2力)一/(0)在
/if0时是比/i高阶的无穷小,试确定a1的值.
解:因为解力)=〃0)+尸(0)用+。(力),f(2h)=f(.0)+2f\Q)h+o(h)
所以°=Hm,⑻+1(2/7)-2/(0)=Um(a+b—l)/(0)+(a+2b)尸(0)+。(力)
hT)h20h
从而a+b-\=Oa+2b=0解得:a=2,b=-\
3.设/(x)在5处二阶可导,用泰勒公式求Hm/(%+")一2/(:。)+/(/一”)
ioh
解:原式
/(%)+/(%注+^^〃2+0(/)-2/(%)+/(%)-/(/)//+^^/+%(〃2)
=lim---------------------------------------------------------------------
力10n
Hm5必士吆此
JOh2
4.设/(x)在x=0处可导,且lim(半+幺^)=2.求/(O)J'(O)和
XTOXXXT°X
ARB、Lc1-/Sinx/(x)\sinx+xf(x)
解因为2=hm(「一+q')=hvm-----卢」
XT。XXx-0x"
x+心2)+X[/(O)+/'(0)x+o(x)]
lim
2
XTOX
11m(1+/(0)»+/(0)八。(犬)
10x2
所以1+/(0)=0/(0)=2,即/(0)=一"(0)=2
所以=1亩尸〃°)+广⑼一心)=lim^±^=2
X->0XA—*0XXT°X
习题1-5
1.计算下列极限
1+;1
+•••d--『
(1)lim―四
/i—>00y/n
1
J/+1+y/n2
解:原式=limi+=]im
"T8+l一“—>8J〃+l
1+〃+2。2H---\-na
(2)lim(。>1)
“TOOnan+2
nan]
解:原式=lim—lim
22
”T8na"2一5一1)4+】“TOOna-(n-l)aa-a
c、n.__4x_ci,+2a.H---\-na
2.设hma“=a,求(Dhm-----\------n-;
«-»<»"TOO
解:原式=丘01十吗-==-
-(n-1)n^xIn-12
(2)lim----;--------,。尸0,i=l,2,…,〃•
〃foo111
------------1-----------------F…H-------------
qa2-----a“
a”,a,aa..11
解:由于hm」----2=--------n--lim一=一,
〃T8n〃T8%a
n
所以lim------------—=a
“f8111
------------1-----------------F…-I-------------
%a2an
3.设lim(九〃一x〃_2)=0,求lim土■和lim当~Z±
/I—>00"〃T8〃
解:因为lim(x“-x“_2)=。,所以lim(X2“一尤2"-2)=°
〃一>00〃T8
且”lTi8m(X2"+「々,1)=。
从而有stolz定理lim且■=lim2一&2=0,
”T82n,T002
且lim旦工=lim-fi=0
〃T82〃+1〃-002
所以lim%=0,lim—~^-=lim--lim-~~-J^izL=0
“TOO〃8〃n—>00几H—>00几—|
4.设0<九[<,,其中0<9<1,并且%+]=x“(l一,
q
证明:limnxti=—.
gooq
证明:因0<玉<一,所以
q
4=须(1—所以
q24gq
0<x9<-,用数学归纳法易证,0<z<,。
x
又11L=1—<1,从而X“单调递减,
由单调有界原理,limx“存在,记limx,,=L
〃TOOZl—>00
在相+i=七,(1一如“)两边令〃一>°°,可得limx“=0
“Too
〃1
所以limnxH=lim—=lim-----
M->00M->001;J->QO1I
X“X"+|X"
x“x“+ixx(l-qx„)1_qx“1
=hrm-111+1=hm—n—n---——=lim———=—
1°x“-x“+|"HX“—x〃(l-qx“)"T8qq
习题1-6
1.设/(x)在(a,+oo)内可导,且lim幺2=A,lim/'(x)存在.
XT4<OXXT+00
证明:limfr(x)=A.
X-^+CD
证明:A=lim=lim=limf'(x)
JC->+ooxXT+00JXf+<O
2.设/(x)在(凡+8)上可微,lim/(x)和lim尸(x)存在.
证明:limfr(x)=0.
XT+co
证明:记lim/(x)=A(有限),Hmf'(x)=B(有限),则
.e'f(x)e"(x)+e"'(x)
A=lim/(x)=lim—=hm-------——-=A+B
x-.t->+ooe”,r->-Ko靖
从而8=0所以lim_f(x)=O
X-
3.设f(x)在(a,+oo)上可导,对任意的a>0,
lim[ccf(x)+xff(x)]=[3,证明:lim/(x)=—.
,t—>+aOXf+8a
证明:因为a>0,所以limx"=+8,由广义罗必达法则得
..f(、xaf(x)axa-'f(x)+xaf'(x)
limf(x)=lim------=hm-----------------
0
X->-KOXT+OOCCX'
=lim"(x)+±/'(x)]=2
XT+OOaa
4.设/(x)在(a,+8)上存在有界的导函数,证明:]im/@=0.
证明:lim上也=lim,尸(x)有界,lim—1—=0,
xlnxxT+oo]nx+l“TGIIX+1
所以limlim/⑴=0
x-xlnxXT+81nx+1
习题2-1
(此题已换)1.若自然数〃不是完全平方数,证明〃是无理数.
1.证明百是无理数
证明:反证法.假若百=V(p,qwN,且p,q互质),
P
于是由3P2=/可知国2是02的因子,从而得g2=1即02=3,这与假设矛盾
2.求下列数集的上、下确界.
(1)<1——HGN>,
n
解:supE=l,inf£=0
(2)J(l+-)n
n
解:supE=e,infE=2
(3)J(-l)n+-(-l)n+,
n
解:supE=l,mfE=-1
(4)jyly=x2,xe(-l,g)}.
解:supE=1,inf£=0
3.设石={xlx?<2,XE。},验证inf£*=—0.
证明:VxeE,由-<2得x<—&n—后是E的一个下界.
另一方面,设%〉-血也是E的下界,由有理数集在实数系中的稠密性,
在(—痣,%)区间中必有有理数V,则x'2<2=>xtE且x'<%n%
不是E的下界.按下确界定义,infE=-&
4.用定义证明上(下)确界的唯一性.
证明:设尸为数集E的上确界,即力=51^^.按定义,
叨1€£有了《夕.若夕也是£的上确界且
夕H/不妨设/>尸,则对£=/—夕>O,*。€E
有X。>/—(£'—£)即工0>£,矛盾.
下确界的唯•性类似可证
习题2-2
1.用区间套定理证明:有下界的数集必有下确界.
证明:设a是E的一个下界,b不是E的下界,则a<6.
令C]=g(a+b),若A是E'的下界,则取为=G,A=/?;
若C]不是E的下界,则取为二见仇二。.
令Q=*+仇),若C2是E的下界,则取—也为
若不是E'的下界,则取的=。1,%=。2;...,
按此方式继续作下去,得一区间套{[%,"]},且满足:
。,是E的下界,/?“不是E的下界(〃=1,2,…).
由区间套定理酒G[a,也]”=1,2,…,且lima”=lin也=J.
ZJ—>oon—>ao
下证g=infE:
(l)VxeE都有xN%(〃=1,2,…),而J=|即4=>x*,
即J是E的下界.
(2)V『〉,由于limb“=J,从而当〃充分大以后,
M-X»
有切<一.而切不是E的下界n『不是E的下界,即自是最大下界
2.设/(x)在切上无界.证明:存在x°e[a,仪,
使得/(%)在x0的任意邻域内无界.
证明:由条件知,/(x)在[a,(a+b)/2]上或[(a+2)/2,加上无界,
记使J(x)在其上无界的区间为[%,仇];再二等分园,仇],
记使/(x)在其上无界的区间为[出,仇]......继续作下去,
得一区间套{[%/“]},满足/(x)在⑷也J(〃=1,2,…)上无界.
根据区间套定理,3x0e[an,bn]n=l,2,---,月/ima“=limZ?(1=x0.
n—>aoM—KC
因为对任意的b〉0,存在N,当〃NN时,有[%,2/u(Xo—b,x0+5),从而可知/(x)
在(X。-3,+3)上无界
3.设/(x),g(x)在[0,1]上满足3(0)>0,/(I)<0,若
g(x)在[0,1]上连续,/(x)+g(x)在[0,1]上单调递增.
证明:存在丁€[0,1],使f4)=0.
证明:记q=0,4=1且二等分[0,1].若/(;)20,
则记的=;也=1;若/(g)〈0,则记出=022=(.
类似地,对已取得的[an,b„]二等分,若/(制之)>0,
则记%+1=气电力向=":若/(色詈)W0,
则记善按此方式继续下去'
得一区间套{[明也』},其中f(an)>O,f(b,)<0.
根据区间套定理可知,^e[an,bn],n=l,2,3-,
且有lima”=百=limb〃.
n—>oon—>oo
因为g(x)在[0,1]上连续,所以g(a“)一>gC),g(a)->g记)(〃->oo).
注意到g(a„)<f(an)+g(an)<f(bn)+g(bn)<g(bn)可得
g(J)=lim[/(a„)+g(an)]=lim[f(bn)+g(bn)],
n—>ooM—
再由f(an)+g(an)<f^)+g^)<f(bn)+g(bn)可知
ge)w/e)+g《)wge),/4)=0.
习题2-3
1.证明下列数列发散.
1n
⑴无“=彳+(一1)"丁7,〃=12…
22〃+1
证因为x2„=1+卢yT1,X2„+1=;
24/2+12
5-8)所以{%}发散.
1
(2)yn=-----1-------1-(—I)"—,n=1,2,,,,.
nnnn
nIn+1I
证明:因为乃”=一^-->一彳,y2,1+1=-~(〃-⑹
所以{”}发散.
2.证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.
证明:二>由收敛数列与子列的关系,结论显然
<=不妨假设数列{及}单调递增,且存在收敛子列limx“=A,
k
由极限定义
对任意给定的£>0,总存在正整数当左>&时,k-$<£,
从而有A—£<X<A+£;
ntlk
由于]蛆〃忆=8,对任意〃,存在正整数K2〉K「
当大〉K2时,取N=〃勺+i,
则任意〃〉N时,A-s<x=x<x<x,<A+£
n“*+INNnn山2
所以比一A|<£,即limx“=A
11H-^OO
3.设极限lim(〃sinx+/?cosx)存在,证明:a=b=O.
XT+CO
证明:记lim(asinx+bcosx)=A山海茵定理,
XT+CO
取x^}=2n7iT+OO(HT+oo),得b=A
-)兀
取XF)=2"»H---->+oo(n—>4-oo),得a=A
2
取x:"=2〃乃+?—>+8(〃—>+oo),得一^(a+b)=A,a-b-A-0
(此题取消)4.数列{%}收敛于。的充要条件是:其偶数项子列和奇数项子列皆收敛
于a.
(此题改为4)5.已知有界数列{%}发散,证明:存在两个子列,;[和{%了}收敛
于不同的极限.
证明:因为{4}有界,由致密性定理,必有收敛的子列卜:>},设!吧x,J)=a.
又因为{七}不收敛,所以存在4>0,在("4,a+£0)以外,有{%}的无穷多项,
记这无穷多项所成的子列为卜“⑵},显然卜⑵}有界.由致密性定理,必有收敛子列卜/)},
设limx“⑵=/?,显然b*a.
习题2-5
1.用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性
(1)xn=144--+(-1)fl+,7;
除。-止—*■•+(-1严
解:
=—!——(―--!_L<1
〃+1〃+2〃+3n+p〃+1n
所以,对V£〉OJN=U/£],V〃>N,k,”—x,J<£,即*.}为柯西列
(2)xn=a0+atq+a2q~+•••+anq"(\q\<1,\ak\<M,k=0,l,---).
解:k+p-xj=+…+4Af|q『"(l+|W+...+„b4
所以,对Ve>0,BN=max{1,[In/In|^|-1},Vn>W,|x,)+p-x„|<s,即{x.}为
柯西列
2.满足下列条件的数列{x,,}是不是柯西列?
(1)对任意自然数〃,都有lim|xn+/)-x„|=0;
解:不是柯西列,如X,,=1+,+…对任意的自然数P,1101k“+.-%|=0;但数
2n1।
列卜.}不收敛。
(2)k+1-xj4修〉一演/,(0<(<1,“=2,3,…);
解:卜“+p-xj4|x„+p-xn+p_|+X“+°T---+x“+i-xj
+l,2
-k+p-x.+p-i|+k+p-1一X"+”21+…+k"+i一X"I4+k"~+•■■+k""')|x2-xt\
\-k
所以,对V£〉0JN=[lnC^4]/lnA+l,V〃>N,k“+p—x』<£,即{七}为柯西列
|"为|1
(3)^|xt+1-xJ<M(n=l,2,---,M>0).
k=]
证明:记5“=之民+1—xj,则S“单调递增有上界〃,从而必有极限,记limS“=S
'H->00
k=\
对V£>OJN,V〃〉N,|S“一S|<]
x
从而|X.+P_X“|4k"+p-X.+0-1+„+p-i---+x“+i_X„|
XX+X
-\n+p-n+P-t|\,l+p-l-X“+0-2|+…+k"+l-X,J=|S“+”i-5„_,
41sM-S|+|S,_「S|<£故卜}是柯西列
习题3-1
1.设定义在又,加上的函数/*)在(。力)内连续,且lim/(x)和lim/(x)存在(有限).
x->b~
问/(x)在(a,b)上是否有界?是否能取得最值?
解:在闭区间[a,切上构造辅助函数
fM,xe(a,b),
g(x)=1/(a+),x=a,
/•),x=b.
则g(x)在[a,句上连续,从而g(x)在[a,句上有界.由于g(x)=/(x)(a<x<b),故
/(x)在上也有界,即存在M>0,使得|/(x)|<M,,xe(a,b).
令M=max{A/,|/(a)|,|/(&)|),则有\f(x)\<M,xe[a,b].
条件同上,但/(x)在(a,份上却不一定能取得极值.例如:f(x)=x,xe(a,b)
2.设f(x)在(-8,+00)内连续,且limf(x)=+oo.证明f(x)在(-8,+8)内可取得最小
A->±C0
值.
证明:因为lim/(x)=+8,所以mA<0,当x<A时,有/(x)>/(0)
因为lim/(x)=+8,所以m5>0,当x〉8时,有/(x)〉/(0)
X-»-K0
从而当xw(-co,A)u(8,+oo)时,有f(x)>f(0)
又/(x)在[A,团连续,从而一定可以取到最小值加,BP3y0e[A5],使当时,
m=f(y0)</(x)且m=f(y0)</(0);
故xe(-oo,A)u(B,+8)时,有/(x)>/(O)2/(先)
所以/(x)在先处取到最小值
习题3-2
(此题已换)1.设q,d,%>0,4<4<4.证明:方程一^+-^+-^=。
x-b{x-b2x-b3
在(如打)和(打,%)内恰好各有一个实根.
1.证明开普勒(Kepler)方程x=£sinx+a(O<£<l)有唯一实根
证明:令/(x)=x-esinx-a,则/(x)在[〃一l,a+l]连续且
f(a-l)=-1-£,sin(a-1)<0,/(a+l)=l-£sin(a+1)>0,
由零点原理mjw(〃一l,a+l),使/©)=(),即方程元=esinx+a至少有一实根
又/,(x)=l-^cosx>0,所以/(x)在(一8,+8)单调递增,所以方程x=esinx+a有
唯一实根
(此题已换)2.设函数/(x)在(〃,b)内连续且有极值点.证明:存在
xpx2e(6f,b),%。%,使得/(为)=/(X2)・
2.设。>0,讨论方程,实根的个数
解:stcpl.令/(%)=短一则limf(x)=-oo,limf(x)=/(0)=1,由零点原理,
X->-<»A-»0
/(x)=0在(-o,0)至少有一实根,又尸(x)=ex-2ax〉0(xw(—oo,0)),所以/(x)在
(-肛0)单调递增,从而方程/="2在(_oo,0)内有且仅有一实根。
x
PXp(Y—2)
step2,令g(x)=f,则limg(x)=+8,limg(x)=+oo,且g'(x)=——',所以
Xxf0+IPX
当0<x<2时,函数g(x)单调递减;当2Vx<+oo时'函数g(x)单调递增,所以函数
22
g(x)在点x=2取得极小值g(2)=幺。所以,当0<a<J时,方程g(x)=a在(0,+8)
44
22
无解;当。=一时,8(》)=4在(0,+00)有一解;当。>一时,8(幻=4在(0,+8)有两解
44
222
综上:当0<。<幺时,方程6、=以2有一解;当。=幺•时,e*=ad有两解;当。〉J
444
时,"="2有三解
3.设/(%)在[a,b]上连续,xne[a,b],limf(xn)=A.证明存在e[a,b]使
"TOO
证法1因为/(x)在[a,句上连续,所以存在最大值"和最小值机,且使机,
从而有m4A=lim/(%„)<M.由介值定理知三4e[a,b],使/©)=4.
“TOO
证法2因为卜“}有界,所以存在收敛子列X,”(kfoo).而/(x)在[a,切上
连续,故有f4)=limf(xnt)=lim/(%„)=A
«->00K”TOO
习题10-2
1.设/(x)在[0,1]上连续,“N2为自然数.证明:
n-\1
(1)若/(0)=/⑴,则存在<£[(),——],使得/(J)=/(4+—);
nn
1n—\
证明:令尸(x)=/(x)—/(x+—),则产(x)£C[O,——],且
nn
?
/(o)=/(o)-/(-),F(l)=/(I)_/(2),...,F(ZLzl)=/(£z!)_/(1)
nnnnnn
从而E(0)+P(L)+…F(小1)=0
nn
若小w{0』,2,…,〃一1},使尸(与=0,取5=)即可
nn
否则于wje{0,l,2,…,〃一1},使「(与尸(』)<0,由零点原理,话w(4」)或(』二),
nnnnnn
使F©=0
〃一11
综上,3^e[0,——],使尸G)=0,即/C)=/e+—)
nn
(2)若/(0)=0,/⑴=1,则存在Je(0,1),使得/(0+-=/(^+-).
nn
解:^F(x)=f(x+-)-f(x)--,方法同上
nn
2.设/(x)在可上连续,且f'/(x)dLr=l,f^(x)dx=〃,f\2/(x)dx=x/2.证明:存
JciJa4rz
在句,使//)=().
证:由已知经计算得,(x-〃)2/(x)dr=0
1)若〃4。或〃2匕,由积分中值定理,3^e(a,b),使©—")2/《)=0,从而/《)=0
2)否贝II,a</.i<b,f(x—〃)"(x)dr=j:(x_〃)2/(x)dr+[(x_〃)2/(x)dx=0
a)若,(x—〃)2/(x)dx=j(x—〃)2/(x)dx=0,同1),由积分中值定理
瑞e(a,M),Me(出b),使f&)=f&)=0
b)丫与异号,由中值定理,B?7,e(a,//),37,e
使[。一〃)2/。也=(7-〃)2/(7),且1(x-〃)2/(3咫=(%-〃)2/(%)
所以“7)/(%)<0,有零点原理,送€(7,%)u(a,b)使/©=0
2
3.设fn(x)=cos"X+COS"TJ+…+COSX+COSX,求证
TT
(1)对任意自然数〃,方程£,(x)=l在[0,耳)内有唯一实根;
TT
证明:〃=1时,<。)=<:05X=1在[0,不)上有唯一实根%=0
JI1
〃>1时,有,/,(0)-l=n-l>0K/;,(y)-l=--<0,由零点存在原理,
TTjr
3x„e(0,y),使力(x“)=l,即力(x)=l在(0,§)上有一实根
-2
又fn'(x)=(〃cos"Tx+(n-l)cos"X+…+2cosx+l)(-sinx)<0,故fn(x)严格单
TT
调递减,所以方程力(x)=l在[0,w)内有唯一实根
jrjr
(2)设x„e[0,-)是f(x)=1的根,则limx„=-.
3n”783
证:对X〉O,£,(x)<£5x),从而九(%)=l",(x")<加(X.),有因为加(X)
严格单调递减,故x“+i〉x”,即{%}严格单调递增。又{当}有界,所以{%}收敛。
TT
设limx“=A,由于x“w(0,—),所以limcos"(x")=0,在
M—>003«—>00
/,-12
1==cos"xn+cos尤〃+…+cosxn+cosxn
cosx-cosnxcosA.1.TC
=-----w--------w-,令〃一>8,有1=-------,所以cosA=—,A=—即hm冗二一
l-cosxw1-cosA23"T83
4.设/(X)在[凡切上连续,不恒为常数,且/3)=向11/(%)=/3).证明存在1£3乃),
xe[a,^]
证:令尸(x)=—-,因为/(x)在[a,切上连续,不恒为常数,且
f(a)=minf(x)=f(b),所以Hr。e(a,b),使/(x。)=max/(x),于是
/(/)=p/(^^-u()-«)/Uo)=『"(,)—/(xo)m<o,
F⑸=3-。)/3)=f[/W-/(W>0,山零点原理:
JaJa
证明存在。e(x0,b)u(a,b),使网自)=0,即f"f)dr=e—a)/e).
习题4T
[|x|xwO
1.证明函数/(x)=,「'_0没有原函数.
证:设/(%)存在原函数"x),即小(x)=fM,则小(0)=/(0)=1且尸(;)=/(I)=1,
1313
由于小(2)<彳〈小(0),由达布定理,*e(o,2),使¥=尸6)=〃9=矛盾,
所以/(%)无原函数
2.设/(x)在功上可导,xvx2e[a,b].证明:
(1)若广(石)+/(%)=0,则存在J例使/《)=0;
证明:若广(须)=:。2)=0,则取4=司或4均可;否则;(阳)/(刀2)<0,又达布
定理,存在J介于%与々之间,使广修)=0;综上存在使广(9=0
(2)若/'(占)+/'(々)=〃,则存在会[a向使:《)=今
证明:若/'(玉)=:(々)=/,则取自=再或J=X2均可;否则
"'(王)一夕"'(々)一令<0,由达布定理,存在J介于王与々之间,使广©,;
综上存在会.向使/
习题4-2
1.求下列函数的导函数,并讨论导函数的连续性.
(1)/(x)=|(x+D|3;
(X+1)3,X>—1
解:/(幻=/\,则/(X)在x=—1连续,且
-(X+1),X<-1
x>—1时,/(X)=3(X+1)2,lim/。)=0,从而九(—1)=0
x->-l+
x<—1时,/'(x)=-3(x+l)2,lim/'(x)=0,从而/'(—1)=0所以/'(—1)=0
从而1(x)在x=—l连续。
所以/'(x)=4,在(一8,+8)连续
-3(x+1)2,x<-l
x1,x>0
⑵/(X)=2;
一x~,x<0
解:显然/(X)在x=-1连续,且
x〉0时,f'(x)=2x,limf'(x)=0,从而及(0)=0;
x<0时,f\x)=-2x,lim/'(x)=0,从而f'(0)=0所以尸(0)=0
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