高等数学第六版习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案

第一章

习题1-1

1.设A=(—oo,—5)u(5,+oo),B=[—10,3),写出

及小(4\5)的表达式.

解AuB=(-oo,3)0(5,+oo),

AnB=[-10,-5),

A\B=(-oo,-10M5,+oo),

A\(A\B)=[-10,-5).

2.设A、B是任意两个集合，证明对偶律:仍2尸=1。8上

证明因为

4c3)0=%eAc3=%e4或xeBoxeA，或工七台’=

xeAcuBc,

所以(ACB)C=A,uB，.

3.设映射/:Xfy,Ad,3(=X.证明

(1)/(AUB)=KA)UAB);

(2次

证明因为

yef(A<jB)<^>BxeAuB,使九%)=y

0(因为xcA或型)或y/B)

所以/(AuB)/A)/B).

(2)因为

yw/04cB)=>mxeAc5,使/(x)=y<=>(因为x&A且％c3)ye/C4)

且y/3)nye/(A)M3),

所以"4CB)U(A)MB).

4.设映射/:XfY,若存在一个映射g:YfX,使g」=/x，

”3其中/x、/y分别是X、Y上的恒等映射，即对于每一个xcX,

有/x%=x；对于每一个yeY,有/丫、='证明:/是双射，且g是y的

逆映射:g与t.

证明因为对于任意的yw—有％=g(y)wX,且於)于双刈心

产y,即丫中任意元素都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满

射.

又因为对于任意的X]W%2,必有八%1)可(%2),否则若

fM=f(X2)^g[f(Xi)]=g\f(X2)]n%i=%2.

因此/既是单射，又是满射;即/是双射.

对于映射g：yfX,因为对每个ywy,有g(y)=xwX,且满足

M^f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是/的逆映射.

5.设映射/:Xfy,AuX.证明：

(1尸(M))nA;

(2)当/是单射时，有尸|翼4))=月.

证明⑴因为xcA=/(%)="朋)^f~l(y)=xef~}(f(A)\

所以r'(AA))z)A.

(2)由⑴知尸(M))，L

另一方面，对于任意的％e/7(/(A))=>存在yc/(A),使/

%)=x=^x)=y.因为"兀4)且/是单射，所以XO4.这就证明了了

-'(/(A))o4.因止匕/7(/(A))=A.

6.求下列函数的自然定义域：

(l)y=j3x+2；

解由3X+220得x〉g函数的定义域为[等+8).

解由1T2M得用±1.函数的定义域为(_OO,T)D(-1,D51,

+00).

(3)尸二百；

X

解由"0且1-?>0得函数的定义域0)50,1].

⑷尸卷；

解由4—炉〉。得|%|<2.函数的定义域为(―2,2).

(5)y=siriA/x；

解由后0得函数的定义。=[0,+8).

(6)j=tan(x+l);

解由X+1吟(攵=0,±1,±2,…)得函数的定义域为

“左乃+5-1(女=0,+1,+2,•••).

(7)j=arcsin(x-3);

解由lx-3Kl得函数的定义域。=[2,4].

(8)y=J3-x+arctan—；

x

解由3-x>0且#0得函数的定义域D=(-oo,0)5。,3).

(9)y=ln(x+l);

解由X+1〉0得函数的定义域0=(—1,+8).

1

(10)尸族.

解由用0得函数的定义域0=(-00,0)50,+8).

7.下列各题中，函数人工)和g(x)是否相同？为什么？

(1次x)=lggQ)=21gx;

(2)/(%)=x,g(x)=疡；

(3)/(x)=Vx4-x3,g(x)=Gx-l.

(4次工)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解(1)不同.因为定义域不同.

(2)不同.因为对应法则不同,％<0时,gQ)=-x.

(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.

(4)不同.因为定义域不同.

Isinxllxl<4

8.设e(x)={5求9。3。(多,。(-多,以-2),并作出

0lx*644

函数的图形.

解。(aTsi吟1=：,夕(q)Tsi吟1=咛，夕(一电小皿一多1=乎，孤一2)=0.

oo244Z442

9.试证下列函数在指定区间内的单调性：

⑴尸产，(-吟1);

(2)y=x+lnx,(0,+oo).

证明(1)对于任意的历€(-8,1),有1-%]＞0,l-x2＞0.因为

当修＜X2时,

=W---'」•』一＜0,

121一司1—X2(1-X0C1-X2)

所以函数尸产在区间(一00,1)内是单调增加的.

1-X

(2)对于任意的凡必以。,+8),当修〃2时，有

y-y=(xi+lnxi)-(x2+^nx2)=(xi'-x2)+ln~~L＜^9

12X

一,一一2

所以函数y=x+ln%在区间(0,+8)内是单调增加的.

10.设於)为定义在(-/,/)内的奇函数，若於)在(0,/)内单调

增加，证明於)在(-/,0)内也单调增加.

证明对于V%1,%2七(一/,0)且工1＜^2,有一%1,一％2£(0,/)且一%1＞一%2・

因为兀0在(0,/)内单调增加且为奇函数，所以

的2)＜如1),1Ax2)状%1),

这就证明了对于X//,x2e(-/,0),有/(%1)＜八应)，所以/(X)在(T,0)

内也单调增加.

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(T,/)上的，

证明：

(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函

数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明⑴设厂(%)式x)+g(x).如果於)和g(x)都是偶函数，则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),

所以尸(x)为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数.

如果人x)和g(x)都是奇函数，则

厂(一%)寸_%)+廉-%)=如)_蚣)=一尸(%),

所以尸(%)为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数.

(2)设尸(对=於)y(。如果A工)和g(x)都是偶函数，则

/(-%)寸-%)奴-%)4)*(工)=尸(工)，

所以尸(%)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.

如果於)和90)都是奇函数，则

所以尸(%)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.

如果7U)是偶函数，而g(x)是奇函数，则

厂(-%)寸-%)水-%)人)[-g(x)]=/x>g(%)=-尸(%),

所以尸(%)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇

函数又非偶函数？

⑴尸2(1_%2)；

(2)产3%2T3；

(4)y=x(x-l)(x+l);

(5)y=sinx-cosx+1;

⑹产a'+q-x

2

解⑴因为於2=(—%)2[1-(一%)2]=%2(1—%2)寸⑴，所以是偶

函数.

(2)由。T)=3(T)2-(T)3=3J1%3可见於)既非奇函数又非偶函

数.

(3)因为/(1)=牛〈=产=/。)，所以八%)是偶函数.

1+(-x)1+X

(4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-%+1)=-x(x+1)(%-1fx),所以f(x)

是奇函数.

(5)El3/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cosx+1可见八%)既非奇

函数又非偶函数.

(6)因为/(_x)=R2=*Q=/(x),所以兀0是偶函数.

13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其

周期：

(l)y=cos(x—2);

解是周期函数，周期为1=271.

(2)y=cos4%;

解是周期函数，周期为/g.

(3)y=l+sin双；

解是周期函数，周期为/=2.

(4)y=%cosx;

解不是周期函数.

(5)^=sin2x.

解是周期函数，周期为/=江

14.求下列函数的反函数:

⑴尸病T；

解由>=痛1得方/-1,所以>=历1的反函数为卢丁-1.

Q)书；

解由尸E得4公，所以尸修的反函数为尸热・

⑶产3(小小0);

cx+d

解由尸3邛得户也业，所以产生邛的反函数为>=也也

cx+acy-acx+dcx-a

(4)y=2sin3x;

解由y=2sin3x得x=；arcsi吗，所以y=2sin3x的反函数为

1

y=-arcs.m-X.

(5)y=l+ln(x+2);

解由y=l+ln(x+2)得％=e"—2,所以产l+ln(%+2)的反函数为

X-1c

y=e-2.

(6)产工.

>2V+1

解由产高得所以产三的反函数为日叫卢・

15.设函数凡¥)在数集X上有定义，试证：函数凡¥)在X上有

界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

证明先证必要性.设函数大%)在X上有界，则存在正数M,

使八这就证明了八x)在X上有下界-M和上

界

再证充分性.设函数式x)在X上有下界k和上界K2,即

Kx<f(x)<K2.取M=max{IKil,\K2\},则-M<跖浜%)<

K2<M,

即

这就证明了Ax)在X上有界.

16.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这

函数分别对应于给定自变量值修和％2的函数值：

(1)y=w2,w=sinx,x=~,巧=?；

xo5

2222

解y=sinX,y}=sin=.1,y2=sin^=(^)=1•

(2)y=sinn,"=2x,西=著,工2=9；

84

解y=sin2x,yt=sin(2-1)=sin^=^,y2=sin(2-^)=sin^=l.

(3)y=^u,ll—1+x,X]=1,%2=2;

解y=Jl+/,M=J1+F=及>乃=)1+22=6.

==

(4)y^,nx,x]—0912=1；

角,y=ex2,y\=e02=1,乃=—二e.

(5)y=Li,ti=g,X]=l,%2=-L

2x2122(l)2

解y=e,yi=e=e,y2=e'~^e~.

17.设段)的定义域。=[0,1],求下列各函数的定义域：

(1)/(A

解由0女2§得|走1,所以函数於2)的定义域为[_1,1].

(2)Xsinx);

解由0<sinx<l得In7i<x<(2n+1)71(n-0,±1,±2…),所以函

数式sin%)的定义域为

\2nji,(2"+1)勿(n=0,±1,±2---).

(3)於+。)(。＞0);

解由00+於1得-a9所以函数兀r+a)的定义域为［-。,

1—

(4)f(x+a)(a＞0).

解由0。+441且0幺-441得：当0＜。您时,当

时，无解.因此当(Raw/时函数的定义域为&1-。1，当〃弓时函

数无意义.

18.设/(x)=(01x1=1,g(%)=e\求/[g(%)]和gg)],并作出这

-11%1>1

两个函数的图形.

[1levl<lf1x<0

解/[g(x)]=,0户1，即丹g(x)]=Jox=0.

-1leJl>l

Ixkllxl<l

g[/(x)]=e"x)=«1x1=1,即g"(x)]=<1x1=1.

lxl>lIxl>l

19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角街40。(图1-37).

当过水断面ABCD的面积

为定值So时，求湿周\r

L(L=A3+3C+C0与水深h

b

之间的函数关系式，并指

明其定义域.

图1-37

解AB=DC=—^,又从《川BC+(BC+2cot40°.〃)]=So得

sm402

8C=显-cot40,〃，所以

h

人衿.”240。力.

hsin40

自变量〃的取值范围应由不等式组

h>0,显-cot40°.%>0

h

确定，定义域为0<力<心0的40°.

20.收敛音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励

销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购

1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价p表示为订购量％的函数；

(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；

(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？

解⑴当0幺<100时,p=90.

4O.Ol(jto-lOO)=9O-75,得了o=16(X).因此当工21600时,p=75.

当100<c<1600时,

p=90-(x-100)x0.01=91-0.Olx.

综合上述结果得到

900<x<100

*91-O.Olx100<x<1600.

75x>1600

'30x0<x<100

(2)P=(p-60)x={31x-0.01/100<x<1600.

15xx>1600

(3)P=31x1000-0.01x100。2=2iooo(元).

习题1-2

1.观察一般项4如下的数列｛%”｝的变化趋势，写出它们的极

限：

(1)%=宝；

解当—00时，/=*—(),螃卜=0.

⑵天=(-1屋；

n

解当〃一»00时，x=(-l)n-->0,lim(-ir-=0.

n〃一>8n

(3)%„=2+-y；

nL

解当〃一>8时，X„=2+-!->2,lim(2+-V)=2.

?n->oo

⑷寸篙

解当〃-00时，X.=±J=1--二-o,

几+1〃+1〃­8〃+1

⑸%”=〃(—1广

解当及-00时,％”="(-1)"没有极限.

cosn兀

2.设数列｛招｝的一般项/=一^.问limx.=?求出N,使当

n〃T8

〃〉N时,％〃与其极限之差的绝对值小于正数£,当£=0.001时，求

出数M

解〃l一i＞m8X”=0.

|CQSY1711

Ix„-Ok一2-＜l.Vf＞o,要使lx「oi＜£,只要,＜£,也就是

nnn

n＞-.取"=山，

££

则XM〉N,有*-Oke.

当f=0.001时，Af=[i]=1000.

£

3.根据数列极限的定义证明：

(l)lim4r=0；

〃一＞8几上

分析要使』-咋之＜£，只须〃2」，即〃＞，=.

nnsy/E

证明因为Vi＞0,三代=田,当九〉N时,有.-Oke,所以

lim4=0.

“-＞8

(2)lim誓!=]；

分析要使I科4=后\＜；＜£，只须；＜£,即〃

2/?+122(2〃+1)4M4n4e

证明因为\/6＞0,三"=4],当〃〉N吐有I誓1-京£,所以

4e2几+12

lim学44.

(3)lim心匕尤=1；

〃一»8n

分析要使五Li匕"2＜之＜£,只须

〃〃n(y/n2+a2+n)n

证明因为\/£>0,知=心，当V〃>N口寸，有।近±贮一所以

8n

lim应运=1.

00n

(4)limO.999…9=1.

co''〃个

分析要使10.99--9-11=*<£,只须一<£,即〃>i+igL

10〃T10n_,£

证明因为VQO,mN=[l+lgJ,当W〉N吐有10.99…9—live,

所以limO.999…9=1.

4.limu=a,证明lim山"曰m.并举例说明：如果数列｛%1｝有极

〃一>CCn〃->8

限，但数列｛%〃｝未必有极限.

证明因为limya,所以VQOTNeN,当〃〉N时，有此-川<£,

从而

\\un\-\a\\<]Un-a\<£.

这就证明了lim%Hal.

〃一>8

数列｛%1｝有极限，但数列｛法｝未必有极限.例如

M-^OO

但lim(-1)"不存在.

00

5.设数列｛%”｝有界，又limy”=0,证明：1而与%=0.

〃一>8n->oo

证明因为数列｛与｝有界，所以存在M使V〃wZ,有心MW.

又lim%=0,所以VQO,mNwN,当“〉N时，有从而当

n>N时，有

\xnyn-Q\=\xnyn^M\yn\<M.备=£,

所以limxnyn=0.

6.对于数列{%〃},若犯J->a(攵-»00),%2k->。(攵-8),

证明：。(八―00).

证明因为12«-i->a(k―>oo),X2k~》a(k—>oo)?所以V£>0,

町,当2人-1〉2K「1时，有I程

3K2,当泉〉2K2时，^\x2k-a\<s.

取N=max{2K「l,2K2},只要〃〉N,就有比,-QI<£.

因此x〃一>a(n—>00).

习题1-3

1.根据函数极限的定义证明：

(l)lim(3x-l)=8；

xf3

分析因为

I(3x-l)-8l=l3x-9l=3lx-3l,

所以要使l(3x-1)-8虑，只须lx-3l<%.

证明因为\/6>0,皿=；£,当0<1%-3kb时，有

l(3x-l)-8kf,

所以lim(3x-1)=8.

xf3

(2)lim(5x+2)=12；

x->2

分析因为

l(5x+2)-12l=l5x-10l=5k-2l,

所以要使(5%+2)-121<£,只须lx-2合.

证明因为当0<1%-21<3时，有

l(5x+2)-12l<f,

所以lim(5x+2)=12.

Xf2

(3)lim^-4；

x->-2X+2

分析因为

|吞一(川=|小/小+2日"2)1,

所以要使|宾-(~4)|<£,只须lx-(-2)k£.

证明因为V£>o,4,当0<Lx—(―2)1<5时，有

号臼<£，

所以Hm*=—4.

x->-2X+2

(4)则居=2.

2x4-1

2

分析因为

|制一2卜1一2》-21=2院一(一》1,

所以要使|翦-2卜£,只须lx-(-/<京.

证明因为\/£>0门展京，当04-(-fkb时，有

舟的

所以lim4=2.

XT_12x+l

2

2.根据函数极限的定义证明：

(1)

xf82x2

分析因为

3

Il+x1|_|1+冗3—一3|1

33

I2x2।।2x।21尤|3

所以要使|翳-扑£,只须点但即如亡.

证明因为Vb>O,mx=；,当lxl>X时，有

yJ2e

I界一扑打

所以lim“二.

x->82x32

(2)lim芈=0.

Xf+ooJx

分析因为

所以要使|饕川<£,只须之<£,即X4.

证明因为X/QO,mx=」，当％〉X时，有

|簧.。|<£,

所以1所阴=0.

xf+°°yjx

3.当x-2时，y=x2T4.问3等于多少，使当Lr-2lvb时,

ly—41Vo.001?

解由于当x->2时,k—2l->0,故可设Lx—2kl,即l<x<3.

要使

Lx2-4klx+2llx-2l<5lx-2l<0.001,

只要lx-21（等L0.0002.

取应0.0002,贝I」当0<仅一21<3时，就有If—4k0.001.

4.当xfoo时，产辛问X等于多少，使当bd>X时,

x+3

ly—lkO.Ol?

解要使I夫p卜裳r。。1，只要出而=厮，故

X=y/391.

5.证明函数兀0=反1当x-0时极限为零.

证明因为

l/(x)-OI=llxl-OI=lxl=lx-OI,

所以要使贝x)-0k£,只须xl<£.

因为对Vf>O,m应与使当(klx-Oka时有

l/(x)-OI=llxl-OI<£-,

所以limlxl=0.

XT0

6.求小)=工小)上当—0时的左、右极限,并说明它们

XX

在％—0时的极限是否存在.

证明因为

lim/(x)=lim—=lim1=1,

x->0x■—^0-Xx■->0

limf(x)=lim—=lim1=1,

Xf0+Xfo+X10+

limf(x)=lim/(x)

XT。-XT0+9

所以极限lim/(x)存在.

x->0

因为

lim(p(x)=lim—=lim—=-l,

XT0-XT。-Xx—>0-X

lim69(x)=lim—=lim—=1,

Xfo+xfo+Xxfo+X

lim夕(r)wlim(p(x).

xf。-x->0+

所以极限limp(x)不存在.

x->0

7.证明：若xf+8及xf-8时，函数於)的极限都存在且都

等于A,则lim/(x)=A.

X—>00

证明因为lim/(x)=A,lim/(x)=A，所以Vi>0,

X->+00

mX|〉O,使当％<-X]时，有贝

3X2>0,使当％〉X2时，有KO-Ake.

取X=max{X],X2},则当Lxl〉X时，有贝%)[41<打即limf(x)=4.

X->00

8.根据极限的定义证明：函数加)当％-%°时极限存在的充

分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设则X/£>0,三苏0,使当

Ovlx—xolvb口寸，有

\f(x)-A\<s.

因此当％o-和％o<x9o+S时都有

\f(x)-A\<£.

这说明於)当尤母0时左右极限都存在并且都等于A.

再证明充分性.设4%()-0)寸M+O)/!，则X/£>0,

的>0,使当Xo-3i<x<Xo时，有瓜X)T<£；

三5>0,使当即—0+万时，有I危)—Alve.

取应min{在，㈤，则当O<IXTOI<S时，有]()-在令。。及

x()<x<x()+石，从而有

即y(x)—>A(%f：o).

9.试给出Xf8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证

明.

解Xf00时函数极限的局部有界性的定理：如果加)当

时的极限存在，则存在X〉0及M〉0,使当lxl>X时,贝

证明设8),则对于£=1,3X>0,当lxl>X时，有

\f(x)-A\<£=\.所以

\f(x)\=\f(x)-A+A\<\f(x)-AI+L4I<1+L4I.

这就是说存在X〉0及M〉0,使当lxl〉X时，叭%)I<M,其中M=1+L4I.

习题1-4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解不一定.

例如，当x-»0吐a(x)=2x,仪%)=3%都是无穷小，但,

xfoJ3(x)3

祟不是无穷小.

伙X)

2.根据定义证明：

(1)产尤U当X-3时为无穷小；

x+3

(2)y=xsin-当％―0时为无穷小.

X

证明(1)当用3时I止IW|TX-3I.因为VQOT应打当

0<1—时，有

1加1^?卜x—3kb=£'

所以当3时产白为无穷小.

x+3

(2)当一0时I)，日到sin!国X—OI.因为VQO,33=S,当O<lx-OI<^

X

时，有

I），H刈sinl|4x-OI<S=£,

X

所以当X—>0时y=xsii为无穷小.

x

3.根据定义证明：函数y区为当X-0时的无穷大.问X

x

应满足什么条件，能使忸〉1。4?

证明分析lyl=|H2|=|2+Lf-2,要使lyl〉M,只须92>M,

XXIXIIXI

即|水』.

M+2

证明因为VM〉0Tb=—使当0<lx—Okb时，有|国

M+2।xI

所以当％—0时，函数尸史主是无穷大.

X

取用=1。4,则旌高.当ovDk而七时，lyl〉10t

4.求下列极限并说明理由：

(2)1狐了.

101-X

解(1)因为处1=2+L而当X-»00时」是无穷小，所以

XXX

XT8X

(2)因为舁=l+x(Hl),而当X-0时％为无穷小，所以

1-X

1-r2

101-X

5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:

於）-A,八%）-»00那）f於）f

+00—00

x—>xVf>0,

0m苏0,使

当

0<lxT（）l<b

时，

有恒

x^x

4-

0

xfX

0

Vf>o,mx>o,使当

x-）

\x\>X时,

00

有恒

x—>

+oo

x—>

—00

解

於）-A於）fo危）f~00

Vf>0,3^0,VM>0,3^0,VM>0,3^>0,VM>0,3^0,

x—使当使当使当使当

00<lr-x（）l<（5R寸，0<IXT（）I<3H寸，O<lx-xol<^t,0<lx—xol<^f,

有恒有恒!/（x）l>M.有恒加）>M.有恒外）<-M.

\f(x)-A\<s.

V6>o,3^0,VM>0,3^0,VM>0,3^>0,VM>0,3^0,

使当使当使当使当

x—>x

O<x-%o<加寸，O<XTo<&寸，0<xr()<邠f,O<¥-Xo<H寸，

+

0

有恒有恒婚)|>".有恒加)>M.有恒加

\f(x)-A\<s.

V£>o,3^0,VM>0,3^0,VM>0,3（^0,VM>0,3^0,

使当使当使当使当

XfX

0<x()-%<(5R寸，0<¥（）-%<例寸，0<x（）-%<（5R寸，0<¥（）-x<（5H寸，

0

有恒有恒明）l>Af.有恒外）>M.有恒外）<-M.

\f(x)-A\<£.

VQO,3X>0,Ms>0,3X>0,Vfi>0,3X>0,Vf>0,3X>0,

使当kl〉X时，使当bd>X时，使当lxl>X时，使当bd>X时，

%—00

有恒有恒网%)1>”.有恒外)>M.有恒加)<-M.

\f(x)-A\<s.

V£>o,3X>0,V£>o,3X>0,V£>0,3X>0,Vf>0,3X>0,

%—>+使当x>X时，使当%>x时，使当x>X时，使当x>X时，

00有恒有恒有恒加)>M.有恒外)<-M.

\f(x)-A\<£.

V£>0,3X>0,Vi>o,3X>0,V£>0,3X>0,VQO,3X>0,

—

使当％<-X时,使当％<-X吐使当x<-X时,使当X时,

00

有恒有恒有恒危)〉M.有恒加)<-M.

\f(x)-A\<s.

6.函数y=xcos%在(-8,+oo)内是否有界？这个函数是否为当

Xf+oo时的无穷大？为什么？

解函数y=%cos尤在(一00,+00)内无界

这是因为VM〉O,在(ro,+8)内总能找到这样的％，使得

例如

y(2k7r)=2k7rcos2k7r^2k7i(k=0,1,2,•••),

当k充分大时，就有Iy(2k7i)\>M.

当xf+oo时，函数尸COSX不是无穷大.

这是因为找不到这样一个时刻N,使对一切大于N

的％,都有ly(x)l〉M.例如

)，(2版+乡=(2丘+处政2酎+9=0(左=0,1,2,...)，

对任何大的N,当女充分大时，总有X=2k4+分N,但ly(x)l=O<M.

7.证明：函数y=Lii在区间(0,1］上无界，但这函数不是当

XX

x-»0+口寸的无穷大.

证明函数户Lid在区间(0,1］上无界.这是因为

XX

VM>0,在(0,1］中总可以找到点现使y(4)〉M.例如当

4=—^々=0,1,2,…)

2k万+4

2

时，有

-2女］+.

当k充分大时,

当x-»o+时，函数尸Lid不是无穷大.这是因为

XX

VM>0,对所有的苏0,总可以找到这样的点功使

但、3）<跖例如可取

为"仅=0,1,2,…），

ZK7T

当k充分大时,xk<3,但丁（々）=2左然in2攵乃=0<M.

习题1-5

1.计算下列极限:

⑴甄养;

解啊遇〃+

5=-9.

2-3

(2)lim4^；

'x2+l

解，吸五HB?=°.

⑶"产;

解四3=1曲音*=1呷缶/=。

(4)叫包善炉；

io3X2+2X

32

解lim4x-2x+x=lim4x^-2x+l=l

入TO3X2+2XIO3X4-22

⑸［靖"

222

解lim-=limx+2hx-^-h-x=lim(2x+〃)=2x,

力fOhhfOhh—0

(6)lim(2--+^y)；

xf8xx

解lim(2--+-V)=2-lim-+lim-^=2.

18XX1XT8XX->00XL

(7)nm-^-；

X->82廿一

2i1---7

尚阜lim:一~~-=lim——产1

…2x-x-1…？」一12

,2

x2+x

(8)lim

x->oo——3x2—1'

解lim蜡衿？=0（分子次数低于分母次数，极限为零）.

x-»oox*-3xz-l

1,1

2.---1--

或li.r2A—3o.

x—m>8]_2_1=

丁一不

⑼妈M普

解㈣国鬻(x书-2)(x骑-4)^x1-2一44-72一32

(10)lim(l+i)(2-4)；

XT8XX

加星lim(l+-)(2—V)=lim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2.

X—>ooXXZX—>8XX—>8产

(11)lim(l+]+；+…+/)；

28242

解

71—>oo24

1+2+3+・・・+(〃-1)

(12)lim

(.T).

].l+2+3dF(n—1)].21VH—l1

解lim---------z----------------=lim5—=—lim="-

tsns200n2

（13）lim（〃+D（〃+?（〃+3）；

〃->85/r'

解lim妇吗普9=4（分子与分母的次数相同，极限为

>85〃□

最高次项系数之比）.

1)<〃*)(妇3))(

或lim='lim(1+li+2)(1+3)=l.

-85〃)5nnn5

(14)lim(-^—3);

xfi\-x

解lim（-....二）=lim」十三士1二3厂=一lim。巨2）尸

xfl-xl-x3XT1（1一1）（1+尢+工2）xf（1-x）（l+x+%2）

=-lim—，+2=-1.

六引1+尤+公

2.计算下列极限：

⑴典安

解因为！脸套脸肛所以!啜序=8.

2

⑵加田；

x->82x4-1

解Hm工=8(因为分子次数高于分母次数).

X->82x+l

lim(2x3-x+l).

(3x)->oc

解lim(2x3.x+l)=8(因为分子次数高于分母次数).

X—>00

3.计算下列极限：

(l)limx2sin—；

xfox

解lim/sinL。(当1-。时,f是无穷小，而sid是有界变量).

x-»oxx

⑵lim胆吗

Xf8X

解lim更如=limLarctanx=O(当Xfoo时，工是无穷小，

XfooXKf8XX

而arctan%是有界变量).

4.证明本节定理3中的(2).

习题1-5

1.计算下列极限:

⑴则留;

解lim铐一22+5=-9.

.12X-32-3

⑵席M；

解，辱舒=禹=°.

⑶靖言

解四三=四涓翡丁!呷号=畀。・

(4)呵辛炉；

zo3X2+2X

32

解lim4x-2x+x=lim4x^-2x-H=l

%TO3x2+2xx-»o3x+22

(5)lnn^±^；

/?->oh

(x+/i)2r,2x1-\-2hx-\-h1-x1

解风-=lim=lim(2x+，)=2x,

h20hA->0

(6)lim(2--+4T-)；

18xx

解lim(2一--+^z-)=2-lim—+lim」=2.

xxLXT0°xx->8xz

⑺典一T；

1-X

9

解limc':—、=lim厂_1

^->002x—x—lx->8r~2

XX.12

7

(8)lim/+f；

isx4-3x2-l

解Hm"『=O(分子次数低于分母次数，极限为零).

Xf8十一3y一1

2+3

X2+Xrr

或lim=lim—*工=0.

X—>00x4-3x2-lX->co]2__1_

一三一彳

⑼妈合爵

lim^.z6x+8=lim(x-2)(x-4)=limxz2=£L2=|

解2

x-»4X-5X+4X->4(X-1)(X-4)Xf4X-14-13

(10)lim(1+—)(2--y)；

x->8X

解lim(l+-)(2—V)=lim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2.

X->00XX，XfCOXXT8产

(11)lim(l+J+卜…+/)；

242〃

1_(_L产

解lim(l+-+-+---+—)=lim—2--=2.

"TO?242"'，T8.1

1-2

(12)limli^+^+^l).

n->oo

(n-l)n

布过[.1+2+3++(〃-l)「21i-H—11

腑lim--------5--——-=lim—%—=*limL=-^.

〃一>oon—>002n.2

(13)lim("+D(〃+平+3)；

解lim(»+l)(n+2)(H+3)=l(分子与分母的次数相同，极限为

〃->85n5

最高次项系数之比).

或lim(〃+D("+?("+3)=3iim(l+!)(l+2)(l+3)=J.

>005zz—>oony\fl5

(14)lim(—---y&7)；

n1-xl-xJ

解iim(J___\)=iiml+x+/_3,=fm(1—])(*+2乙

2

V->1l-xl-x3Xfl(1—工)(1+工+12)(l-x)(14-x+x)

X+2

=-lim9=-1.

X->1l+x+xz

2.计算下列极限：

⑴幅浮

解因为hm3率=2=0,所以扁/署=8.

12/+2犬216xf2(x-2)2

2

(2)n-^-;

Xfmoo2x4-1

解lim1T=8(因为分子次数高于分母次数).

182%+1

(3)lim(2x3-x+l).

X-»00

解lim(2x3-x+l)=8(因为分子次数高于分母次数).

4700

3.计算下列极限：

(1)limx2sin—；

10x

解limx2sinL()(当X—0时,％2是无穷小，而sid是有界变量).

ktOXX

(2)lim迎吟

Xf8X

解lim理皿=limLarctanx=O(当X-8时，上是无穷小,

.ET8XX->8XX

而arctan%是有界变量).

4.证明本节定理3中的(2).

习题1-7

1.当X-0时,2%-%2与一%3相比，哪一个是高阶无穷小?

解因为limME=lim驶=0,

无―o2x—x2x-＞。2-x

所以当0时,』-d是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).

2.当x-1时，无穷小IT和⑴l-VQgd)是否同阶？是

否等价？

解(1)因为lim=lim(l-x1l+x+x)=Hm(l+x+x2)=3

xfl\-xxfl\-x

所以当x->l时，IT和1-%3是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.

1(1-X2)

(2)因为limL------=《lim(l+x)=l,

x—>11-X2X—>1

所以当时，IT和;(1-N)是同阶的无穷小，而且是等价无穷

小.

3.证明：当X―0时，有：

(1)arctan

2

(2)secx-l~5・

证明⑴因为lim迪”=lim」=l(提示：令尸arctanx,则当

A->Oxy->otany

x—>0时,j—>0),

所以当x-»0时,arctanx~x.

2sin2^2siii]

2

(2)因为limsecx-l=21imKcos£=lim----z-^-=lim(--^-)=1,

xf01?x2COSXx-0%2xf0

2T2

所以当％-»0时，sed§.

4.利用等价无穷小的性质,求下列极限:

ri\rtan3x.

D2x