高一(Ⅱ)物理期中考试复习

【第五章曲线运动】

一、曲线运动中值得注意的几个问题

问题一：曲线运动的条件

物体做曲线运动的条件：物体所受的合力方向（加速度的方向）跟它

的速度方向不在同一条直线上。

概括：

（1）物体必须有初速度；

（2）必须有合力；

（3）速度与合力的方向不在同一条直线上。

合外力对速度的影响：合外力不仅可以改变速度的大小，还可以改变

速度的方向。

如图1-甲，与v共线的分力B改变速度的大小；与v垂直的分力K改

变速度的方向。

F2

r]----------r

图1-甲

如图1-乙、1-丙，将合力F沿着速度方向和垂直速度方向分解为乙和

F2,沿着速度方向的分力K产生加速度修改变速度的大小，垂直速度方向

问题二：运动的合成和分解

1.怎样确定合运动和分运动？

物体的实际运动——合运动。合运动是两个（或儿个）分运动合成的

结果。当把一个实际运动分解，在确定它的分运动时.，两个分运动要有实

际意义。

2.运动合成的规律

（1）合运动与分运动具有等时性；

（2）分运动具有各自的独立性。

3.如何将已知运动进行合成或分解

（1）在一条直线上的两个分运动的合成

例如：速度等于v0的匀速直线运动与在同一条直线上的初速度等于零

的匀加速直线运动的合运动是初速度等于v0的匀变速直线运动。

（2）互成角度的两个直线运动的合运动

两个分运动都是匀速直线运动，其合运动也是匀速直线运动。

一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，其合

运动是一个匀变速曲线运动.反之，一个匀变速曲线运动也可分解为一个

方向上的匀速直线运动和另一个方向上的匀变速直线运动——为研究复杂

的曲线运动提供了一种方法。

初速度为零的两个匀变速直线运动的合运动是一个初速度为零的匀变

速直线运动。

总结规律：对于以上这些特例，我们可以通过图示研究会更加简便。

具体做法：先将速度进行合成，再合成加速度，通过观察合速度与合加速

度的方向是否共线，进而判定是直线运动还是曲线运动。如图2所示。

图2

问题三：关于绳子末端速度的分解

解决此类问题的关键是抓住合运动和分运动的实质，准确地判断出分

运动或合运动，而后再根据平行四边形定则进行正确的运动合成或分解。

例：如图3,重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车〃?沿斜面升高。

则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成。角，且重物下滑的速率为v时，小车的

速度为多少？

图3

思维点拨：解决此类问题的重要思想就是通过对物体的运动进行分解,

找到两个物体速度之间的关系。就本题而言，重物M的速度V是它的合速

度，绳运动的速度既是小车的合速度又是重物的一个分速度，问题就是另

一个分速度是什么。实质上重物在下滑的过程中，既有沿绳向下运动的趋

势，同时又有绕滑轮转动的速度，绳的收缩效果与转动效果相互垂直，且

为M的两个分运动。

解析：如图4,将重物的速度u分解，由儿何关系得出小车的速度

v'-VCOS0

问题四：（小船、汽艇等）渡河问题

有关小船渡河问题是运动的合成与分解节中典型实例，难度较大。

小船渡河问题往往设置两种情况：（1）渡河时间最短；（2）渡河位移最短。

现将有关问题讨论如下，供大家参考。

处理此类问题的方法常常有两种：

（1）将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即

设水不流动时船的运动）的合运动。

（2）将船的速度吆沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图5,

%为水流速度，则匕-匕cos。为船实际上沿水流方向的运动速度，v2sin。

为船垂直于河岸方向的运动速度。

问题1：渡河位移最短

河宽d是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短

的一定是河宽d呢？下面就这个问题进行如下讨论：

⑴叫〉4

要使渡河位移最小为河宽d,只有使船垂直横渡，则应

口水一y船cos。=o,即y船Ay水，因此只有u船,u水，小船才能够垂直河

岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽d。渡河时间f=2-=--—。

“v船sm。

图6

（2）丫船＜丫水

由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。

以水流速度的末端A为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过0

点作该圆的切线，交圆于B点，此时让船速与半径AB平行，如图7所示,

从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡

河位移最小。

由相似三角形知识可得士="

du船

解得5=幺］

口船

渡河时间仍可以采用上面的方法

sd

t=—=----------

u介v船sin。

⑶%=口水

此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图8不难看出，船速与水速间的夹角

越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其

最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。

图8

问题2：渡河时间最短;

渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直

河岸方向上的速度。此方向上的速度越大，所用的时间就越短。因此，只

有船的开航速度方向垂直河岸时，渡河时间最短，B|Jf=—o

y船

二、如何解决平抛运动中的常见问题

（一）理论基础

平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落

体运动，因此常用的公式有如下几点：（如图1）

位移公式：

12

Sx=V0?，Sy=gt

速度公式：

Vpf

=v0,vv=gt，tan°==—

匕%

两者关系：

tana=包=-^―,tan/?=—=—

Sg2Vo叭/

2tana=tan（5（P点为OQ的中点）

（二）典型例题分析

1、利用速度公式解题

如图2所示，球做平抛运动，在球落地前1s,其速度方向与竖直方向

的夹角由45。变为30。，求此球做平抛运动的初速度,

解：根据平抛运动速度公式有

tana=—=-=1①

jgt

8,_%_1

联立①②解得%=[%m/s

2、利用位移公式解题

如图3所示，斜面高1加，倾角为30。，在斜面的顶点A以%的速度水

平抛出一小球，小球刚好落在B点，不计阻力，求抛出速度%、小球在空

中运动的时间t?（g=10，"//）

解：根据平抛运动的位移公式

hs73与

tana=—=—=——①

ss,3

/?=-gr=1②

S-vat③

联立①②③解得v0=VT5/72/s,t=s

3、利用两者的关系公式解题

4、用平抛曲线求初速度的n种方法

在研究平抛物体运动的实验中，用实验描绘出的轨迹曲线求平抛物体

的初速度V。，是本实验的主要目的之一。现简析几种求初速度乙的方法，

供参考。

①平抛规律法

根据平抛运动的规律，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落

体运动。若实验描绘出的轨迹曲线如图5所示，选抛出点为坐标原点。建

由轨迹曲线测出多个点ABCDE的坐标（x,y）,分别代入③式求出

多个/值，最后求出它们的平均值即为所求初速度外。

②轨迹方程法

由法1中的①、②消去f,可得平抛轨迹方程y=会》2

结合图中轨迹曲线，若测出水平位移X"=XBC=AX，竖直位移

=%，=为

yAByBc

由轨迹曲线方程可导出，%="冒^。

推证如下：

因为力=肃X：'%=受焉,%=翥.

所以必=系（了；—x；）_X,）（XB+x.

2%2v0

同理乃=yc-yB=—ri%-xe）（xc+x8）

2%

又-工8='，XC~~XA=

所以为一力=T7Ax（%一冗A）=与©2

2v0v0

故％=Ax

显然，只要测出相等时间内的水平位移Ac和对应的竖直位移的差值

力―必，即可求出初速度必。

③纸带结论法

对于匀变速直线运动，相邻的相等时间T内的位移差As都相等，且

ks=aT'这是处理纸带常用的一条重要结论。

对于法2的测量数据，有

XAB-XBC=八¥=④

力一>1=gT'⑤

联立④、⑤二式可得％=Ar

另外，此法还可以扩展，若轨迹曲线上依次还有点D、E等，且水平位

移均为Ax,竖直位移依次为内、>4等，则有

XXX

AB=BC=CD=…=Al=V()T⑥

y3f=2gL⑦

>4一%=3g72⑧

由⑥与⑦或⑧联立可得%=Ai

一〃)g

故%=Ax(〃=1、2、3、…，m=2^3、4、…，且机>〃)

"一yn

以上的分析给我们以启示，在处理实验或解题时.，不要墨守成规过分

依赖课本，要善于开动脑筋思考创新，寻找更好的方法和措施。这样，既

提高了解题能力和速度，也有利于培养创新意识和发散思维。

5、平抛运动中n种常用的时间求解方法

平抛运动是高中物理运动学中一个基本模型，具有典型的物理规律。

考查中常常涉及到“速度、位移、时间”等问题，下面针对平抛运动中的

时间问题常用的几种方法进行归纳总结，供大家参考。

①利用水平位移或竖直位移求解时间

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体

运动。由合运动和分运动的等时性，平抛运动的时间等于各分运动的时间。

vt,可得£=注

水平方向：S水o

竖直方向：S竖

②利用水平位移、竖直位移及倾角求解时间

例1：如图7,AB为斜面，倾角为30。，小球从A点以初速度咻水平

抛出，恰好落到B点，求物体在空中飞行的时间。

分析及解答：由本题所给的条件，显然直接利用水平位移或竖直位移

无法解答，但两个位移可以通过斜面的倾角发生联系。

对于水平方向：5水=咻，①

对于竖直方向：S竖^-gt2②

又由.=cot300③

S竖

由以上三式联立可得，=2®

3g

③利用速度求解时间

由于竖直方向为自由落体运动，则有匕=gf,可得，=1。

例2：如图8,以9.8〃?/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，

垂直地撞在倾角。为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（）

V3D2V3

A.——sB.----C.岳D.2s

33

图8

分析及解答：根据本题所给的信息，显然无法利用位移求解，但我们

可以从速度入手，将物体撞击在斜面上的速度分解，如图9所示，由儿何关

系可得：

匕,=v0cot30°=V3v0

竖直方向做自由落体运动，由vv=gt可得

④利用匀变速直线运动的推论加二。/求解时间

例3：如图10,是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A、

B间的水平距离和B、C间的水平距离都是15。加，AB间的竖直距离是15c〃z,

BC间的竖直距离是25cm。若取g=10机/$2,则

小球平抛的初速度也等于多少？

分析与解答：在实验《研究匀变速直线运动》

中，设初速度为％，加速度为。，在两个连续相

等的时间间隔f内的位移分别为》和52，可以推

出As=$2-S|=a产。本题中，由于物体水平方

向做匀速直线运动，而且AB、BC两段水平位移

相等，由此可知，这两段距离所用的时间相等均

为At，根据上述结论可得：

在竖直方向上：0.1=gAf2,解得加=(Ms

由水平方向：5水=%/,可得匕=1.5加/s

⑤利用平抛运动的推论求解时间

推论：平抛运动中以抛出点为坐标原点的坐标系中任一点p（X,y）

X

的速度的反向延长线交于X轴的一处。

2

例4：如图11,将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以％=2mls的速

度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在Ox轴上投影，做小球轨迹在

P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知。"=36，则小球运

动的时间为多少？

图11

分析与解答：由上面的结论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P

点的过程中，小球发生的水平位移$水=OM=2QM=6〃？

由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为

s水々

t——=3s。

%

6、平抛运动中偏转角的应用

在平抛运动中涉及角度问题常有两类：位移偏转角和速度偏转角。

例如：如图12是初速度为％的物体做平抛运动的轨迹图，OA是物体

运动到A点时的位移，u是物体在A点时的速度，其中。为位移偏转角，a

为速度偏转角,则有tan0=

gtgf

2Vo%

图12

如能恰当的应用这一规律，解题就可事半功倍，应用如下：

例：如图13,小球在斜面上A点以速度%水平抛出，落在斜面上的C

点，已知斜面倾角为。，求：

(1)小球何时离斜面最远；

(2)小球何时落在斜面上的C点？

(3)小球刚要落到斜面上时，速度方向与斜面间的夹角？

图13

分析：

(1)当小球的运动方向与斜面平行时，小球与斜面相距最远，此时,

小球的运动方向与水平方向间的夹角为。，如图14由上面结论可得

tan^=—=—

叭之

〜,vtan0

所以/=»(1-----

g

(2)当小球落在斜面上时，小球的位移

方向与水平方向间的夹角为。，故可得

12

t〃5.y2^gt

tanU=—=--------=------

S*vot2v0

2vtan(9

所rC1以1|/=—0-----

g

(3)设小球的速度方向与斜面间的夹角为。，小球的速度方向与水平

面的夹角为/，如图15,则可得tan£=8,且f为小球落到斜面上的时

%

间，/=2吗tan6,又e=£一。，所以可得夕=arctan(2tan。)-。。

g

三、匀速圆周运动典型问题剖析

匀速圆周运动问题是学习的难点，也是热点，同时它又容易和很多知识

综合在一起，形成能力性很强的题目。对匀速圆周运动的学习可重点从两

个方面掌握其特点，首先是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学

规律，现就各部分涉及的典型问题作点滴说明。

（-）运动学特征及应用

匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，

因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。为了描述其运动的特殊性，

又引入周期（T）、频率（f）、角速度（口）等物理量，涉及的物理量及

公式较多。因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，

是我们学习的重点。

1.基本概念、公式的理解和运用

［例1］关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

A.线速度不变B.角速度不变C.加速度为零D.周期不变

解析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但

方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是变化的，加速度不为零，答案

为B、Do

［例2］在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A、B两点,如图1所示，过A、B

的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60。，则A、B两点的线速度之比

为;向心加速度之比为____。

图1

解析：A、B两点做圆周运动的半径分别为

1J3

=Rsin30°=—Ar=sin60°=—

2Ra2

它们的角速度相同，所以线速度之比幺=处=辽=!=走

加速度之比色■=驾'=/

3

2.传动带传动问题

（二）动力学特征及应用

物体做匀速圆周运动时、由合力提供圆周运动的向心力

合22

且有F=4句=ma|；iJ=m-=mrco=mr（—）

方向始终指向圆心

1.基本概念及规律的应用

［例4］如图3所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点，

当杆在光滑水平面上绕。点匀速转动时求杆OA和AB段对球A的拉力之

比。

解析：隔离A、B球进行受力分析，如图3所示。因A、B两球角速度

相同，设为①，选用公式耳,j=，并取指向圆心方向为正方向，则

2

对A球：F{-F2=ma)LOA①

2

对B球：F2-ma)L0B②

①②两式联立解得区=3

点评：向心力正向是指做匀速圆周运动物体受到的合力，而不一定是某

一个力，要对物体进行正确的受力分析。

［例5］如图4所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固

定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平

面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是()।

A.球A的线速度必定大于球B的线速度\F

B.球A的角速度必定小于球B的角速度'一|一一.

C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期后

D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压么一」—一

解析：对小球A、B受力分析，两球的向心力都

来源于重力mg和支持力入，的合力，其合成如图4所

示，故两球的向心力&=FB=mgcota

V

比较线速度时，选用尸=加一分析得r大，v一

定大，A答案正确。

比较角速度时，选用尸=机02r分析得「大，o-定小，B答案正确。

27r

比较周期时，选用尸=〃2(—尸，分析得r大，T一定大，C答案不正确。

T

小球A和B受到的支持力F都等于「驾，D答案不正确。

Nsina

点评：①“向心力始终指向圆心”可以帮助我们合理处理物体的受力；

②根据问题讨论需要，解题时要合理选择向心力公式。

2.轨迹圆（圆心、半径）的确定

［例6］甲、乙两名滑冰运动员，例甲=80依，〃4=40依，面对面拉着弹

簧秤做匀速圆周运动的滑冰表演，如图5所示,

两人相距0.9m,弹簧秤的示数为9.2N,下列判断

中正确的是（）

A.两人的线速度相同，约为40m/s

B.两人的角速度相同，为6rad/s

C.两人的运动半径相同，都是0.45m

D.两人的运动半径不同，甲为0.3m,乙为0.6m

解析：甲、乙两人做圆周运动的角速度相同，向心力大小都是弹簧的弹

力，则有Mp〃何=M乙co?r乙即〃甲厢=M乙r乙且r甲+r乙=0.9〃？.

例甲=80Ag,A/乙=40依解得而=0.3机，rL-0.6m

由于F—A/甲力~r甲

所以。=/———=J———=0.62{radIs)

中小V80x0.3

而v=or,r不同，v不同。所以答案选D。

点评：有些匀速圆周运动的轨迹圆是比较“隐蔽”的，一旦理解错误,

就会给解题带来麻烦，如本题中两人做匀速圆周运动的半径并不是两人的

间距，例2中A、B做圆周运动的圆心并不是圆环的中心O等。

3.联系实际问题

［例7］司机开着汽车在一宽阔的马路上匀速行驶突然发现前方有一堵墙，他

是刹车好还是转弯好？（设转弯时汽车做匀速圆周运动，最大静摩擦力与

滑动摩擦力相等。）

解析：设汽车质量为m,车轮与地面的动摩擦因数为〃，刹车时车速

为％,此时车离墙距离为％，为方便起见，设车是沿墙底线的中垂线运动。

若司机采用刹车，车向前滑行的距离设为s,则s=」L=常数，若司采取

2〃g

22

急转弯法，则〃加g=〃?'（R是最小转弯半径），R=%_=2s。

R4g

讨论：

（1）若So〉R，则急刹车或急转弯均可以；

（2）若R>s0>s,则急刹车会平安无事，汽车能否急转弯与墙的长

度和位置有关，如图6所示，质点P表示汽车，AB表示墙,若墙长度I<2R,

如图6,/=2（R-Reos。），则墙在AB和CD之间任一位置匕汽车转弯

同样平安无事；

（3）若So<$，则不能急刹车，但由（2）知若墙长和位置符合一定条

件，汽车照样可以转弯。

点评:利用基本知识解决实际问题的关犍是看能否将实际问题转化为合

理的物理模型。

图6

（三）匀速圆周运动的实例变形

课文中的圆周运动只有汽车过桥和火车转弯两个实例，而从这两个实例

可以变化出很多模型。试分析如下：

1、汽车过桥

原型：汽车过凸桥

如图1所示，汽车受到重力G和支持力FN，合力提供汽车过桥所需的

向心力。

mv~

假设汽车过桥的速度为v,质量为m,桥的半径为r,G-FN=-„

图1

2

分析：当支持力为零时，只有重力提供汽车所需的向心力，即G=一且，

A.当汽车的速度汽车所受的重力G小于过桥所需的向心力，汽

车过桥时就会离开桥面飞起来。

B.当汽车的速度v=i，o,汽车所受的重力G恰好等于过桥需要的向心力，

2

汽车恰好通过桥面的最高点。（6=%，%=痴7）

C.当汽车的速度v<%，汽车所受的重力G大于所需的向心力，此时需

mv2

要的向心力要由重力和支持力的合力共同来提供。(G—FN=」一)

r

因此，汽车过凸桥的最大速度为病。

模型一：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。

如图2所示，小球所受的重力和绳的拉力的合力提供小球所需的向心

2

力，即mg+尸7=m-o

一中J>

/、、V

/VG\

图2

分析：当绳的拉力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即

a.当小球的速度V〉%，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向

心力•不足的部分将由小球所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受

V2

力，已知物体的速度，就可求出对应的拉力。(mg+FT=m—)

b.当小球的速度v=%,物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。

(G=,%=病)

r

C.当小球的速度v<Vo,物体所受的重力G大于所需的向心力，此时小

球将上不到最高点。

因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为％=而。

实例：翻转过山车

如图3所示：由于过山车在轨道最高点所受的力为重力和轨道的支持

力，故分析方法与模型一类似。请同学们自己分析一下。

图3

模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的运动。

如图4所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的合力提供物体所需的向

v2

心力，即机g-Fr-m—

M

IG

图4

分析：当杆对球的弹力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即

「_mv；I—*

G=----->%=

r

a.当小球的速度n〉％,物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向

心力•不足的部分将由小球所受的杆的拉力来提供。(此时杆对小球的弹

力为向下的拉力，参考图3)。已知物体的速度，就可求出对应的拉力。

V2

(mg+F-m——)

Tr

b.当小球的速度v=%,物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。

(G=,%=y[gr)

r

C.当小球的速度v<Vo,物体所受的重力G大于所需的向心力，多余的

部分将由杆对小球的支持力来抵消。(此时杆对小球的弹力为向上的支持

2

力)。(mg-F=m—)

Tr

<1.当小球的速度u=0,物体所受的重力G等于杆对小球的支持力。

(mg=FQ

因此，一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的最小速度为0。

2、火车转弯

原型：火车转弯

如图5所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的

弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。

图5

故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支

持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向

圆心，提供火车转弯所需的向心力（如图6所示）。这就减轻了轮缘与外轨

的挤压。

图6

分析：当火车的速度为%时.，火车所需的向心力全部由重力和支持力

的合力来提供，即机=，〃',（.

gtan6v0=-Jgrtan0

r

a.若火车的速度u>%,将挤压外轨；

b.若火车的速度u<%，将挤压内轨。

模型一：圆锥摆

小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供（如图7所示）

G

图7

模型二：小球在漏斗中的转动

小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供（如图8所示）

、

（四）匀速圆周运动的多解问题

匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个

做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。由于这两种运动是同时进行

的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。

特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个

周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做

匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例

运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学化。

［例1］如图1所示，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的

子弹速度为v,并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个

弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？•

解析：子弹穿过圆筒后做匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原

来的弹孔也恰好运动到此处。则圆筒上只留下一个弹孔，在子弹运动位移

为d的时间内，圆筒转过的角度为2”4+%，其中〃=0,1,2,3…，即

d2〃4+乃

—=-------O

vco

解得角速度的值0=-------V,〃=0,1,2,3…

d

［例2］质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图2所示，周期为

T„当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从

静止开始做匀加速直线运动。为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F

的大小应满足什么条件？

cG)

Q

——IZZH-*

F

图2

解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P的旋转情况可知,

只有当P运动到圆周上的C点时P、Q速度方向才相同，即质点P转过

(〃+3周(〃=0,1,2,3…)经历的时间f=(〃+』)7(〃=0,1,2,3…)

44

①

质点P的速率丫=四②

T

在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v,由牛顿第

二定律及速度公式得v=£f③

m

联立以上三式，解得尸=—8加1R万(〃=0,1,2,3…)

(4”+3)72

【第六章万有引力与航天】

一、万有引力定律及其应用

（一）开普勒运动定律R3

1、开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，

太阳处在所有椭圆的一个焦点上./

2、开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连哆

线在相等的时间内扫过的面积相等.

3、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公

转周期的二次方的比值都相等.

（二）万有引力定律

1,内容：宇宙间的•切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟

它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.

2,公式：F=G四等淇中G=6.67x10-3•机2/a2,称为为有引力恒量。

rz

3、适用条件

（1）适用于两个质点之间。

（2）适用于两个均匀球体之间。

（3）适用于一个质点与一个均匀球体之间。

注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最

普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均

为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力.

（三）万有引力和重力

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地

球自转时需要向心力.重力实际上是万有引力的一个分力.另一个分力就

是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做

圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变

化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大.通常的计

算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g=G^-,

g=GM/F常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g

随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2,比较得即=（」—）

r+h

2*g

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F时和m2g刚好在一条直线上，

则有

F=Ff.i+m2g,

2

所以m2g=F-F向=G'华■—m2R3ri

r2

因地球目转角速度很小G'空»m2R3」所以m2g=G吗乜

r2厂

假设地球自转加快，即3□变大，由m2g=G为箸-mzR3nz知物体的重力

将变小，当6半F水3小时，m2g=0,此时地球上物体无重力，但是它要

r2

求地球自转的角速度3,■,=.&,比现在地球自转角速度要大得多.

V/?,

(四)天体表面重力加速度问题

!,—Mmzg>八M+

设天体表面重力加速度为g,天体半径为R,由mg-G*得g-G—7,由

此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为区=生*竺

R：牝

二、应用万有引力定律分析天体问题

1.基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有

引力提供。

„MmV22/2兀、2/Cr12

G——=m—=ma)~r=m(——)r=m(2nj)r

r"rT

应用时，可根据实际情况选用适当的公式进行分析计算。

2.天体质量M、密度°的估算

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T,由

Mm4/"4/rMM34/

G，得M=-----—,p=——=-----=—，q为天体

GT2-V43GT2^°

的半径。

3乃

当卫星沿天体表面绕天体运行时厂=不，则夕=二产。

3.天体质量的几种计算方法

以地球质量的计算为例：

(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r,根据

2

M地叫44/□»,4万，3

G,2=加月＞下-，得用地=GT?。

(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r,根据

何地叫v-2vQ2

G=团月一，得仞地=不

2rG

(3)若已知月球运行的线速度v和周期T,根据G"他，！=叫产票和

Vv3T

=啊一，得加地=

2TTG

(4)若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g,根据

I-MD20

〃吆=G—得M地=-^,此式通常称为黄金代换式。

三、人造卫星

1.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径r的关系

Mmv2

(1)由6岁=机二得vGM

r~r

r越大，v越小

,、、.Mm2工GM

(2)由G—―=ma)~r,得。=V

r越大，切越小

—Mm41241/

(3)由G—Y~=mr—r得T

GM

，r越大，T越大

2.在不同轨道上卫星的角速度比较

如图所示，卫星分别处在地球的不同圆形轨道上，绕地球做匀速圆周

运动，其中物体1在地面上随地球自转，卫星2在近地轨道上(h«0),卫

星3在同步轨道上，卫星4在离地球更远的轨道上.显然，(4为

地球自转角速度)，电=跳，由6—=机疗厂，可知疗/=GM,随r

的增大，。减小。

故处于地表以上同步轨道以下的圆轨道上的卫星的角速度处>/；

处于同步轨道以上的卫星04cty0,即用〉电=q=例)>@

若某一时刻卫星2、3、4处于过地心的同一直线上沿轨道同向运动，则

站在位置1处的观察者会看到过一小段时间卫星3仍处于自己的正上方，卫

星2将运动至头顶前方，卫星4将滞后于卫星3,在头顶上方偏后，因此卫

星2、3、4将不在同一直线上。

3.卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度

卫星绕地球运动的向心力完全是由地球对卫星的万有引力提供的，而放

在地面上的物体随地球自转所需的向心力是由万有引力的一个分力提供

的。

卫星绕地球运动的向心加速度％=G"/2，其中M为地球质量，r为

卫星与地心间的距离.物体随地球自转的向心加速度4=。2尺=3巴，

其中T为地球自转周期，R为地球半径.々比近地卫星绕地球运动的向心加

速度q=G”《2要小得多。

四、应用万有引力定律的一些解题技巧

1、掌握一些推论并能灵活运用，将会化繁化简，变难为易，解决

问题的思路和方法清晰明了，方便快捷。

题型一：g---r关系

在质量为M的某天体上空，有一质量为机的物体，距该天体中心的距

离为广，所受重力为万有引力：机g=g华

r~

由上式可得〃g=GM=常量或/g=K

推论一：在某天体上空物体的重力加速度g与「2成反比。即

g=4■或&=1①

厂g26

例1：设地球表面重力加速度为go，物体在距离地心4R（R是地球的

半径）处,由于地球的作用而产生的重力加速度为g,则上-为（)

go

11

A.1B.C.一D.

9416

R2I

解析:由①式得出-=

go(W16

答案应选D。

题型二：v---r关系

有一质量为机的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周

CTMmmv~

运动，其轨道半径为厂，线速度为v,万有引力提供向心力：当竺="

r~r

由上式可得丫2「=GM=常量或dr=K

推论二：绕某天体运动物体的速度v与轨道半径r的平方根成反比。即

户或L"②

Vrv2\r{

例2：已知人造地球卫星靠近地面运行时的环绕速度约为弘加/s,则

在离地面的高度等于地球半径处运行的速度为（）

A.20kmIsB.4km/sC.A4lkm/sD.8kmis

解析:由②式得匕=%--46km/s

rz

答案应选C

题型三：3——r关系

有一质量为机的物体（卫星或行星等）绕质量为M的天体做匀速圆周

运动，其轨道半径为r，角速度为。，万有引力提供向心力：丝丝=wire?

r

由上式可得：/=GV=常量