第22数据校验码

第3.6节数据校验码5/9/20241奇偶校验码的校验方法，应用场合。循环冗余校验码(CRC)的编码、译码方法、应用场合。◆奇偶校验码；

◆循环冗余校验码。（★）教学内容掌握重点5/9/20242数据校验码：是一种常用的带有发现某些错误或自动改错能力的数据编码方法。编码系统的码距：一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间最少变化的二进制位数（bit）,称为这个编码系统的码字的码距。即:整个编码系统中任意两个码字的的最小距离。一、基本理论3.6

数据校验码5/9/20243两个码字最小值为1，故这个系统的码距为1。如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。[例如]如果传送信息为001，误接收的信息为011.会被认为是合法的码字?信息序列二进码字a２a１a０００００１００１２０１０３０１１４１００５１０１６１１０７１１１如图所示的编码系统3.6

数据校验码5/9/20244码字间的最小距离可以增加到2。在这个系统中，偶数个（2或4）差错无法发现。为使一个系统能检查和纠正一个差错,码间最小距离必须至少是“3”.[例如]如果传送信息是1001，误收为1011,接收机发生了一个差错，但无法纠正。假定只有一个数位是错的,可能的正确码字有哪些?信息序列二进码字a3a2a1a0０0000１1001２1010３0011４1100５0101６0110７1111如图所示的编码系统正确码字可以是:1001，1111，0011或1010。3.6

数据校验码5/9/20245●码距≥2的数据校验码，开始具有检错能力；

●为了使一个系统能检查和纠正一个差错,码间最小距离必须至少是3。

●码距越大，检错纠错能力就越强，但数据冗余也越大，编码效率低。

●码距的选择要取决于特定系统的参数。码距检错

纠错12345670

01

02或12加12加23加23加33.6

数据校验码5/9/20246通过函数f对数据进行计算，以产生一种代码，代码和数据都被存储，如果原数据字长为M位，校验码长为K位，则实际存储的字长应为M+K位。加进冗余码，当合法数据编码出现某些错误时，就成为非法编码。这样，就可以通过检测编码的合法性来达到发现错误的目的。二、实现原理3.6

数据校验码5/9/20247当原先存储的字读出时，这个代码用于检错和纠错，在M位数据中产生一组新的K位代码，与取出的代码进行比较：结果一致，无差错，取出的数据位传送出去；检测到差错，并可以纠正，数据位和纠错位一起送入纠正器，然后产生一组正确的M位数据位；检测到差错，但无法纠正，报告出错。二、实现原理3.6

数据校验码5/9/202483.6.1

奇偶校验码

一、奇偶校验码的特点开销最小；增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法；适用于并行数据传送；码距为2，可以检测1位错误（或奇数位错误）。但不能确定是哪一位错,也不能发现偶数个位错。常用于存储器读写检查，或ASCII字符传送过程中的检查。

5/9/20249二、奇偶校验码的编码方法不管数据位长度多少，校验位只有一位。奇校验:数据位和校验位一起所含“1”的个数为奇数。偶校验:数据位和校验位一起所含“1”的个数为偶数。校验:对奇校验，如接收端收到是偶码，表示传送有误，因此可发现一位错(奇位错)。5/9/202410[例]

数据奇校验的编码偶校验的编码00000000 100000000001010100 001010100 101111111 001111111 15/9/202411三、实现原理使码距由1增加到2。通常是为一个字节补充一个二进制位（称为校验位）；设置校验位的值为0或1，使字节的8位和该校验位含有1值的个数为奇数或偶数。进行校验时用奇校验或偶校验。依据8位的数据位中1值的个数确定校验位的值；5/9/202412四、实现方式D7D6D5D4D3D2D1D0D校偶校验位形成=D0⊕D1⊕D2⊕…⊕D7奇校验位形成=NOT（D0⊕D1⊕D2⊕…⊕D7）偶校验出错=D0⊕D1⊕D2⊕…⊕D7⊕D校奇校验出错=NOT（D0⊕D1⊕D2⊕…⊕D7⊕D校奇性检测等效于所有码字的模二加，并能够由所有码字的异或运算来确定。奇偶校验位可由硬件电路（异或门）产生：5/9/202413五、分组奇偶校验码实际中经常采用纵横都加校验的奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码(交叉奇偶校验)。某一个系统，它传输若干个长度为m位的信息。如果把这些信息都编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样，能够作奇偶校验。n个信息分组排列成矩形式样，以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位。

5/9/202414纵横奇偶校验的分组奇偶校验码结论：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正。m位数字横向奇偶位n个码字a1a2…am-1amHP1b1b2…bm-1bmHP2c1c2…cm-1cmHP3………………n1n2…nm-1nmHPn纵向奇偶位VP1VP2…VPm-1VPmHPn+15/9/202415[例]由6个字符的7位ASCII编码排列，再加上水平垂直奇偶校验位构成下列矩阵求:1）X1X2X3X4;X5X6X7X8;X9X10X11X12的比特分别为__2）Y1和Y2处的字符分别为__和__。1）X1X2X3X4=1110;X5X6X7X8=1000;X9X10X11X12=10112）字符Y1的ASCII码49H,Y1即是“I”(“D”的ASCII码是44H);字符Y2的ASCII码37H,Y2即是“7”(“3”的ASCII码是33H）字符7位ASCII码HP30X1X200110Y1100100X31+X41010110Y201X5X61111D100X710X80=0X9111X1011VP00111X111X12“A”的ASCII码是41H“0”的ASCII码是30H5/9/2024163.6.3

循环冗余校验(CRC)码一、循环冗余校验(CRC)码的特点：

CRC码可以发现并纠正信息串行读写、存储或传送过程中出现的一位、多位错误；检错能力极强;适用于串行数据传送（磁盘、通讯）；在磁介质存储器读写和计算机之间通信方面得到广泛应用。开销小，易于用编码器及检测电路实现。5/9/202417在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。校验码的基本原理：发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*XR，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*XR除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

编码组成:K位（信息位）R位（校验位）二、循环冗余校验码基本原理3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/202418三、多项式与二进制数码的关系多项式包括：G(x)和C(x)。它们与二进制数码的直接对应关系为：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次；有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。x的最高幂次为R,转换成对应的二进制数有R+1位。3.6.3循环冗余校验(CRC)码[例]生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1，可转换为二进制数码为11011。发送信息位1111转换为数据多项式为：C(x)=x3+x2+x+1。5/9/202419常用的对应于不同码制的生成多项式

NK码距dG(x)多项式G(x)743x3+x+11011743x3+x2+11101734x4+x3+x2+111101734x4+x2+x+11011115113x4+x+1100111575x8+x7+x6+x4+111101000131263x5+x2+110010131215x10+x9+x8+x6+x5+x3+11110110100163573x6+x+163515x12+x10+x5+x4+x2+11110411024

x16+x15+x2+11101015/9/202420四、生成多项式生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。发送方：利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方：利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/2024213.6.3循环冗余校验(CRC)码生成多项式：对于一个给定的（N，K）码，生成多项式G(x)

最高次幂为R=N-K；根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)

叫做这个CRC码的生成多项式。5/9/202422五、CRC码的编码方法模：计量器的容量（M表示）

[例]4位二进制数,从0-15,再加1,记数值又为0，故：M=24=16模2运算：指以按位模2相加为基础的四则运算，运算时不考虑进位和借位。(1)模2加减（按位加，可用异或逻辑实现）

0土0=0，0土1＝1，1土0＝1，1土1＝0。

两个相同的数据的模2和为0。3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/2024230.1010×101101000001010100010(2)模2乘——按模2加求部分积之和。3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/202424[例]

1111000÷110101010110111010100001000111011010111(3)模2除

1101商=1011；余数=111按模2减求部分余数。每求一位商应使部分余数减少一位。上商的原则是:

当部分余数的首位为1时，商取1；当部分余数的首位为0时，商取0。当部分的余数的位数小于除数的位数时，该余数即为最后余数。5/9/202425六、CRC码的生成步骤1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R。3、C(x)*2R/G(X)的二进制数（做模2除），得到R位的余数。4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/202426【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。3.6.3循环冗余校验(CRC)码解：1、将生成多项式G(x)转换成对应的二进制数1011。2、生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3位（R）变成10100003、C(X)*24／G(X)=1010000／1011

1001---商011----余数（校验位）4、编码后的报文（CRC码）：1010000+

0111010011

5/9/202427出错模式改变了C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。

[例]已知G(x)=1011，C(x)=1010收到的CRC码字余数出错位码位A6A5A4A3A2A1A0正确1010011000无错误101001000101010001010110101111002101101101131000011110411100111115001001110165/9/202428七.纠错方法[例]第一位出错，余数为001，依次补0作模2除得到余数为：010，100，0ll…，反复循环。如果循环码有1位出错，如果对余数补0用G(x)作模2除，将得到一个不为0的余数。一个有趣的结果：各次余数将按上页图顺序循环根据不同的余数来纠正不同的出错位,当最高位变成101时（出错位移到A6),则最高位取反纠错。3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/202429[结论]生成多项式应满足的条件生成多项式的最高位和最低位必须为1。当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。不同位发生错误时，应该使余数不同。对余数继续做模2除，应使余数循环。

3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/202430

在国际标准中，根据生成多项式G(x)的不同，CRC又可分为以下几种标准：

①CRC-12码:

G(x)=X12+X11+X3+X2+X+1②CRC-16码:

G(x)=X16+X15+X2+1③CRC-CCITT码:G(x)=X16+X12+X5+1④CRC-32码:

G(x)=X32+X26+X23+X22+X16+X12+X11+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X+1

八、通信与网络中常用的CRC

3.6.3循环冗余校验(CRC)码5/9/202431八、通信与网络中常用的CRC

突发错误：几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度。3.6.3循环冗余校验(CRC)码标准的16位生成多项式CRC-16＝x16+x15+x2+1

一般情况下，对r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。5/9/202432【思考题】某CRC码的生成多项式G