第二讲向量的距离与夹角余弦

第一讲矩阵的基本运算第二讲向量的距离与夹角余弦第三讲数据的属性与处理方法第二讲向量的距离与夹角余弦安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§1.3向量的距离与夹角余弦§1.4线性方程组AX=b的求解1.向量的数量积，矢量积例如：a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]则Matlab中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b)dot(a,b)=27,cross(a,c)=(2,2,-2)解：a,b,c的混合积为：dot(a,cross(b,c))练习：计算a,b,c的混合积三、向量的距离与夹角余弦1）Matlab中向量a的范数为：norm(a)例1

a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1],求a,b的范数解：norm(a)=3.7417,norm(b)=7.8740练习：对例1计算：a,b夹角的余弦dot(a/norm(a),b/norm(b))解法二：dot(a,b)/norm(a)/norm(b)解法一：=0.9164思考：a,b,c三个向量那两个更接近？

事实上，范数的平方=向量a自身的数量积三、向量的距离与夹角余弦2.矩阵的范数与向量的标准化如例1

a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1],求a,b,c之间的夹角余弦解：输入:A=[a;b;c];B=1-pdist(A,'cosine')输出结果为:B=0.91640.75590.4490三、向量的距离与夹角余弦

计算向量之间夹角的余弦还可以用命令:B=1-pdist(A,’cosine’)计算矩阵A的行向量之间的夹角余弦

2)矩阵的范数有以下几种：(1)n=norm(A)矩阵A的普范数(2范数),=A’A的最大特征值的算术根.(2)n=norm(A,1)矩阵A的列范数（1-范数）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩阵A的行范数(无穷大范数)等于A的最大行之和.(4)n=norm(A,'fro')矩阵A的Frobenius范数.记为：三、向量的距离与夹角余弦3)方阵的谱半径：方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的谱半径记为：例3.求矩阵的谱半径由eig(A)知矩阵A的特征值分别为1,-2,1。三、向量的距离与夹角余弦例3.将矩阵的行向量与列向量标准化解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A)也可以输入命令：b(1)=norm(A(1,:));b(2)=norm(A(2,:));b(3)=norm(A(3,:));c=b’*ones(1,3);B=A./c4）矩阵的行向量、列向量标准化的命令：normr(A)，normc(A)（normr(A)表示将矩阵每一行除以该行的范数）什么意思??求出A矩阵个各行的范数,转置后变为3*1阶矩阵,三、向量的距离与夹角余弦

n维欧氏空间:设表示n维向量的全体所组成的集合，称为n维欧氏空间称为与的欧氏距离称为与的绝对距离如果三、向量的距离与夹角余弦2.常见的向量距离闵可夫斯基距离：当r=1,2时分别为绝对距离和欧氏距离马氏距离：其中V是一个实对称正定矩阵，通常取样本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离.以上距离，在Matlab(6.)中有命令:pdist具体如下：三、向量的距离与夹角余弦(1)欧氏距离：如果A是aⅩm阶矩阵,B是m

Ⅹb

阶矩阵.即A的行向量维数等于B的列向量维数．三、向量的距离与夹角余弦dist(A,B)结果是一个aⅩb

阶上三角形矩阵d(i,j)表示A的第i个行向量与B的第j个列向量之间欧氏距离Matlab中命令：dist(A,B)计算A中每个行向量与B中每个列向量之间欧氏距离．例4.

a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]求a,b,c欧氏距离解:输入:a1=dist(a,b'),a2=dist(a,c'),a3=dist(c,b')或者输入:A=[a;b;c];pdist(A)三、向量的距离与夹角余弦Pdist(X)—样本X中各n维向量的欧氏距离如果X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：注意：而pdist(X)是个一行列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)(2)绝对距离：Matlab中命令：mandist(A,B)计算A中每个行向量与B中每个列向量之间绝对距离，A的行向量维数必须等于B的列向量维数.三、向量的距离与夹角余弦设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：Pdist(X,'cityblock')—各n维向量的绝对距离注意：而pdist(X)是个一行列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)例5.求例2中向量之间的绝对距离.mandist(a,b')=8；mandist(a,c')=4；mandist(c,b')=12解：dist(a,b')=4.6904,dist(a,c')=2.8284dist(c,b')=7.3485还可以用什么命令?你发现了什么？三、向量的距离与夹角余弦与绝对距离比较设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：Pdist(X,'Minkowski'，r)—闵可夫斯基距离Pdist(X,'mahal')—各n维向量的马氏距离注意：而pdist(X)是个一行列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)三、向量的距离与夹角余弦(3)闵可夫斯基距离与马氏距离例6.

现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长,翅长数据如下：Apf：(1.14,1.78),(1.18,1.96),(1.20,1.86),(1.26,2.00),(1.28,2.00),(1.30,1.96)Af：(1.24,1.72),(1.36,1.74),(1.38,1.64),(1.38,1.82),(1.38,1.90),(1.40,1.70),(1.48,1.82),(1.54,1.82),(1.56,2.08)计算两类蠓虫的各自之间的欧氏、绝对、马氏距离解:输入Af=[1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90;1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]；Apf=[1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2;1.30,1.96];三、向量的距离与夹角余弦d1=(pdist(Apf))';d2=(pdist(Apf,'cityblock'))';d3=pdist(Apf,'mahal'))';d=[d1,d2,d3]输出结果为Apf蠓虫之间的各类距离为含有15个元素的列向量将输出结果变化为15行3列的矩阵结果见表1同理可以求得Af蠓虫之间的各类距离。结果见表2三、向量的距离与夹角余弦Apf蠓虫欧氏距离绝对距离马氏距离d120.18440.22002.5626d130.10000.14000.9883d140.25060.34002.4942d150.26080.36002.5318d160.24080.34002.5478d230.10200.12002.2507d240.08940.12001.5470d250.10770.14002.0430d260.12000.12003.0777d340.15230.20001.6534d350.16120.22001.5873d360.14140.20001.6025d450.02000.02000.5129d460.05660.08001.6616d560.04470.06001.1764表一.Apf蠓虫之间的距离Af蠓欧氏距绝对距马氏距Af蠓欧氏距绝对距马氏距d120.12170.14001.4423d370.20590.28001.3971d130.16120.22002.3963d380.24080.34001.6847d140.17200.24001.4225d390.47540.62003.4103d150.22800.32001.5517d450.08000.08000.7917d160.16120.18002.2078d460.12170.14001.3659d170.26000.34002.6110d470.10000.10001.2987d180.31620.40003.3635d480.16000.16002.0780d190.48170.68003.3694d490.31620.44002.1271d230.10200.12001.1705d560.20100.22002.1520d240.08250.10000.6601d570.12810.18001.8990d250.16120.18001.4345d580.17890.24002.6482d260.05660.08000.8277d590.25460.36001.8449d270.14420.20001.2266d670.14420.20000.9689d280.19700.26001.9404d680.18440.26001.4149d290.39450.54002.6612d690.41230.54002.9389d340.18000.18001.7814d780.06000.06000.7792d350.26000.26002.5731d790.27200.34002.0832d360.06320.08000.4756d890.26080.28002.4183表二.Af蠓虫之间的距离在Matlab中经常遇到下列运算：A=[1,2;3,4],若将A中每个元素都减去2，如何运算？A=[1,2;3,4],若将A的每一行都减去向量(1,2)如何运算？前者可以进行，后者不行，如何实现?通过特殊矩阵将加减运算变为可以进行的运算.3.特殊矩阵及其应用A-2可否？A-(1,2)可否？三、向量的距离与夹角余弦E=eye(n):例如：eye(3)=2.A=ones(n,m)：表示元素全为1的n×m矩阵4.A=rand(n,m):产生n×m维随机矩阵（元素在0～1之间）特殊矩阵有：3.A=zeros(n,m)：产生n×m维零矩阵三、向量的距离与夹角余弦表示n维单位矩阵,E=eye(m,n):表示主对角元素为1,其余元素为零的矩阵.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0],如何实现各列元素分别减去该列的均值？解：输入A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=ones(3,1)*mean(A)例如：C=A-B三、向量的距离与夹角余弦例7.下表是全国5个主要湖泊的实测数据指标湖泊总磷（mg/L）耗氧量(mg/L)透明度(m)总氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武汉东湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23试用矩阵A表示上表所示的矩阵，2.计算每个指标与该指标平均值之差的绝对值.三、向量的距离与夹角余弦解:输入A=[130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23];mean(A)%A矩阵列向量(各指标)的平均值生成一个5Ⅹ4阶的矩阵B，各行都是mean(A):B=ones(5,1)*mean(A),为什么？怎样生成?然后得到所求矩阵C=abs(A-B)(A矩阵是一个1Ⅹ4阶的矩阵.)三、向量的距离与夹角余弦mean(A)=[61.00007.75801.20001.3760]输出结果为：C=69.00002.54200.85001.384044.00002.94200.80000.624041.00006.35803.30001.156031.00001.49800.95000.294041.00002.37200.70001.1460三、向量的距离与夹角余弦生成一个5Ⅹ4的矩阵B，各行都是mean(A)还有如下方法：B=a(ones(5,1),:)，其中a=mean(A)练习：将各指标与该指标的最大值相减，然后再比上该指标的极差.提示：max(A):表示矩阵A中各列向量的最大值；min(A):表示矩阵A中各列向量的最小值；range(A)=max(A)-min(A):表示各列极差.三、向量的距离与夹角余弦A=[130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23];B=ones(5,1)*max(A),C=max(A)-min(A)D=C(ones(5,1),:)(A-B)./Dans=0

-0.0430-0.97650-0.22730

-0.9647-0.2992-1.0000-1.00000

-1.0000-0.9091-0.4774-1.0000-0.4291-1.0000-0.0613-0.9412-0.9961三、向量的距离与夹角余弦Matlab中Z=null(A,‘r’)就是求AX=0的基础解系，其中Z的列向量即为所求基础解系例8.求方程组的通解：formatrat %指定有理式格式输出Z=null(A,‘r’) %求解空间的有理基

解：输入A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3];1.求齐次线性方程组AX=0的非零解四、线性方程组AX=b的求解即原方程的基础解系为（2，-2，1，0）和（5/3，-4/3，0，1）Z=25/3-2-4/31001输出结果为：故所求通解为：四、线性方程组AX=b的求解1).若矩阵A可逆，则X=A\b例9.

解线性方程组解：A=[2,3,5;3,6,8;6,5,4];b=[12;34;43];det(A)=-29,矩阵A可逆，于是X=A\b也可以输入X=inv(A)*b结果为X=0.275912.3793-5.1379四、线性方程组AX=b的求解2.求非齐次线性方程组AX=b的非零解2)化成行简化阶梯形求AX=b的解Matlab中的命令为：C=[A,b]%增广矩阵C.D=rref(C)%将C化成行最简化阶梯形则D的最后一列元素就是所求的解.例10.求例9中线性方程组AX=b的解解:输入:C=[A,b]；D=rref(C)；输出结果为D=1000.275901012.3793001-5.1379

四、线性方程组AX=b的求解命令功能[V,D]=EIG(X)求矩阵X的特征值与特征向量normr(A)将矩阵A的行向量标准化normc(A)将矩阵A的列向量标准化Z=null(A,‘r’)求AX=0的基础解系(Z的列向量)rref(C)将C化成行最简化阶梯形矩阵norm(A)矩阵A的普范数(2范数)norm(A,1)矩阵A的列范数（1-范数）norm(A,inf)矩阵A的行范数(无穷大范数)已学的MATLAB命令一览表命令功能norm(A,'fro')矩阵A的Frobenius范数ones(n,m)表示元素全为1的n×m矩阵zeros(n,m)产生n×m维零矩阵max(A)计算矩阵A的各列元素的最大值min(A)计算矩阵A的各列元素的最小值range(A)计算矩阵A的各列元素的极差sum(A)计算矩阵A的各列元素的和abs(A)将矩阵A中各元素取绝对值eye(n)产生n阶单位矩阵已学的MATLAB命令一览表作业：1.求矩阵A的各种范数、谱半径2.A中各行向量夹角余弦、及各种距离，判别那两行最接近3.将A的各元素减去各行的均值再比上各列的方差4.计算矩阵C的各行向量的相关系数矩阵R，再将R的列向量单位化，求CX=0的基础解系作业1.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0;];[V,B]=eig(A)%特征值n2=norm(A,2)%2范数n1=norm(A,1)%1范数n3=norm(A,inf)%无穷范数n4=norm(A,'fro')%f范数V=-0.2998-0.7471-0.2763-0.70750.6582-0.3884-0.6400-0.09310.8791B=12.1229000-0.3884000-5.7345n2=13.2015n1=15n3=15n4=14.2829作业2.B=normr(A);%单位化a1