新人教版高中数学选择性必修第一册第二章两条直线平行和垂直的判定培优练习题

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

学习指导核心素养

1数.学抽象：理解直线平行或垂直的判

定条件.

能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2逻.辑推理、数学运算：两条直线平行

与垂直的判定及应用.

必备知军工

知识点一两条直线(不重合)平行的判定

类型斜率存在斜率不存在

前提

ai=02^90°ai=ot2=9O°

条件

对应/l〃/2=两直线的斜率

11〃120kl=k2

关系都不存在

ylxh

图示J13___

I/

0X

微点拨--------------------------------

八〃/2=心=依成立的前提：①两条直线的斜率存在；②/I与，2不重合.

施1口判断下列各小题中的直线/1与，2是否平行.

(l)/i经过点A(—l,-2),S(2,1),人经过点M(3,4),N(~l,-1)；

(2)八的斜率为1,/2经过点A(l,1),8(2,2)；

(3必经过点4(0,1)，伏1，0),〃经过点”(-1,3),M2,0)；

(4必经过点A(—3,2),B(-3,10),〃经过点M(5,~2),N(5,5).

1—(—2)—1—45

【解】⑴k-——7—=1,ki=——：=公,因为k\手k2,所以Zi

与/2不平行.

2—1

(2)女।=1,fo—Z7=1,因为左1=女2,所以/1〃，2或与，2重合.

Z—1

0—10—3

(3)k\=-.―-=—1,kz=--(—y=—1,因为卜=女2,所以/i〃/2.

1—uz—(—1；

(4)因为/1与/2都与X轴垂直且不重合，所以/1〃/2.

陶题技巧------------------------------

判断两条不重合直线是否平行的步骤

［平行

［平行

否

------d不平行］

［注意］若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的

情况.

。跟踪训练

1.已知直线2i过点A(m,1),5(-3,4),直线/2过点C(0,2),0(1,1),

且/i〃，2,则m=.

2—1

解析：因为/1〃，2,且左2—7~7=-1,

U-1

4—1

所以％1=--=-1.所以机=0.

—3—m

答案：0

2.已知直线/i的倾斜角为60°,直线为经过点颂1,小)和根一2,一2/),

试判断直线/1与/2的位置关系.

r—2yl3—y［3r

解：由题设，知方=tan6(r=小,女2=~一：—=小，

-L—1

所以左1=左2,

所以/］〃b或/1与，2重合.

知识点二两条直线垂直的判定

图示

p\J二士

对应/1_L/2(两直线的斜率都存/1的斜率不存在，，2的斜率

关系在)=&速2=—1为00/山2

微点拨-----------------------------

(l)/I_L/20k&2=—l成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于o.

(2)当两条直线的斜率都存在时，若M近#—1,则两条直线一定不垂直.

题2判断下列各组中的直线/1与/2是否垂直.

(1后的斜率为-10,/2经过点4(10,2),3(20,3)；

(2)/i经过点A(3,4),8(3,100),/2经过点40),N(T0,40).

3—21

【解】(1)直线/1的斜率由=-10,直线/2的斜率多⑺=示，k\k2

ZU—1U1V

=-1,故

(2)由题意得/i的倾斜角为90°,所以/i±x轴.因为直线12的斜率依=

40-40

-—(1八\=0,所以〃〃1轴.所以

1U—1—1U；

［1题技巧------------------------------

判定两直线垂直的步骤

(1)一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率

不存在；若不相等，则进行第二步.

(2)二代：将点的坐标代入斜率公式.

(3)求值：计算斜率的值，进行判断.

［注意］若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，

要注意讨论斜率不存在的情况.

《跟踪训练

1./i过点A(m,1),3(—3,4),一过点。(0,2),£)(1,1),且/1JJ2,则加

4—1

解析：因为且/2的斜率的=-1,所以/1的斜率上=_3—〃7=率

所以m=-6.

答案：一6

2.点4—1,1),8(2,-1),C(l,4)为直角三角形的三个顶点，则直角顶

点为.

_1_I2

解析：因为4—1,1),8(2,-1),C(l,4),所以以B==一大，kAC

乙IJLJ

4-1_3

TTT=2,

所以AAB-AAC=-1,所以A8_LAC,所以NA为直角.

答案：A

£关键能力三爵EJ、

考点平行与垂直关系的综合应用

硕网已知A(—4,3),8(2,5),C(6,3),0(—3,0)四点.若顺次连接A,

B,C,。四点，试判定图形ABC。的形状.

【解】由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜

5—31

率公式可得GAB=2_(_4)=W

0-31

kcD=-3-6=3，

0-3

kAD=-3-(-4)=—3,

3-5i

kBC=6^2=-2•

所以kAB=kcD,由图可知A8与CD不重合,

所以AB//CD由攵ADWZBC,

所以与BC不平行.

又因为以6储。=3X(—3)=—1,

所以ABL4。，

故四边形ABCD为直角梯形.

图题技巧------------------------------

利用两条直线平行或垂直判定

几何图形形状的步骤

［描点卜［在平面直角坐标系中描出给定的可

［猜测H根据描出的点，猜测图形的形刃

(求斜率H根据给定的点的坐标求直线的斜K

~~T~

［结论H由斜率之间的关系，判断形状)

<跟踪训练已知在QA3CO中，A(l,2),3(5,0),C(3,4).

(1)求点D的坐标；

⑵试判断口ABCO是否为菱形？

解：⑴设。点坐标为(a,b),

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以kAB=kcD,kAD—kBC,

ro-2b—4

5-1a—3'a=—1,

所以4解得k.

b-24-0

—13—5'

所以£)(—1,6).

4-26-0

⑵因为心。===1,kBo=—^=一1,

所以ZAC,&8。=—1,

所以ACL3Z),所以%3CD为菱形.

飞课堂巩固工自测

1.已知直线/1的倾斜角为30。，且直线则直线/2的斜率为()

A.-坐B,坐

C.一小D.小

.J3

解析：选C.由题意可得直线/1的斜率为为-.由直线得直线/2的斜率

为一小.

3

2.已知直线/i的斜率由=疝,直线［经过点4（1，2）,B（a-1,3）.若\〃/2,

则实数。的值为（）

A.-3B.1

107

—J3—JD-4

解析：选C.因为直线C经过点A（l,2）,B{a-1,3）,

所以直线〃的斜率比=」}.

因为/i〃/2,所以，,解得a=¥.故选C.

3.（2022・邯郸高二月考）下列说法中正确的个数为（）

①平行的两条直线的斜率一定存在且相等；

②平行的两条直线的倾斜角一定相等；

③垂直的两直线的斜率之积为一1；

④只有斜率相等的两条直线才一定平行.

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：选B.对于①，当两直线都与x轴垂直时，两直线平行，但它们斜率

不存在，所以①错误；

对于②，由直线倾斜角的定义可知②正确；

对于③，当一条直线平行于x轴，一条平行于y轴时，两直线垂直，但斜率

之积不为一1,所以③错误；

对于④，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以④错误.故选B.

4.判断下列各小题中的直线Zi与/2是平行还是垂直.

(1必经过点4一1,-2),B(l,2),/2经过点M(—2,-1),N(0,-2)；

(2)(经过点A(l,3),B(l,-4),/2经过点M(2,1),N(2,3).

2—(—2)

解：(1)由题意和斜率公式可得/i的斜率k――二一=2,h的斜率k

1—(—1)2

—2—(T)=-3,k\ki=-1,故两直线垂直.

0—(—2)

1—（—4）

（2）由题意可得人的斜率不存在，/2的斜率不存在，又ZBM=—丁丁一=5,

z—1

两直线不重合，故两直线平行.

1

课后达标0检［测

［A基础达标］

1.已知A（2,0）,B（3,3）,直线/〃A3,则直线/的斜率攵等于（）

A.-3B.3

解析：选B.因为/〃A3,且直线48的斜率左=不==3,所以直线/的斜

5-2.

率k=3.

2.已知直线I与过点M（f,V2），N（6，一小）的直线垂直，则直

线/的倾斜角是（）

A.60°B.120°

C.45°D.135°

解析：选C.设直线/的倾斜角为夕

V2-（一小）

M_小—啦=T

因为直线/与过点M（一小，6）,N（啦，一小）的直线垂直，

所以k「kMN=-l,即M=l,所以1211。=1.因为0。・心180°,所以9=45°.

3.若点P（m勿与a+1）关于直线/对称，则/的倾斜角为（）

A.135°B.45°

C.30°D.60°

。+1-b

解析：选B》PQ=〃_[=-1,kpQ-ki=-1,

所以/的斜率为1,倾斜角为45。.

4.已知四边形MNP。的顶点分别为M(l,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,

2),则四边形MNPQ的形状为()

A.平行四边形B.菱形

C.梯形D.矩形

解析：选D.因为攵MN=-1,kpQ=—1,所以MN〃PQ.又ICMQ=1,kNp—1,

所以MQ//NP,所以四边形MNPQ为平行四边形.又kMN-kMQ=—1,所以

MN1MQ,所以四边形MNPQ为矩形.故选D.

5.(多选)已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),0(1,0),且直线

AB与C。平行，则实数〃z的值为()

A.-1B.0

C.1D.2

解析：选BC.当〃z=0时，A(0,3),8(0,4),C(l,2),0(1,0),直线

m+1

轴，直线CO_L九轴，此时直线AB与CD平行.当时，kAB=—^~,kcD

2fn+1?

=/，因为直线AB与CO平行，所以一齐--,所以〃z=l.故选BC.

6.(多选)已知点P(—4,2),0(6,-4),R(12,6),S(2,12),则下列结论

正确的是()

A.PQ//SRB.PQLPS

C.PS//QRD.PR±QS

—4—2312—63

解析：选ABCD.由斜率公式知％PQ=久力=-7,ksR=\~7T=-7,

0十4。L—1Z3

12—2512+46—2

2+4=]，近=2—6^-4,.=12+4

所以ABCD均正确.

7.已知41,2),B(m,1),直线AB与直线y=0垂直，则m的值为

解析：因为直线A3与直线y=0垂直，所以直线A3的斜率不存在，故m=

1.

答案：1

8.已知4(一4,2),8(6,-4),C(12,6),0(2,12),给出下面四个结论:

@AB//CD；®AB±CD；©AC//BD；④ACLBD其中正确的是.(填序

1

解析-

4,KBD=-4.

所以AB〃C£>,AC±BD.

答案：①④

9.已知直线/i经过点A(3,m),2),直线/2经过点C(l,2),£>(-

2,m+2).

(1)当"2=6时，直线/1与/2的位置关系为；

⑵若I山2,则实数m=.

6—2

解析：(1)当阳=6时，4(3,6),5(5,2),C(l,2),D(-2,8).幼=不W=

J—j

2-86-8

—2,k(2=]।2=-2,故kl1—kh.又ZA。=.।.一55所以kAD中kh，从而1\//lz.

加+2-2m

(2)02=_2_]=一1，卜的斜率存在.当kh=—y=0时，m=0,则

A(3,0),8(—1,2),直线/1的斜率存在，不符合题意，舍去；当力2=—QW0

m—2Yum—2

时，幼=晨吃，故■.口=-1，解得〃2=3或加=一4.综上，实数〃，的

值为3或-4.

答案：(1)/1〃/2(2)3或一4

10.试确定机的值，使过点4(2m，2),8(—2,3阳)的直线与过点P(l,2),

2(-6,0)的直线分别满足以下条件：

⑴平行；

⑵垂直.

2—023m—2

解：(1)APQ=^-―――=亍,kAB=一^一丁,因为AB//PQ,所以kpQ

1—(—O)I—Z—Z77Z

23m—22

=%AB,j=_2_2m，解得"2=5•

23m—2

⑵由⑴得直线AB斜率存在且不为0,所以kAB-kpQ=-l,]-_2_2ffl=-

1,

9

解得tn——a-

[B能力提升]

11.已知已(1,-1),8(2,2),C(3,0)三点，且有一点。满足CO_LAB,

CB//AD,则。点的坐标为()

A.(-1,0)B.(0,-1)

C.(1,0)D.(0,1)

y—°yy+]2+1

解析：选D.设。(x,y),则kcD=,kAD=__.心8=1万=

XJX3X1

2-0

3,kcB=~Z―T=-2,又CO_LAB,CB//AD,

2—3

kcD・kAB=-1,

所以1,

ICAD=kcBy

R3=T,

所以y+1、

H=-2，

x+3y=3,(x=0,

所以，所以，

2光+y=1,[y=1,

即0(0,1).

12.(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，以0(0,y

3

0),A(l,1),3(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点2

中能作为平行四边形顶点坐标的是()1d3

~~0-12B4X

A.(-3,1)

B.(4,1)

C.(-2,1)

选BCD.

13.已知直线/i，6的斜率心，也是关于火的方程2炉一3左一。=0的两根，

若八」2,则方=；若/1〃/2，贝.

解析：若则Zr%2=—1,即—3=—1，

所以8=2;若/i〃，2,则％1=攵2,所以/=(—3)2—4X2(—")=0,所以/?=

9

-8•

答案：2O

14.如图，在DOABC中，。为坐标原点，点C(l,3).

(1)求OC所在直线的斜率；

(2)过点C作COLAB于点D,求直线CD的斜率.

解：(1)点。(0,0),C(l,3),所以OC所在直线的斜率

3-0

%c=]_0=3.

(2)在口OABC中，AB//OC,因为COLAB,所以CO，。。，所以k℃kcD=

kcD~ko