苏教版高中数学必修第一册（新教材新标准）

1.3交集、并集

课标要求素养要求

能用三种语言(自然语言、图形语言、符

理解两个集合之间的并集和交集的含

号语言)表达集合的并集和交集运算，发

义，能求两个集合的并集与交集.

展学生的数学抽象和数学运算素养.

课前预习知识探究

自主梳理

1.交集

⑴自然语言：由所有属于集合A旦属于集合3的元素构成的集合，称为A与5

的交集,记作A03(读作“A交3”).

(2)符号语言：AnB=[x|xEA,

(3)图形语言：如图所示.

(4)运算性质

①A03=3PA；®AHB^A,③Ano=g；®AHA=A.

2.并集

⑴自然语言：由所有属于集合A或重属于集合3的元素构成的集合，称为集合

A与3的丑集，记作AU3(读作“A并3”).

(2)符号语言：AUB=[x\x^A,

(3)图形语言：如图所示.

(4)运算性质：AUB=BUA,B^AUB,AUA=A,AU0=0UA=A.

如果AG3,则AU3=3,反之也成立.

3.区间

设a,Z?CR,且a<0,规定［a,bl={x|aW无WZ?},叫作闭区间，(a,b)={x\a<x<b}

为开区间，a,6叫作相应区间的端点.

(1)

定义名称符号数轴表示

闭区间万1-4____

abx

(开区间Q--------

{j\a<x<b](,b)abx

左闭右开区间b)-4--------

abx

-4------

{X|Q<%WZ?}左开右闭区间(a,万1ab*

(2)特殊区间的表示

定义R{x\x^a}{x\x>a}{x\x<a}

符号(一8,十8)[a,+°°)(a,+0°)(-8,a](-8,a)

❹点睛

对并集的理解

(DAUB仍是一个集合，AUB由所有属于集合A或属于集合3的元素组成.

(2)“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同.生活中的

“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定互相

排斥."xGA或xdB”包括三种情况，如图所示.

久EA,且;r空3且xGB,且力建A

自主检验

1.思考辨析，判断正误

⑴若xGAnB,则XGAUA(J)

(2)若集合A,3中分别有2个元素，则AU3中必有4个元素.(X)

提示A与3中若有公共元素，则AUB中就没有4个元素.

(3)若人={1,2},B={3,4},则A与3没有交集.(X)

提示交集为0

(4)若AUB=A,贝l]AGR(X)

提示若AU3=A,则3GA.

2.设集合A={1,2,6},B=[2,4},C={1,2,3,4},则(AU3)nC=()

A.{2}B.{1,2,4}

C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

答案B

解析由题意可得AUB={1,2,4,6},.\(AUJB)nC={l,2,4}.故选B.

3.已知集合M={-1,0},则满足MUN={—1,0,1}的集合N的个数是()

A.2B.3C.4D.8

答案C

解析由集合NGMUN,又〃={—1,0},MUN={-1,0,1),所以元素1《N,

则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{—1,0,1),共4个.故选C.

4.若尸={x|xNl},Q={X\~1<JC<4},则PAQ=.

答案{x|lWx<4}

解析如图所示，PCQ={x|lWx<4}.

-114

课堂互动r----------------------------------题型剖析

题型一交集的概念与运算

【例1】(1)设集合A={1,3,5,7},3={x|2W尤W5},则An3=()

A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{L7}

(2)已知区间A=(—5,2),3=(—3,3),则APB等于()

A.(-3,2)B.(-5,2)C.(—3,3)D.(—5,3)

答案(1)B(2)A

解析(1)既在集合A中，又满足2WxW5的元素只有3和5.故AnB={3,5}.

(2)在数轴上将区间A,3表示出来，如图所示.

由交集的定义，可得为图中阴影部分，——T44-

即AAB=(—3,2).

思维升华求“AA3”的关键是找出集合A与3的所有公共元素，再用适当的

方法将AA3表示出来.

①若集合A,3的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根，再求两

集合的交集.

②若集合A,3是连续无限数集，则可以借助数轴的直观性来求解.

【训练1】(1)已知集合A={x|x=3〃+2,〃©N},B={6,8,10,12,14},

则集合AA3中元素的个数为()

A.5B.4C.3D.2

(2)已知般={(x,y)|无+y=2},N={(x,y')\x-y=4},则MPlN=()

A.x=3,y=-1B.(3,11)

C.{3,-1}D.{(3,-1)}

答案(1)D(2)D

解析(1)分别令3〃+2=6,8,10,12,14,只有3"+2=8,3〃+2=14有自然

数解，故An3={8,14},故选D.

x+y=2,x=3,

⑵由.，得j,故vnN={(3,-1)).

lx—y=4Ly=-1,

题型二并集的概念与运算

【例2】(1)设集合A={1,2,3},B=[2,3,4},则AU3=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.{1,3,4}

(2)已知集合P={x|xV3},Q={x|—1W无W4},那么PUQ=()

A.{x|—lWx<3}B.{x|-1W尤W4}

C.{x|x<4}D.{小N—1}

答案(1)A(2)C

解析(1)由定义知AUB={1,2,3,4).

(2)在数轴上表示两个集合，

如图，可得PUQ={x|xW4}.

P|一，QLX^

-101234x

思维升华求集合并集的两种方法

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴

分析法求解，此时栗注意集合的端点能否取到.

【训练2】(1)已知集合P={0,1,2,3},Q={-2,1,2},则PUQ=()

A.{—2,0,1,2}B.{-2,0,1,2,3}

C.{1,2}D.{0,1,2,3}

(2)若A=(—1,2],B={x\x^0},则AU3=.

答案(1)B(2)(—1,+8)

解析(1)根据并集的定义，知PUQ中包含了集合P和集合。中的所有元素,

但要注意相同元素在并集中只能出现一次，故PUQ={-2,0,1,2,3).

⑵根据题意，画出数轴，如图，

__rmB____-

-102彳

/.AUB=(-1,2]U{x|xN0}=(-1,+8).

题型三集合的交、并集运算的综合应用

【例3】设集合4={卫炉一3x+2=0},B={x|x2+2(tz-l)x+(o2-5)=0}.

(1)若An3={2},求实数a的值；

(2)若AUBMA,求实数a的取值范围.

解(1)由题意可知A={X|P—3X+2=0}={1,2},

■：AHB={2},：.2CB,将x=2代入方程f+2(a—1)%+(片一5)=0得4+4(a—

l)+(tz2-5)=0,解得a=—5或a=l.当a=—5时，集合3={2,10},符合题

意；

当a=l时，集合3={2,—2},符合题意.

综上所述：。=-5或。=1.

(2)若AU3=A,则3GA,

'：A={1,2},...台=。或3={1}或{2}或{1,2}.

若B=0,则/=4(a—1/一4(/—5)=24—8a<0,

解得a>3；

J=24—8a=0,

若3={1},则，2(a—1)

x=-2=1-ci~19

〃=3,

即不成立；

a—09

/=24—8〃=0,

若5={2},则<2(〃-1)

x=一-1—。=2,

〃=3,

即＜不成立;

a=—1,

[/=24—8。＞0,

若3={1,2},贝I”l+2=-2(iz—1),

11X2=4—5,

a-

此时不成立.

a-

综上,a的取值范围是{a|a>3}.

思维升华利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点

⑴依据：An3=A=AG3,AUB=A^BQA.

(2)关注点：当集合AN3时，若集合A不确定，运算时要考虑A=0的情况，否则

易漏解.

【训练3】已知集合A={x|2aWxWa+3},3={x[x<—1或x>5},若AA3=

。，求实数a的取值范围.

解由AnB=0,

⑴若A=0,有2a>a+3,：.a>3.

(2)若AW。，如图：

-12aa+35%

(2〃2—1,

.•4a+3W5,解得一gwaW2.

12〃Wa+3,

综上所述，a的取值范围是1a|—；WaW2或a>31.

课堂小结・

1.理解2个概念——并集、交集

(1)对于并集，要注意其中“或”的意义.

(2)对于交集，AA3中的元素是“所有”属于A且属于3的元素，而不是部分.

2.注意2个易错点

(1)对于元素个数有限集合，可直接利用“交”“并”定义求解，但要注意集合

元素的互异性.

(2)对于元素个数无限集合，进行“交、并”运算时借助数轴求解，但栗注意端

点值能否取到.

分层UII练，----------------------------------素养提升

基础达标I

一、选择题

1.已知集合A={x|x—INO},B={Q,1,2},则An3=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

答案C

解析VA={x|x-l>O}={xk^l},B=[0,1,2）,

.*.AnB={l,2},故选C.

2.已知集合A={—1,1,2,3,5},B={2,3,4],C={x©R|1W尤<3},则（AAOUB

=（）

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

答案D

解析由题意可知Anc={l,2},则（AnOUBMH，2,3,4},故选D.

3.已知集合A={小<2},B={x\3-2x>0},则（）

A.AnJB=jx|x<|jB.A^B=0

C.AUB=1xk<|jD.AUJB=R

答案A

解析由3—2x>0得x<|,23d一.

/32x

2

则B=|x|x<||,画出数轴，如图，

所以408=卜|/<||,A^B={x\x<2},故选A.

4.若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},AUB=A,则满足条件的实数》有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案B

解析•「AU5=A,.•.BGA,「.x2：。或炉=2或，解得％=0或g或一表或

1.经检验，当兄=啦或一啦时满足题意，故选B.

5.（多选题）已知集合人={-2,-1,0,2,3},B={y\y^x1-1,x^A},则下列

选项中是AH3中的元素的为（）

A.-lB.OC.3D.1

答案ABC

解析当％=±2时，y=3；

当x=—l时，y=0；

当x=0时，y=-1;

当x=3时，y=8.

-1,0,3,8},.'.An"1—1,0,3）.

二、填空题

6.已知集合A={x|xWl},B={x\x^a},且AUB=R,则实数a的取值范围是

答案（一8,1]

解析如图，A={x|xWl},B={x\x^a},要使AUB=R,只需aWl.

a1

7.已知集合A={(x,y)\y=2x-l},B={(x,y)\y=x+3},则An§=.

答案{(4,7)}

解析由'解得［故AnB={(4,7)}.

ly=x+3,ly=7,

8.设非空集合A={x|m—1WXW2冽+1},8={x|—4WxW2}.若加=2,则AAB=

若AUAAB,则实数机的取值范围是.

答案{x|lWxW2}［刑一ZWAHW］；

解析把根=2代入得A={川1WxW5},

VB={x|-4^x^2},.*.AnB={x|lWxW2}；

•「AGAAB,：.A^B,又AW。，

m—12—4,

2m+l<2,解得一

{m—1^2m+l,

即m的取值范围为—

三'解答题

9.已知集合A={x|3Wx<7},B={.r|2<x<10},C={x|x<3或xN7},求:

(1)AUB；(2)cnB.

解(1)由集合4={卫3三%<7},3={卫2<%<10},把两集合表示在数轴上如图所示:

——i——।——।—।——।—।_1__u_।——।——।_<>_।——।_!_»

-5-4-3-2-1012345678910支

得到AUB={x[2<x<10}.

(2)由集合3={x[2<x<10},C={x|x<3或x>7},把两集合表示在数轴上如图所示:

II1tli।1।।।I[।।(LK

-5-4-3-2-1012345678910”

则Cn3={x|2<x<3或74<10}.

10.设集合A={x|—1<X<4},B=j.x-|—5<x<|j,C={x\l—2a<x<2a}.

(1)若C=0,求实数a的取值范围；

(2)若CW。且CgAAB),求实数a的取值范围.

解(I)'：C={x\l-2a<x<2a}=0,：.l~2a^2a,

；.昌即实数a的取值范围是[ala词.

(2)'：C={x\l-2a<x<2a}^,

1~2a<2a,即a〉g.

VA={x|—l<x<4},B=jx|—5<x<|j,

「・AC5=卜|-14<|j.

r1-2a2—1,

3

VCc(AnB),：.<2a等，解得*底土，

1

—>不

即实数a的取值范围是昌<。端.

能力提升I

1L(多选题)已知集合人={小="二7},An3=0,则集合3可能是()

A.{x|x<—1}B.{(x,y)ly=%-1}

C.{y\y=_%2}D.{x|九2—1}

答案ABC

解析集合4={卫丁=正71}={卫》三1}.当3={刃%<—1}时，403=0,选项A

符合题意；当3={(x,y)|y=x—1}时，5是点集，显然AnB=0,选项B符合题

意；当3={y|y=—f}={y|yWO}时，AnB=0,选项C符合题意；当3={x|x2

—1}时，AABW。，选项D不符合题意.故选ABC.

12.若集合A={x|-3WxW5},B={x|2m-l^%<2m+9},AUB=B,则实数m

的取值范围是.

答案{"“一2W机W—1}

解析VAUB=JB,

.'.AQ