线性代数向量的内积

§4.1向量的内积一、向量的内积及其性质二、向量的长度及其性质三、正交向量组四、规范正交基及其求法五、正交矩阵及其性质复习小结1线性代数向量的内积5/9/2024§4.1向量的内积、长度及正交性前面学习了向量的线性运算：加法和数乘，但未涉及到向量的度量性质，如长度、距离等等。从今天开始，我们就来学习一下这方面的概念。当然学习这些概念也是为了进一步研究矩阵做准备的。本节概述2线性代数向量的内积5/9/2024内积:设有n维向量x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

令[x

y]

x1y1

x2y2

xnyn

[x

y]称为向量x与y的内积

§4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积及其性质内积是两个向量之间的一种运算

其结果是一个实数

若用矩阵乘法表示

当x与y都是列向量时

有[x

y]

xTy

注意：3线性代数向量的内积5/9/2024内积的性质

设x

y

z为n维向量

为实数

则

(1)[x

y]

[y

x]

(2)[

x

y]

[x

y]

(3)[x

y

z]

[x

z]

[y

z]

(4)当x

0时

[x

x]

0

当x

0时

[x

x]

0

(5)[x

y]2

[x

x][y

y]——施瓦茨不等式

§4.1向量的内积、长度及正交性返回4线性代数向量的内积5/9/2024向量的长度：

二、向量的长度及其性质

注意：5线性代数向量的内积5/9/2024

设x

y为n维向量

为实数

则

(1)非负性

当x

0时

||x||

0

当x

0时

||x||

0

(2)齐次性

(3)三角不等式

||x

y||

||x||

||y||

向量长度的性质：返回6线性代数向量的内积5/9/2024向量夹角：当[x

y]

0时

称向量x与y正交

显然

若x

0

则x与任何向量都正交

三、正交向量组向量正交：7线性代数向量的内积5/9/2024Th1:若n维向量a1

a2

ar是一组两两正交的非零向量

则a1

a2

ar线性无关

证明:8线性代数向量的内积5/9/2024例1

已知3维向量空间R3中两个向量a1

(1

1

1)T

a2

(1

2

1)T

正交

试求一个非零向量a3使a1

a2

a3两两正交

解：

设a3

(x1

x2

x3)T

则a3应满足a1Ta3

0

a2Ta3

0

取a3

(

1

0

1)T即合所求

得基础解系(

1

0

1)T

即a3应满足齐次线性方程组返回9线性代数向量的内积5/9/2024向量空间V的基:V的最大无关组就称为向量空间V的基.向量空间V的维数:V的秩就称为向量空间V的维数.四、规范正交基及其求法10线性代数向量的内积5/9/2024向量的坐标：如果在向量空间V中取定一个基a1

a2

ar

那么V中任一向量x可唯一地表示为

x

1a1

2a2

rar

数组

1

2

r

称为向量x在基a1

a2

ar下的坐标

§4.1向量的内积、长度及正交性11线性代数向量的内积5/9/2024例2：证明单位坐标向量组e1

e2

en是向量空间Rn

的一组基

并且任意向量x(k1

k2

kn)T可表示为

x

k1e1

k2e2

knen

§4.1向量的内积、长度及正交性可见一个向量在基e1

e2

en中的坐标就是该向量的分量

向量组e1

e2

en叫做Rn中的自然基

12线性代数向量的内积5/9/2024例3：齐次线性方程组的解集S

{x|Ax

0}

是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)

例4：非齐次线性方程组的解集S

{x|Ax

b}

不是向量空间

这是因为当S为空集时

S不是向量空间

当S非空集时

若

S

则A(2

)

2b

b

知2

S

§4.1向量的内积、长度及正交性13线性代数向量的内积5/9/2024规范正交基:设n维向量a1

a2

ar是向量空间的一个基

如果a1

a2

ar两两正交

且都是单位向量

则称a1

a2

ar是V的一个规范正交基

是R4的一个规范正交基

比如:14线性代数向量的内积5/9/2024向量在规范正交基下的坐标 若e1

e2

er是V的一个规范正交基

那么V中任一向量a应能由e1

e2

er线性表示

并且

a

[a

e1]e1

[a

e2]e2

[a

er]er

事实上

设a

1e1

2e2

rer

则eiTa

ieiTei

i

即

i

eiTa

[a

ei]15线性代数向量的内积5/9/2024施密特正交化方法设a1

a2

ar是向量空间V中的一个基

取向量组

容易验证b1

b2

br两两正交。16线性代数向量的内积5/9/2024把b1

b2

br单位化

即得V的一个规范正交基17线性代数向量的内积5/9/2024例3

已知a1

(1

1

1)T

求一组非零向量a2

a3

使a1

a2

a3 两两正交

a2

a3应满足方程a1Tx

0

即x1

x2

x3

0

它的基础解系为

1

(1

0

1)T

2

(0

1

1)T

把基础解系正交化

即得所求

亦即取解§4.1向量的内积、长度及正交性返回18线性代数向量的内积5/9/2024正交阵:如果n阶矩阵A满足ATA

E(即A

1

AT)

那么称A为正交矩阵

简称正交阵

正交矩阵举例

§4.1向量的内积、长度及正交性五、正交矩阵及其性质19线性代数向量的内积5/9/2024正交矩阵的性质:20线性代数向量的内积5/9/2024正交变换:若P为正交矩阵

则线性变换y

Px称为正交变换

设y

Px为正交变换

则有