2022年北京二十中初二（上）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2022北京二十中初二（上）期中数学一、单项选择题（下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意，共24分，每小题3分）1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A.10 B.15 C.17 D.193.下列四个图形中，线段BE是的高的是（）A. B.C. D.4.空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短C.三角形的稳定性 D.垂线段最短5.请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（）A. B. C. D.6.如图所示，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠B的度数是（）A.33° B.47° C.53° D.100°7.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A.20° B.35° C.40° D.70°8.如图，是等边三角形，点是上一点，，于点交于点，则的度数为（）A. B. C. D.二、填空题（共24分，每小题3分）9.点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是_____．10.六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为__________．11.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC=___．12.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若AB=5cm，BC=3cm，则△PBC的周长=______．13.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A'B'的长度即可，该做法的依据是___．14.已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)15.如图，在中，分别是和平分线，过点E作交于D、交于F，若，则周长为__________．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标_____；满足条件的点C一共有_____个．

三、解答题：（共52分，17、18、19、21、22题5分，20、23每题6分，24题8分，25题7分）17.已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，ABCD，BC＝CD．求证：AC＝ED．18.如图，点在一条直线上，．求证：．19.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，．（1）画出关于y轴对称的图形；（2）写出，，的坐标（直接写出答案）；；；（3）写出的面积为．（直接写出答案）20.数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．小路作法如下：①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；②连结AP．请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：∵PQ是AB的垂直平分线∴AP=，（依据：）；∴∠ABC=，（依据：）．∴∠APC=2∠ABC．21.如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．22.如图，△ABC中，AB＝AC，延长CB至点D，延长BC至点E，使CE＝BD，连接AD，AE．

（1）求证：AD＝AE；（2）若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度数．23.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．（1）补全图形；（2）求证：△BDF是等腰三角形；（3）求证：AB+BD=2AC．24.在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．点D在直线AM上，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）当点D在线段AM上时，①请在图1中补全图形；②∠CAM的度数为；③求证：△ADC≌△BEC；（2）当点D在直线AM上时，直线BE与直线AM交点为O（点D与点M不重合，点E与点O不重合），直接写出线段OE，OM，DM与BE的数量关系．25.给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：如图，点，，的“完美间距”是1．（1）点的“完美间距”是_____________；（2）已知点．①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为____________；②点O，A，B的“完美间距”的最大值为_____________；③已知点，点为线段CD上一动点，当的“完美间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．

参考答案一、单项选择题（下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意，共24分，每小题3分）1.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：能够沿一条直线折叠，使直线两旁的部分完全重合的图形叫做轴对称图形，据此判断即可．【详解】选项A，B，D都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项C能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.【答案】C【解析】【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【详解】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′=∠AOB．【详解】解：由作图可得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD与△C′O′D′中，，∴△COD≌△C'O'D'（SSS），∴∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．6.【答案】A【解析】【分析】由全等三角形的对应角相等可得∠C＝∠F＝47°，再利用三角形内角和定理可求得∠B的度数．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴∠C＝∠F＝47°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣100°﹣47°＝33°．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．7.【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴（），∴，∵，∴．故选C．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（共24分，每小题3分）9.【答案】（﹣2，﹣3）【解析】【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】点(2，﹣3)关于y轴对称的点的坐标是：(﹣2，﹣3)．故答案为：(﹣2，﹣3)．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．10.【答案】360°【解析】【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：正六边形的外角和是．故选：．【点睛】本题正多边形和圆，考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关．11.【答案】75°【解析】【分析】由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度数．【详解】解：∵∠F=30°，∠EAC=45°，∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°，∵∠FBC=90°，∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，注意数形结合思想的应用．12.【答案】8cm【解析】【详解】试题分析：利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质将△PBC的周长转化为线段（AC+BC）的长度．解：∵AB的垂直平分线交AC于P点．∴AP=BP．又∵AB=AC，AB=5cm，BC=3cm，∴△PBC的周长=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AB+BC=5+3=8cm．故答案是：8cm．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．13.【答案】根据证明．【解析】【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案．【详解】解：连接，，如图，点分别是、的中点，，，在和中，，∴．．答：需要测量的长度，即为工件内槽宽．其依据是根据证明；故答案为：根据证明．【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．14.【答案】60【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【详解】解：连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为60【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．15.【答案】7【解析】【分析】根据角平分线定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，，再根据等角对等边可得，即可得出；求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵E是平分线的交点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的周长，∵，∴的周长，故答案为：7．【点睛】本题考查了等腰三角形判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．16.【答案】①（0，2）（答案不唯一）②.5【解析】【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，即可得出答案．【详解】解：如图：当AC⊥BC时，∵点A（2，2），B（0，4），∴AC=2，OC=2，OB=4，∴BC=2，∴AC=BC，即三角形ABC为等腰三角形，∴一个满足条件的点C的坐标（0，2）（答案不唯一），如图，

若点A为两腰的交点，此时满足条件的点C有1个，与原点O重合，若点B为两腰的交点，此时满足条件的点C有2个，分别为；若AB为底边，此时满足条件的点C有2个，分别为C、；综上，满足此条件的点C共有5个，故答案为：（0，2）（答案不唯一），5．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形性质，做题时需注意两点，一是注意点C必须位于坐标轴上，二是注意不能漏解，应分AB为底边和腰两种情况分别解答，难度适中．三、解答题：（共52分，17、18、19、21、22题5分，20、23每题6分，24题8分，25题7分）17.【答案】见解析【解析】【分析】已知AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECD，再根据SAS证明△ABC≌△ECD全，由全等三角形对应边相等即可得AC=ED．【详解】解：∵ABCD，∴∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴AC=ED．18.【答案】见解析【解析】【分析】根据平行线的性质以及全等三角形的判定定理证明，即可得出结论．【详解】证明：∵，，，∵，∴，∴，在和中，，∴（）．∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．19.【答案】（1）见解析（2），，（3）【解析】【分析】（1）根据网格与坐标得出点，，的位置，顺次连接即可；（2）由（1）中图象可直接得出点的坐标；（3）用相应正方形的面积减去三个三角形的面积即可．【小问1详解】解：根据网格与坐标得出点，，的位置，顺次连接，如图所示：即为所求；【小问2详解】根据图象得：，故答案为：；；；【小问3详解】的面积为：，故答案：．【点睛】题目主要考查轴对称图形的作法及确定点的坐标，利用网格求三角形的面积等，理解题意，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键．20.【答案】尺规作图见解析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.【解析】【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.【详解】如图，∵PQ是AB的垂直平分线∴AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；∴∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．∴∠APC=2∠ABC．【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.21.【答案】详见解析.【解析】【分析】可先利用“AAS”证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF=∠CEF.【详解】证明：在△AEB和△DEC中，∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，AB=DC.∴△AEB≌△DEC（AAS）∴EB=EC.∵FBC中点，∴∠BEF=∠CEF.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键.22.【答案】（1）见解析（2）120°【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据三角形的外角性质得出∠ABD＝∠ACE，根据SAS推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据AB＝AC，AB＝BC，可得AB＝AC＝BC，可得△ABC是等边三角形，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠D，∠E，再根据三角形内角和定理即可求解．【小问1详解】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB+∠BAC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE；【小问2详解】解：∵AB＝AC，AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AB＝BD，∴∠DAB＝∠D，∵∠ABC＝∠DAB+∠D，∴∠D＝30°，同理可得∠E＝30°，∴∠DAE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）由AC=BC，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，可得∠CAD=∠BAD=22.5°，即得∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，根据点A与点E关于直线BC对称，可得∠AFB=90°-∠BAD=67.5°，故∠BDF=∠AFB，从而△BDF是等腰三角形；（3）过D作DK⊥AB于K，证明△ACD≌△AKD（AAS），得AC=AK，CD=DK，又AC=BC，∠ACB=90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK=DK，即知BK=CD，而AB=AK+BK，有AB=AC+CD，故AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．【小问1详解】解：补全图形如下：；【小问2详解】证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD=22.5°，∴∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，∵点A与点E关于直线BC对称，∴∠EBC=∠CBA=45°，∴∠ABF=90°，∴∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠AFB，∴BF=BD；∴△BDF是等腰三角形；【小问3详解】证明：过D作DK⊥AB于K，如图：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠KAD，∵DK⊥AB，∴∠AKD=90°=∠ACD，在△ACD和△AKD中，，∴△ACD≌△AKD（AAS），∴AC=AK，CD=DK，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠KBD=45°，∴△KBD是等腰直角三角形，∴BK=DK，∴BK=CD，∵AB=AK+BK，∴AB=AC+CD，∴AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线等知识，解题的关键是掌握对称的性质，能熟练应用全等三角形的判定与性质定理．24.【答案】（1）①见解析；②30；③见解析；（2）或或【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据等边三角形的性质可以直接得出结论；③根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以得出∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（2）分①当点D在B