云南省昆明市师大实验建设路校区2023-2024学年九年级上学期开学考数学试题【含答案】

2023-2024云南省师范大学附属实验中学（建设路校区）九年级开学考数学试卷一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）1.如图，在矩形中，下列结论中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：因为四边形为矩形，所以，选项B正确，符合题意；而与、与、与不一定相等，故选项A、C、D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，理解并掌握矩形的性质是解题关键．2.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，判断即可．【详解】解：A、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、，若，则不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、不是整式方程，故此选项不符合题意；D、是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟记概念是关键．3.下列函数中，的值随值的增大而减小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；B.，，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；C.，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；D.，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．4.云南师范大学实验中学某班学生在体育课上进行跳绳比赛，参与比赛的10名学生一分钟跳绳成绩如下表所示：成绩/次165172175180196人数/人13222这10名学生跳绳成绩中位数和众数分别为（）A.175，172 B.172，175 C.196，175 D.180，196【答案】A【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：由题意可得：众数：172，中位数：第5名和第6名学生身高的平均数，，∴中位数是175，故选：A．【点睛】本题考查统计知识中的中位数和众数的概念，熟记概念是关键．5.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．6.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．（1）作垂直平分线交于点O；（2）连接，在的延长线上截取；（3）连接，，则四边形即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等【答案】C【解析】【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出，可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．7.某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．8.对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限．【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，∴，故选项A正确，不符合题意；∴，故选项B正确，不符合题意；∵一次函数的图象经过点，∴，则，∴，故选项C错误，符合题意；∵，∴，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．9.如图，菱形中，对角线、交于点，为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（）A B.4 C.7 D.14【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质求出边长以及，然后利用三角形中位线的性质即可解答．【详解】解：∵菱形的周长为28，∴，，∵为边中点，∴是的中位线，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．10.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．【详解】解：∵为一元二次方程，∴，∵该一元二次方程有两个实数根，∴，解得，∴且，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．11.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．【详解】解：连接、∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．∴，则，依题意，，∴，则，∴∴，∴，∵，∴故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．12.如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，，，点在轴上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点A作轴，根据正方形的性质得，得到，利用待定系数法求得a，c的值，即可得到．【详解】解：过点A作轴，如图，∵四边形是正方形，∴，∴，∵轴，∴，∴，设，则，，∴，∴，∴，解得，∴的值为，故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分）13.函数中自变量的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．【详解】解：根据题意，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．14.甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，则三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是______________．（填“甲”或“乙”或“丙”）【答案】乙【解析】【分析】根据方差越小，波动性越小，越稳定即可判断．【详解】∵，，，平均成绩都是8.5环，，∴∴三名运动员中这5次训练成绩最稳定的是乙．故答案为乙．【点睛】本题考查方差．根据方差是反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，越不稳定．反之方差越小，波动性越小，越稳定是解答本题关键．15.综合与实践活动课上，小李同学对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，．则图中的度数为________．【答案】60【解析】【分析】连接，结合折叠的性质证明为等边三角形，即可获得答案．【详解】解：如下图，连接，由折叠的性质知，垂直平分，∴，由折叠的性质知，，∴，∴为等边三角形，∴．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及等边三角形的判定与性质，解题关键是利用折叠的性质证明为等边三角形．16.若m是方程的根，则______．【答案】6【解析】【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可．【详解】解：∵m是方程的根，∴，即，∴；【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用配方法解该一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解该一元二次方程即可．【小问1详解】解：，，∴，∴，；【小问2详解】解：，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．18.教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1541a32b34整理数据：时间段人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54请结合以上信息回答下列问题：（1）__________，并补全频数直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则__________，__________；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．【答案】（1）1；频数直方图见解析（2）4；7（3）1400人【解析】【分析】（1）用被调查的总人数减去其余两个时间段的人数，补全频数直方图即可；（2）通过（1）可得在家做家务时间段为有1人，故，则，利用众数为4，可知，再利用平均数求得即可；（3）用2000乘调查的学生中劳动时间不少于3小时的人数的占比，即可解答．【小问1详解】解：根据题意，可得，故答案为：1，补全频数直方图，如图所示：【小问2详解】解：在家做家务时间段为有1人，且，，观察数据，可得在家做家务时间段为的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故，众数为4，在已知数据中在家做家务时间为和的各有2人，，根据平均数，可得方程，解得，故答案为：4；7；【小问3详解】解：（人），答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．【点睛】本题考查了频数直方图，平均数的概念，众数的概念，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键．19.如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…02…输出y…2616…根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为__________；（2）求k，b的值；（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．【答案】（1）8（2）（3）【解析】【分析】对于（1），将x=1代入y=8x，求出答案即可；对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程组，解方程组得出答案；对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．【小问1详解】当x=1时，y=8×1=8；故答案为：8；【小问2详解】将（-2，2），（0，6）代入，得，解得；【小问3详解】令，由，得，∴．（舍去）由，得，∴．∴输出的y值为0时，输入的x值为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，理解“函数求值机”的计算过程是解题的关键．20.已知T=（1）化简T；（2）若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．【答案】（1）；（2）T=【解析】【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．【小问1详解】解：T==；【小问2详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，则T=．【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．21.某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元【解析】【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．【详解】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）=-10x+900，∴y与x的函数表达式为：y＝-10x+900；（2）设利润为w，由（1）知：w＝（x﹣50）（-10x+900）=﹣10x2＋1400x﹣45000，∴w＝﹣10（x﹣70）2＋4000，∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．22.【观察思考】【规律发现】请用含的式子填空：（1）第个图案中“”的个数为；（2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．【规律应用】（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：第1个图案中有个，第2个图案中有个，第3个图案中有个，第4个图案中有个，……∴第个图案中有个，故答案为：．【小问2详解】第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为，【小问3详解】解：依题意，，第个图案中有个，∴，解得：（舍去）或．【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．23.如图，平行四边形中，过点作，交于点，过点作，交于点，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，的面积等于4，求平行线与间的距离．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）首先证明，进而推到，即可证明四边形为平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形是菱形即可；（2）过点作，交的延长线于点，首先证明为等腰直角三角形，结合可求得，进而可知；再根据菱形的性质可得，易知；然后证明为等腰直角三角形，结合勾股定理在中，可有求得，即可获得答案．【小问1详解】证明：∵四边形为平行四边形，∴，，，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∵，∴四边形为平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：如下图，过点作，交的延长线于点，∵，，即，∴，∴，∴，即为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∵，，∴，，又∵，即，∴，∴，即为等腰直角三角形，∴在中，可有，∴，∴，即平行线与间的距离为．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题关键．24.综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，_______．②S关于t的函数解析式为_______．（2