安徽省黄山市渚口中学高一数学理下学期摸底试题含解析

安徽省黄山市渚口中学高一数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．其中错误命题的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B如果两个平面垂直，则：①，若一个平面内的已知直线与交线垂直，则垂直于另一个平面的任意一条直线，故①不成立；②，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条与该平面垂直的直线，故②成立；③，若一个平面内的任一条直线不与交线垂直，则不垂直于另一个平面，故③不成立，故选B．2.设ω是正实数，函数f（x）=2cosωx在x∈上是减函数，那么ω的值可以是（）A． B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】HA：余弦函数的单调性．【分析】可知函数的最小正周期T=≥2（﹣0），解之可得ω的范围，结合选项可得答案．【解答】解：由题意可知函数的最小正周期T=≥2（﹣0），解得ω≤，结合选项可知只有A符合，故选A3.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.执行如图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是

A、

B、

C、

D、参考答案：B5.函数的零点所在的一个区间是

（

）A.(－2,－1)

B.(－1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)参考答案：B函数f（x）=2x+3x是连续增函数，∵f（-1）=,f（0）=1+0＞0∴函数的零点在（-1，0）上，故选：B

6.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在3扇形内，故.

7.（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（） A． y=2x B． y=sinx C． y=log2x D． y=x|x|参考答案：D考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 根据指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，得到A、C两项不符合题意；根据正弦函数y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，得到B项不符合题意；因此只有D项符合，再用函数奇偶性、单调性的定义加以证明，即可得到正确答案．解答： 对于A，因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数，所以函数y=2x不符合题意，故A不正确；对于B，因为函数y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，所以函数y=sinx不符合题意，故B不正确；对于C，因为对数函数的定义域为（0，+∞），所以函数y=log2x是非奇非偶函数，得C不正确；对于D，设f（x）=x|x|，可得f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）所以函数y=x|x|是奇函数；又∵当x≥0时，y=x|x|=x2，在（0，+∞）上是增函数，且当x＜0时，y=x|x|=﹣x2，在（﹣∞，0）上是增函数∴函数y=x|x|是R上的增函数因此，函数y=x|x|是奇函数，且在其定义域内是函数，可得D正确故选：D点评： 本题给出几何基本初等函数，要我们找出其中单调增的奇函数，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性及其判断方法的知识，属于基础题．8.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．mB．mC．mD．m参考答案：A考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB解答：解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选A点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用．9.已知函数是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：B考点：函数单调性的性质．专题：转化思想；定义法；函数的性质及应用．分析：根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．解答：解：若f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则满足，即，即＜a≤，故选：B点评：本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式关系是解决本题的关键10.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是（）A．在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinCB．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=bC．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，若A＞B，则sinA＞sinBD．在△ABC中，参考答案：B【考点】HP：正弦定理．【分析】在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB，c=2RsinC，结合比例的性质，三角函数的图象和性质，判断各个选项是否成立，从而得出结论．【解答】解：A、在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsingB，c=2RsinC，故有a：b：c=sinA：sinB：sinC，故A成立；B、若sin2A=sin2B，等价于2A=2B，或2A+2B=π，可得：A=B，或A+B=，故B不成立；C、∵若sinA＞sinB，则sinA﹣sinB=2cossin＞0，∵0＜A+B＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，∴sin＞0，∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴﹣＜＜，又sin＞0，∴＞0，∴A＞B．若A＞B成立则有a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB成立；故C正确；D、由，再根据比例式的性质可得D成立．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，结合比例的性质，三角函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲，乙两船同时从点出发，甲以每小时的速度向正东航行，乙船以每小时的速度沿南偏东的方向航行，小时后，甲、乙两船分别到达两点，此时的大小为

；参考答案：12.已知函数，且在区间(2,3)上单调递减，则a的取值范围是_________.参考答案：13.如图：点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②∥面；③；④面⊥面.其中正确的命题的序号是________．参考答案：略14.方程：22x+1﹣2x﹣3=0的解为．参考答案：【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】令2x=t＞0，方程即2?t2﹣t﹣3=0，解得t，求得x，从而得到方程22x+1﹣2x﹣3=0的解集．【解答】解：令2x=t＞0，则方程22x+1﹣2x﹣3=0即2?t2﹣t﹣3=0，解得t=或t=﹣1（舍去），即2x=，解得x=．故方程22x+1﹣2x﹣3=0的解集为{}，故答案为：．【点评】本题主要考查指数型函数的性质以及应用，求出2x的值，是解题的关键，属于中档题．15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为200，300，500，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，则应从高二年级抽取

名学生．参考答案：45【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据三个年级的人数，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为200，300，500，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，∴要从高二抽取×150=45，故答案为：45．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．16.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：[则第n个图案中有白色地面砖

块．参考答案：

略17.在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．参考答案：【分析】设三棱锥的外接球半径为，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用公式可计算出外接球半径，最后利用球体的表面积公式可计算出结果.【详解】由正弦定理可得，的外接圆直径为，，设三棱锥的外接球半径为，平面，，因此，三棱锥的外接球表面积为，故答案为：.【点睛】本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球，若底面外接圆半径为，高为，可利用公式得出外接球的半径，解题时要熟悉这些结论的应用.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知一次函数f（x）在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，8]时，求函数的值域．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．可求k，b．（2）函数，求出g（x），利用换元法转化为二次函数问题求值域．【解答】解：（1）由题意函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．故得，解得：b=1．k=1，∴函数f（x）的解析式为f（x）=x+1、（2）函数=2x﹣，令：t=，则x=t2﹣1．∵x∈[﹣1，8]，∴0≤t≤3．∴函数g（x）转化为h（t）=当t=时，函数h（t）取得最小值为，当t=3时，函数h（t）取得最大值为13．故得函数h（t）的值域为[]，即函数g（x）的值域为[]，19.设函数．（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若，，C为锐角，求sinA．参考答案：（1），；（2）．（1）.................4分

当，即时，.最小正周期..................6分（2）由（1）得，得.因为角C为锐角，所以.................8分由，得，..............10分所以.....................12分20.（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：（1）平面A1BD∥平面CB1D1；（2）M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．参考答案：考点： 平面与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．专题： 空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）连接B1C和D1C，由A1D∥B1C，A1B∥D1C，能证明平面CB1D1∥平面A1BD．（2）利用正方体的性质容易得到AD1∥MN，所以∠CAD1为异面直线所成的角，连接CD1，得到△CAD1为等边三角形，得到所求．解答： （1）证明：连接B1C和D1C，∵A1D∥B1C，A1B∥D1C，A1D∩A1B=A1，A1D?平面A1BD，A1B?平面A1BD，B1C?平面CB1D1，D1C?平面CB1D1，∴平面A1BD∥平面CB1D1．（2）因为几何体为正方体，连接AD1，D1C，所以∠CAD1为异面直线所成的角，又△CAD1为等边三角形，所以异面直线AC和MN所成的角60°点评： 本题考查两平面平行的证明，考查异面直线所成的角的求法，关键是将面面平行转化为线线平行解答，将空间角转化为平面角解答，注意转化能力和空间思维能力的培养．21.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，,。求证：（1）；（2）．参考答案：（1）见解析（2）见解析分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．

因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，