重庆长寿实验中学高三数学理摸底试卷含解析

重庆长寿实验中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点在内，满足，那么与的面积之比是A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则A.

B.

C.

D.参考答案：D3.f（x）=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)

(ω＞0，＜的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则下列关于g（x）=sin（ωx+φ）的图象说法正确的是

（

）A．函数在x∈[]上单调递增

B.关于直线x=对称C.在x∈[0,]上，函数值域为[0，1]

D.关于点对称参考答案：B，因为最小正周期为，所以，又因为，所以，所以，所以，因此选B。4.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A．

B．

C．

D．参考答案：C5.李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．6.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（）A.-5

B.1C.2

D.3参考答案：D略7.函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D8.角α的终边经过点P（sin10°，﹣cos10°），则α的可能取值为（）A．10° B．80° C．﹣10° D．﹣80°参考答案：D【考点】任意角的三角函数的定义．

【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】算出r=|OP|=1，根据三角函数的定义得cosα==sin10°且sinα==﹣cos10°，再由诱导公式加以计算，可得α=﹣80°+k?360°（k∈Z），k=0可得答案．【解答】解：∵sin10°＞0，﹣cos10°＜0，∴点P（sin10°，﹣cos10°）是第四象限的点，∵r=|OP|==1，∴cosα==sin10°=cos80°=cos（﹣80°），sinα==﹣cos10°=﹣sin80°=sin（﹣80°），满足条件的α=﹣80°+k?360°（k∈Z），取k=0，得α=﹣80°．故选：D【点评】本题给出点P为角α的终边上一点，求满足条件的一个α值．着重考查了任意角三角函数的定义与诱导公式等知识，属于基础题．9.命题对任意恒成立，则

（

）

A．“”为假命题

B．“”为真命题

C．“”为真命题

D．“”为真命题参考答案：答案：D10.在△ABC中，有命题:①；②；③若，则△ABC是等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是…………（

）

(A)②③

(B)①④

(C)

①②

(D)②③④参考答案：A因为，所以①错误。排除B,C.②正确。由得，即，所以△ABC是等腰三角形，所以③正确。若，则，即为钝角，所以△ABC为钝角三角形，所以④错误，所以上述命题正确的是②③，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=cosx+ex在点（0，f（0））处的切线方程为．参考答案：x﹣y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】由f（x）=cosx+ex，知f（0）=cos0+e0=2，f′（x）=﹣sinx+ex，由此利用导数的几何意义能求出f（x）=cosx+ex在x=0处的切线方程．【解答】解：∵f（x）=cosx+ex，∴f（0）=cos0+e0=2，f′（x）=﹣sinx+ex，∴f′（0）=1，∴f（x）=cosx+ex在x=0处的切线方程为：y﹣2=x，即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．【点评】本题考查函数在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．12.出下列命题

①若是奇函数，则的图象关于y轴对称；

②若函数f(x)对任意满足，则8是函数f(x)的一个周期；

③若，则；

④若在上是增函数，则。

其中正确命题的序号是___________.参考答案：124略13.定义一种运算，在框图所表达的算法中揭示了这种运算

“”的含义。那么，按照运算“”的含义，计算

．参考答案：1略14.已知单位向量，的夹角为60°，则__________参考答案：15.已知函数的最大值为，则实数的值是

.参考答案：16.在正三角形中，是上的点，，则

。参考答案：本题考查向量数量积的运算，难度中等.由题意可知.17.已知有两个极值点、，且在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=4，四边形ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点．（1）证明：BM∥平面ADE1F1；（2）求三棱锥D﹣BME1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．（2）根据条件求出三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】（1）证明：取E1D的中点N，连接MN，AN，在△E1DC中，M，N分别为E1C，E1D的中点，∴MN∥CD，MN=CD，∵AB∥CD，AB=CD，∴MN∥AB，MN=AB．则四边形ABMN是平行四边形，则BM∥AN，∵AN?平面ADE1F1，BM?平面ADE1F1，∴BM∥平面ADE1F1．（2）由平面ADE1F1⊥平面ABCD，E1D?平面ADE1F1，平面ADE1F1∩平面ABCD=AD，E1D⊥AD，E1D⊥平面ABCD，∵AD?平面ABCD，E1D∩CD=D，∴AD⊥平面E1DC，∵AB∥CD，CD?平面E1DC，AB?平面E1DC，∴AB∥平面E1DC，则B到平面E1DC的距离就是A到平面E1DC的距离，即B到平面E1DC的距离是AD，由=，则=?AD=，即三棱锥D﹣BME1的体积V=．19.设函数f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．（1）若a=﹣6，求f（x）在[0，3]上的最值；（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（3）求证：不等式（n∈N*）恒成立．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=﹣6时，由f′（x）=0得x=2，可判断出当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，3]时，f（x）单调递增，从而得到f（x）在[0，3]上的最值．（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使f′（x）=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，即2x2+3x+1+a=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，可以利用一元二次函数根的分布，即可求a的范围．（3）先构造函数h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令x=，即可证得结论．解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），a=﹣6时，由f'（x）=2x+1﹣==0，得x=1（x=﹣舍去），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，3]时，f′（x）＞0，所以当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，3]时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（1）=2﹣6ln2，f（x）max=f（3）=12﹣12ln2，（2）由题意f'（x）=2x+1+==0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，即2x2+3x+1+a=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+3x+1+a，则，解之得0＜a＜；（3）对于函数g（x）=x2﹣ln（x+1），令函数h（x）=x3﹣g（x）=x3﹣x2+ln（x+1）则h′（x）=3x2﹣2x+=，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取x=∈（0，+∞），则有ln（+1）＞﹣恒成立．即不等式（n∈N*）恒成立点评：本题以函数为载体，考查函数的最值，考查函数的单调性．第一问判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点是解题的关键，第三问的关键是构造新函数，利用导数证明不等式．20.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝120°，AD＝AB＝1，AC交BD于O点．

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)求三棱锥D－ABP和三棱锥B－PCD的体积之比．参考答案：略21.（本小题满分14分）

已知函数．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）比较与e的大小（，e是自然对数的底数）；（Ⅲ）对于函数和定义域上的任意实数，若存在常数，，使得不等式和都成立，则称直线是函数和的“分界线”．设函数，，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出常数，的值．若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ），．当时，，是减函数；当时，，是增函数．

2分在上的极小值也为最小值，且最小值为．··························4分（Ⅱ）据（Ⅰ）知，知当时，，·················6分故当时，．故．·········································································8分（Ⅲ）令（），则（），当时，，是减函数；当时，，是增函数．的最小值，则与的图象在处有公共点．··········································10分设函数和存在“分界线”，方程为，有在时恒成立，即在时恒成立，由，得，则“分界线”方程为．··································································································································12分记（），则（），当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数．当时，函数取得最大值，即在时恒成立．综上所述，函数和存在“分界线”，其中，．··············14分略22.（本小题14分）已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数，（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2。试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：（14分）解：（1）f＇(x)==，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.

①设j(x)=x2－ax－2，①

－1≤a≤1，

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1