江西省赣州市里仁中学高三数学理测试题含解析

江西省赣州市里仁中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于(

)

A．

B．C．

D．参考答案：A2.下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．3.如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为A．

B．

C．

D．参考答案：A4.直线和圆的位置关系是（

）A．相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心参考答案：A圆的标准方程为，圆心为，，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，选A.5.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，于点C，设，，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D6.已知函数在区间上是减函数，则范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：因为是开口向上，对称轴为的抛物线，所以函数的单调递减区间为，又因为函数在区间上是减函数，所以，即，故答案为．考点：二次函数的单调性．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（）A．4cm B．12cm C．2cm D．13cm参考答案：C【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开，不难发现最短距离是3个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转1次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，在展开图中，最短距离是3个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于3×2=6，宽等于4，由勾股定理d==2故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：B考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示．

专题： 平面向量及应用．分析： 根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．解答： 解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化简得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故选：B．点评： 本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．9.函数的值域为()参考答案：D10.某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（

）A．23 B．09 C．02 D．16参考答案：试题分析:从随机数表第一行的第列和第列数字开始，由左到右依次选取两个数字，不超过的依次为：，第四个志愿者的座号为，故选.考点：随机抽样.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为

．参考答案：16π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：球．分析：通过A的余弦函数求出正弦函数值，求出B的大小，利用三棱锥O﹣ABC的体积为，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答： 解：△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，∴sinA==，由正弦定理可知：，∴sinB=1，B=90°．斜边AC的中点就是△ABC的外接圆的圆心，∵三棱锥O﹣ABC的体积为，又AB==2，∴=，∴h=，∴R==2，球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．点评：本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.设函数是定义在上的奇函数，若当时，,则满足的的取值范围是参考答案：13.不等式的实数解为____________．参考答案：且略14.（+3）（﹣）5的展开式中的常数项为．参考答案：40【考点】二项式定理的应用．【分析】把（﹣）5按照二项式定理展开，可得（+3）（﹣）5的展开式中的常数项．【解答】解：（+3）（﹣）5=（+3）（﹣?2x+?4﹣?8x﹣2+?16﹣?32x﹣5），故展开式中的常数项为?4=40，故答案为：40．15.数列{an}满足a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*，则a1=

，an=

．参考答案：12,考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：条件可与a1+a2+…+an=Sn类比．在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，可解出a1=12，由已知，可得当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，an=3，an=3n+1，解答： 解：在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，得a1=4，a1=12，由已知，可得当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，an=3，an=3n+1，所以an=故答案为：12，点评：本题考查数列的递推关系式，数列通项求解，考查逻辑推理．计算能力．16.若函数，则的最小正周期为

；

．参考答案：

；

17.在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令．

(1)数列的通项公式为=____________；

(2)=___________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|?|BP|=|BA|2，求m的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．相减消去参数化为普通方程．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP|?|BP|=|BA|2，可得|t1?t2|=，化为：5t1?t2=，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：y2=mx（m＞0）．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．消去参数化为普通方程：y=x﹣2．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．则t1+t2=（m+8），t1?t2=4（m+8）．∵|AP|?|BP|=|BA|2，∴|t1?t2|=，化为：5t1?t2=，∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．19.如图所示，在多面体ABCDEF中，CB⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，是一个正三角形，且.（1）求证：；（2）若三棱锥的体积为2，求点A到平面CDF的距离．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）通过证明和可得平面，从而可证得；（2）设，由，解得，设点A到平面CDF的距离为，由即可求解.【详解】（1）∵平面，平面，∴，∵是一个正三角形，，∴，∵，∴平面，∵平面，∴．（2）∵平面，四边形是正方形，是一个正三角形，，且．三棱锥体积为2，设，则，，∴，解得，取中点M，连接NF，取CD中点M，则，又，所以面，.易知，，设点A到平面CDF的距离为．，解得.【点睛】本题主要考查了线面的垂直关系的证明及性质，考查了点面距的求解，涉及等体积转化的运算求解，属于中档题.20.已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求时函数f（x）的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）化简得f（x）=sin（2x﹣）+．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解出单调递减区间；（2）根据x的范围求出2x﹣的范围，结合正弦函数的单调性求出最值．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+?=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+．∴f（x）的最小正周期是T=π．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵，∴2x﹣∈[0，]，∴当2x﹣=0时，f（x）取得最小值，当2x﹣=时，f（x）取得最大值+1．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据△MF1F2的周长等于6，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程．（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0，再由即可消去y0，求出x0的取值范围，再表示出△MF1F2面积即可求出最大值．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．所以c=1，a=2．所以b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）设点M的坐标为（x0，y0），则．由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又因为，所以3﹣+10x0﹣15≥0．解得．又﹣2＜x0＜2，则，所以0＜|y0|≤因为△MF1F2面积为|y0||F1F2|=|y0|，所以当|y0|=时，△MF1F2面积有最大值．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．22.（本小题满分12分）对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：①对任意的，总有≥；②；③若≥，≥，≤，都有≥成立，则称函数为理想函数．(1)若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并给出证明；(3)若函数为理想函数，