江苏省连云港市连云中学高三数学理下学期摸底试题含解析

江苏省连云港市连云中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，即可求出该几何体的表面积．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π?1?2+π?12+++1=，故选D．2.下面四个条件中，使成立的充分不必要条件为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以是成立的一个充分不必要条件，选A.3.若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案解析】A

解方程组，得或，

∵圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，

∴A（0，-3），B（0，3），∴a=3，2c=18，∴b2=（）2-32=72，

∴双曲线方程为．故答案为A.【思路点拨】由已知条件推导出A（0，-3），B（0，3），从而得到a=3，2c=18，由此能求出双曲线方程．4.已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合?求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．【解答】解：如图所示，?=（﹣）?（﹣）=?﹣﹣=﹣；由||=||=2，||=||=1，可得?=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．5.已知非零向量与满足且则为（

） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形参考答案：A6.设为三条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题中的真命题是（

）A.若，，则

B.若，，则或

C若，、，，，则

D.若，，，则参考答案：答案：D7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.

B.

C.

D.1参考答案：由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.8.在一个个体数目为2003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为：

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知双曲线(0＜b＜2)与x轴交于A、B两点，点C(0,b)，则△ABC面积的最大值为(

)（A）1

（B）2

（C）4

（D）8参考答案：B由题意两点为，因此，当且仅当，即时等号成立．故最大值为2，选B．10.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正数满足，则的最大值为

，当且仅当

.参考答案：

试题分析:由题设可得,故,解之得,此时,故应填.考点：二次不等式和二次方程的解法及运用．12.已知x，y满足约束条件，若，则z的最大值为___．参考答案：7画出，满足约束条件的平面区域，如图所示：将转化为，通过图象得出函数过时，取到最大值，，故答案为7．13.已知，则双曲线的离心率的取值范围是

．参考答案：

由题意知，双曲线的方程可变形为，∵，∴离心率.14.已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC=，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为．参考答案：23π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】利用四面体ABCD的体积为，求出a到底面积BCD的距离，求出球O的半径．然后求解球的表面积．【解答】解：由题意，如图：BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．作CE∥BD，ED∥BC，可得CBDE是矩形，可得AE⊥平面BCDE，BC=，BD=4，该三棱锥的体积为，可得=，可得AE=2，并且AB为球的直径，BE==，AB==，∴球的表面积4π×=23π，故答案为：23π．15.若数列{an}满足，，则an=_____．参考答案：【分析】由，累加法求通项即可【详解】由题，则……相加得,故=故答案为【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查等差等比数列的求和，考查基本公式，准确计算是关键，是基础题

16.已知复数（为虚数单位），则

。参考答案：略17.已知若或，则的取值范围是____________.参考答案：(-4，0)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．（Ⅰ）若量⊥，求θ；（Ⅱ）求｜＋｜的最大值。参考答案：略19.在△中，分别为内角的对边，且．（1）求；（2）若，求．参考答案：解：（1）由

得，

，即．

从而，得．

…4分

∴,故．

…6分（2）由，得，∴．

…10分

∵，∴，解得．

…12分20.如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于、两点，点Q是点P关于原点的对称点。（1）设，证明：；（2）设直线AB的方程是，过、两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

参考答案：解:(1)由题意，可设直线的方程为，代入抛物线方程得

①设、两点的坐标分别是，则是方程①的两根，所以由得，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为，从而所以(2)由得的坐标分别为抛物线在点A处切线的斜率为3.设圆C的方程是，则解之得故，圆C的方程是略21.已知椭圆的离心率是，O为坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左、右视点，P为椭圆C上异于A，B的一点，直线AP，BP的斜率分别是。（1）求证：为定值；（2）设直线l交椭圆C于M，N两点，，，且的面积是，求椭圆C的标准方程。参考答案：(1).(2).【分析】(1)设,,根据点在椭圆上得到结果；（2）设直线的方程为，，，即，，联立直线和椭圆，再由韦达定理得到结果.【详解】（1）由题意得，，即，则椭圆可化为，设，则，∴；（2）由题意知，不垂直于轴，设直线的方程为，联立，得，，设，则，∵，∴，即，∴，∴，即得，，∵，点到直线的距离，∴，解得，则，∴椭圆的标准方程是.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22.已知等差数列{an}中，，.