2024年高考数学专项复习-第八章-立体几何与空间向量

2024年高考数学专项复习第八章立体几何与空间向量01基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课标要求命题点五年考情命题分析预测1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.基本立体图形该讲每年必考，命题重点为空间几何体的表面积和体积的计算，属于中档偏易题；体积的最值问题，常用函数思想和课标要求命题点五年考情命题分析预测2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.空间几何体的表面积（侧面积）基本不等式求解，难度中等偏大；与球有关的切、接问题，对直观想象核心素养要求较高，难度中等偏大.题型以选择题和续表课标要求命题点五年考情命题分析预测3.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.求空间几何体的体积填空题为主.预计2024年高考会以数学文化情境或实际问题情境为载体进行考查.续表1.空间几何体的结构（1）多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

名称棱柱棱锥棱台底面互相①______且全等多边形互相平行且②______侧棱平行且相等相交于③______，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等侧面形状④____________三角形⑤______平行相似一点平行四边形梯形续表规律总结1.几种特殊棱柱的结构特征及之间的关系

名称圆柱圆锥圆台球图形

旋转图形矩形⑥____________⑦__________半圆形直角三角形直角梯形（2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球旋转轴任一边所在的直线任一⑧______边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线⑨______所在的直线母线互相平行且相等，⑩____________相交于一点延长线交于一点轴截面全等的⑪______全等的⑫____________全等的等腰梯形圆侧面展开图⑬______⑭______扇环直角直径垂直于底面矩形

等腰三角形矩形扇形续表2.立体图形的直观图

（1）画法：常用斜二测画法.

不变一半

3.简单几何体的表面积与体积（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式

（2）简单几何体的表面积与体积表面积体积柱体（棱柱和圆柱）锥体（棱锥和圆锥）台体（棱台和圆台）球

CA.棱台

B.四棱柱

C.五棱柱

D.六棱柱2.[多选/教材改编]给出下列命题，其中错误的是(

)A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B.三棱锥的四个面最多有三个直角三角形C.在四棱柱中，若两个过相对棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥ABD

4.用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，则被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为________.

命题点1

基本立体图形角度1

结构特征1.下列命题正确的是(

)A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线B.一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台C.圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形D.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中，面积最大的一个C[解析]

只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故A不正确；只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥时，才能得到一个圆锥和一个圆台，故B不正确；因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式知，过圆锥顶点的截面中，两条母线的夹角的正弦值越大，截面面积就越大，所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时，轴截面的面积就不是最大的，故D不正确．故选C.角度2

直观图

菱形

角度3

展开图

B

方法技巧求解空间几何体表面上两点间的最短距离问题或两条（多条）线段长度和的最小值问题常转化为求平面两点间的最短距离问题，解决此类题的方法就是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识去求解.命题点2

空间几何体的表面积（侧面积）

A

方法技巧求空间几何体的表面积的常见类型及解题思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清旋转体的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割或补形成柱体、锥体、台体，先求出这些柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.

命题点3

求空间几何体的体积角度1

求空间几何体的体积

A

1

C

C

方法技巧求空间几何体体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.等体积法通过转换底面和高来求几何体的体积，即通过将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高进行求解.常用于求三棱锥的体积.

角度2

体积的最值问题

C

B

方法技巧求解体积的最值问题的方法（1）几何法：根据几何体的结构特征，先确定体积表达式中的常量与变量，然后利用几何知识判断变量什么情况下取得最值，从而确定体积的最值.（2）代数法：先设变量，求出几何体的体积表达式，然后转化为函数最值问题或利用不等式求解即可.1.[命题点2]如图，几何体是由正四棱柱和正四棱锥组成的，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是_____.

D

02空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解4个基本事实和定理.平面的基本性质及应用该讲是立体几何的基础，主要以选填题的形式出现，考查平面的基本性质及应用（如作截面），线线位置关系的判定等,难度中等.在2024年高考备考中要侧重对基本性质的理解和应用.空间两直线的位置关系1.平面的基本性质（1）三个基本事实名称图形语言文字语言符号语言用途基本事实1

过①________________的三个点,有且只有一个平面.（1）确定一个平面；（2）判断两个平面是否重合；（3）证明点、线共面.

不在一条直线上名称图形语言文字语言符号语言用途基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.证明“点在面内”或“线在面内”.

续表名称图形语言文字语言符号语言用途基本事实3

如果两个不重合的平面③______________,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）证明“三点共线”“三线共点”；（2）确定两平面的交线.

有一个公共点

续表（2）三个推论利用基本事实1和基本事实2，结合“两点确定一条直线”可得到以下推论.推论1

经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2

经过两条⑤______直线,有且只有一个平面.推论3

经过两条平行直线,有且只有一个平面.相交2.空间中直线间的位置关系

3.空间中直线、平面间的位置关系

图形语言符号语言公共点直线与平面相交

1个平行

0个在平面内

⑥______个无数

图形语言符号语言公共点平面与平面平行

⑦___个相交

无数个0续表

D

2.[多选]以下说法正确的是(

)

CD[解析]

对于A，直线也可能在平面内或与平面相交；对于B，两平面也可能相交；易知C，D正确.图13.[多选]如图1是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是(

)CD

图2

命题点1

平面的基本性质及应用

A

方法技巧1.证明点共线问题的常用方法基本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上.纳入直线法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法命题点2

空间两直线的位置关系

B

ABD

方法技巧1.[命题点1]到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(

)

C[解析]

当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥.当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1.令截面与三棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个.图1图2

A.&1&

B.&2&

C.&3&

D.&4&

BD

03空间直线、平面的平行课标要求命题点五年考情命题分析预测1.从立体几何的定义、4个基本事实和定理出发，认识和理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理.2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.线面平行的判定与性质本讲内容是高考命题的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用，题型既有选择题，也有解答题，难度中等.预计2024年高考命题稳定，但应注意与充分必要条件等知识的综合命题.面面平行的判定与性质课标要求命题点五年考情命题分析预测1.从立体几何的定义、4个基本事实和定理出发，认识和理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理.2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.平行关系的综合应用本讲内容是高考命题的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用，题型既有选择题，也有解答题，难度中等.预计2024年高考命题稳定，但应注意与充分必要条件等知识的综合命题.续表1.直线与直线平行

（2）等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.直线与平面平行的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线①______,那么该直线与此平面平行.简称：线线平行，则线面平行.

性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面③______，那么该直线与交线④_____.简称：线面平行，则线线平行.

平行

相交平行

3.平面与平面平行的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条⑥______直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.简称：线面平行，则面面平行.

性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条⑧__________.简称：面面平行，则线线平行.

相交交线平行规律总结平行关系中常用的6个结论1.垂直于同一条直线的两个平面平行.2.平行于同一平面的两个平面平行.3.垂直于同一平面的两条直线平行.4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.5.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.6.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

D

B

1命题点1

线面平行的判定与性质

A.&1&

B.&2&

C.&3&

D.&4&

A

方法技巧1.证明线线平行常用的方法（1）利用线面平行的性质定理.（2）利用面面平行的性质定理.（3）利用中位线，对应线段成比例，平行四边形性质等.2.证明直线与平面平行的常用方法（1）利用线面平行的判定定理.

命题点2

面面平行的判定与性质

B

命题点3

平行关系的综合应用

方法技巧平行关系的综合应用

04空间直线、平面的垂直课标要求命题点五年考情命题分析预测1.从立体几何的定义、4个基本事实和定理出发，认识和理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性线面垂直的判定与性质本讲内容是高考命题的重点，主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，不仅会单独命题，也经常应用于求课标要求命题点五年考情命题分析预测质定理与判定定理.2.能运用4个基本事实、定理和已获得的结论，证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.面面垂直的判定与性质解球的切、接问题以及建立空间直角坐标系前的线线垂直证明中，题型既有小题也有大题，难度中等.这里应特别注意证明空间线线、线面垂直关系时，灵活应用平行对垂直的转化作用.垂直关系的综合应用2022全国卷甲T18续表1.直线与直线垂直

（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条异面直线互相垂直.2.直线与平面垂直的判定与性质

任意一条（2）直线与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条②______直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

性质定理垂直于同一个平面的两条直线④______.

相交

平行

规律总结垂直关系中常用的6个结论（1）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）．（2）若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．（3）若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则这条直线与另一个平面也垂直.（4）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（5）三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.（6）三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.3.平面与平面垂直的判定与性质（1）平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是⑥__________，就说这两个平面互相垂直.直二面角（2）平面与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的⑦_____，那么这两个平面垂直.

性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的⑨______，那么这条直线与另一个平面垂直.

垂线交线

C2.[教材改编]下列命题中不正确的是(

)

A

命题点1

线面垂直的判定与性质

方法技巧1.证明线面垂直的常用方法

2.证明线线垂直的常用方法（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直；

（3）平面几何中常见的垂直，如直径所对的圆周角为直角，菱形对角线相互垂直等.3.证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．命题点2

面面垂直的判定与性质

A

方法技巧证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.

命题点3

垂直关系的综合应用

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

方法技巧

图1

图1

图2

05空间向量及其运算课标要求命题点命题分析预测1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置;借助特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.5.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.空间向量的基本定理该讲知识是利用空间向量求解立体几何问题的基础，主要用来求解平面的法向量，考查数学运算素养，一般不单独命题.空间向量的坐标运算1.空间向量的三个定理共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理

不共线

规律总结

A

B命题点1

空间向量的基本定理

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件A

ABC

命题点2

空间向量的坐标运算

BC

方法技巧空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类比推广.

06空间向量的应用课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.利用向量法证明平行与垂直问题该讲每年必考，主要通过建立空间直角坐标系运用向课标要求命题点五年考情命题分析预测2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理.求空间角量法求解线线角、线面角、面面角、空间距离等，方法比较固定，备考时注意对空间角与向量夹角关系的梳理.续表课标要求命题点五年考情命题分析预测4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.求空间角量法求解线线角、线面角、面面角、空间距离等，方法比较固定，备考时注意对空间角与向量夹角关系的梳理.求空间距离2022新高考卷Ⅰ19续表1.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量平面的法向量思维拓展确定平面法向量的方法（1）直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向量.

2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示

3.直线与平面所成的角

（3）最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角.射影

4.二面角与两个平面的夹角

半平面二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.二面角的平面角的取值范围是⑥______.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

5.利用向量法求空间角空间角求法注意事项异面直线所成角线面角两个平面的夹角

图1

图26.利用向量法求空间距离

1.下列说法正确的是(

)

C

C

B

命题点1

利用向量法证明平行与垂直问题

A

求证：

方法技巧1.利用空间向量证明平行问题的方法线线平行证明两条