行列式的基本性质

行列式的基本性质也就是:若则第2页,共51页，2024年2月25日，星期天(1).当位于第一行第一列的情形,即证明:

先证由定义,按第一行展开得(2).再证一般情形(第i行除外,其它元素全为零),此时第3页,共51页，2024年2月25日，星期天得第4页,共51页，2024年2月25日，星期天其中得第5页,共51页，2024年2月25日，星期天第6页,共51页，2024年2月25日，星期天于是证毕.

定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法或

证明:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和,再根据性质3,可将D

表示成n个行列式之和:第7页,共51页，2024年2月25日，星期天引理第8页,共51页，2024年2月25日，星期天证毕.同理,若按列证明,可得

推论.

行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明:

不妨设i＜j,考虑辅助行列式第9页,共51页，2024年2月25日，星期天←第i行←第j行其中第i行与第j行对应元素相同,又将按第j行展开,有于是得第10页,共51页，2024年2月25日，星期天上述证法按列进行,同理可得证毕.小结:关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成:第11页,共51页，2024年2月25日，星期天题设阶行列式求第一行各元素的代数余子式之和第12页,共51页，2024年2月25日，星期天例1.利用定理一计算前面的例1解:D第13页,共51页，2024年2月25日，星期天第14页,共51页，2024年2月25日，星期天例2.计算0000解:按第一行展开,有第15页,共51页，2024年2月25日，星期天第16页,共51页，2024年2月25日，星期天递推公式第17页,共51页，2024年2月25日，星期天(按第一行展开)记住这类解法!第18页,共51页，2024年2月25日，星期天例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:第19页,共51页，2024年2月25日，星期天关于范德蒙行列式注意两点形式——↓按升幂排列，形成等比数列,且从0次方开始；结果——共n(n-1)/2

项的乘积,可正可负可为零.对于范德蒙行列式,我们的任务就是：利用它计算行列式因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.第20页,共51页，2024年2月25日，星期天▋▋▋如第21页,共51页，2024年2月25日，星期天下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.因为第22页,共51页，2024年2月25日，星期天第23页,共51页，2024年2月25日，星期天按归纳法假设,有故第24页,共51页，2024年2月25日，星期天２利用范德蒙行列式计算例４计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。第25页,共51页，2024年2月25日，星期天解第26页,共51页，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第27页,共51页，2024年2月25日，星期天题：计算第28页,共51页，2024年2月25日，星期天７用数学归纳法例5证明第29页,共51页，2024年2月25日，星期天证对阶数n用数学归纳法第30页,共51页，2024年2月25日，星期天第31页,共51页，2024年2月25日，星期天评注第32页,共51页，2024年2月25日，星期天第33页,共51页，2024年2月25日，星期天计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结第34页,共51页，2024年2月25日，星期天§3克莱姆法则一、克莱姆法则二、齐次线性方程组有 非零解的充要条件第35页,共51页，2024年2月25日，星期天(14)定理二（克来姆法则）设线性方程组的系数行列式一、克莱姆法则(15)第36页,共51页，2024年2月25日，星期天则线性方程组(14)有唯一解:(16)其中(第i行)(第j列)第37页,共51页，2024年2月25日，星期天证明:先验证(16)是(14)的解,即验证:D≠0?按第1列展开按第2列展开按第n列展开因为(17)第38页,共51页，2024年2月25日，星期天由定理一及引理再证(14)只有一个解.000第39页,共51页，2024年2月25日，星期天将以上n个恒等式相加,就有第40页,共51页，2024年2月25日，星期天根据定理一及其推论,上式为证毕.第41页,共51页，2024年2月25日，星期天

用克莱姆法则解线性方程组时,必须具备两个条件:注意1.未知数个数=方程个数;2.系数行列式≠0.第42页,共51页，2024年2月25日，星期天例1.解线性方程组解:第43页,共51页，2024年2月25日，星期天又因为第44页,共51页，2024年2月25日，星期天第45页,共51页，2024年2月25日，星期天设线性方程组则称此方程组为

非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念第46页,共51页，2024年2月25日，星期天齐次线性方程组:(18)

定理三.

若齐次线性方程组(18)有非零解,则(18)的系数行列式D=0.证明:

反证.若D≠0,由克莱姆法则知(18)只有零解.矛盾!证毕.二、齐次线性方程组有非零解的充要条件第47页,共51页，2024年2月25日，星期天

註:

由定理三可知,方程组(18)的系数行列式D=0是方程组(18)有非零解的必要条件.在第四章将会看到,D=0也是齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件.

齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件是系数行列式D=0.说明:(1).D≠0(18)有唯一解,即零解.(3).(18)有非零解(有无穷多组解).综合上述,得到:(2).(18)有零解:第