第六章 弯曲变形

第六章弯曲变形DeformationsinBending

§6–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§6–3

按叠加原理求梁的挠度与转角§6–4

梁的刚度校核第六章弯曲变形

§6-1工程中的弯曲变形问题§6-5提高弯曲刚度的一些措施§6－１工程中的弯曲变形问题研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；

②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。叠板弹簧应有较大的变形,才可以更好地起缓冲减振作用.工程中弯曲变形的利用叠板弹簧1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用f表示。与f

同向为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用

表示，顺时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：

f=F(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量小变形PxvCqC1f挠曲线挠曲线必须是光滑和连续的，任意截面都有唯一的挠度和转角注意:

§6-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程----挠曲线近似微分方程。小变形对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分如何确定积分常数C1C2?2.确定积分常数的方法PABCPD

边界条件：

光滑连续条件：例：确定以下边界条件光滑连续条件:挠度、转角均唯一。分三段，AC，CD，DB，有6个积分常数边界条件：连续条件：光滑条件：fB

=0fc左=fc右fD左

=fD右例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程的积分并积分

应用位移边界条件求积分常数解：PLxf

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角xfPL解：

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程的积分并积分xfPLa例2求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

应用位移边界条件求积分常数PLaxf

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角PLaxf§6-3按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：例3按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、

载荷分解如图

由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。qqPP=+AAABBB

CaaqqPP=+AAABBB

Caa

叠加求:fB,(1)分解载荷（2）叠加例利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应的变形和相关量如图所示。FlllEIFABCDqB1FqC1wC1wC1qC1

2l直线wB1(a)qD1qB2wD1·FqD1BD直线wD1wB2(b)

对图a，可得C截面的挠度和转角为：由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）qB1FqC1wC1wC1qC1

2l直线wB1(a)对图b，可得D截面的挠度和转角为：同理可得此时B截面的挠度和转角为：（向下）（顺时针）qD1qB2wD1·FqD1BD直线wD1wB2(b)

将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）求梁C截面的转角和挠度例

结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf求：fc

刚化BC刚化AB(1)刚化BC(1)刚化AB例

由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面的挠度和转角以及D截面的挠度。解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂梁的叠加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。+AF=qa(c)qa2/2(d)图c中D截面的挠度和B截面的转角为：图d中D截面的挠度和B截面的转角为：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：

所以：原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：（向下）（顺时针）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCq

已知:阶梯形悬臂梁。BC段刚度为EI，AB段刚度为2EI，自由端C处作用集中力F。求C处挠度和转角.刚化BC刚化AB§6-4梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[

]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）

、设计载荷。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例

下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[

]=0.001弧度,试核此杆的刚度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：

结构变换，查表求简单

载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++图1图2图3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf

叠加求复杂载荷下的变形

校核刚度§6-5提高弯曲刚度的一些措施一、增大梁的抗弯刚度EI选择梁的合理截面一般的合理截面(1)在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面zDzaa(2)、根据材料特性选择截面形状sGz如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：zaa二、合理布置外力（包括支座），使M

max

尽可能小。PL/2L/2P=qLL/54L/5对称qLL/5qL/5qL/2L/2三改善结构形式,减少弯矩的数值四把集中力分散成分布力,也可以取得减少弯矩降低弯曲变形的效果.§6-6

简单超静定梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：

建立静定基

确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf

几何方程——变形协调方程+q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——变形与力的关系

补充方程

求解其它问题（反力、应力、变形等）

几何方程