高等数学同济课后答案

总习题一

1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：

(1)数列｛.%｝有界是数列｛4｝收敛的条件.数列｛4｝收敛是数列｛4｝有界的的条件.

(2次的在x0的某一去心邻域内有界是lim/(x)存在的条件.lim/(x)存在是段)在%0

X—>XoX—>x0

的某一去心邻域内有界的条件.

(3)/)在曲的某一去心邻域内无界是lim于(x)=8的条件.lim/(幻=8是段)在沏

的某一去心邻域内无界的条件.

(4求x)当xfx。时的右极限犬司+)及左极限兀6)都存在且相等是lim/(x)存在的条件.

解(1)必要，充分.

(2)必要，充分.

(3)必要，充分.

(4)充分必要.

2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：

设危)=2,+3*-2,则当x.0吐有().

(4)/0)与x是等价无穷小；与x同阶但非等价无穷小；

(QAx)是比x高阶的无穷小；(0/(x)是比x低阶的无穷小.

解因为lim1^=HmqW=lim止Ulim匕

10XXfoXx->0XA—>0X

=In21im—7~~~+ln3lim—--=In2+In3(令2'-1=八3-1=«).

rf01n(l+。〃f01n(l+〃)

所以Ax)与x同阶但非等价无穷小，故应选B.

3.设7U)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域：

⑴川)；

(2)/(Inx);

(3)/(arctanx);

(4)/(cosx).

解(1)由OMeWl得三0,即函数人d)的定义域为(-co,0].

(2)由(ElnKl得14力,即函数Jinx)的定义域为“㈤.

(3)由0VarctanxK1得0<.r<tan1,即函数/(arctanx)的定义域为[0,tan1].

⑷由0<cosx<l得2n7C—]<X<2〃"(72=0,±1,±2,•,,),

即函数Acos%)的定义域为[2〃乃一会，十5],(〃=0,±1,±2,-・).

4.设

0x<0.0x<0

/(x)=x>(rg⑴=

X-x2x>0

求加>)],g[g(x)],Hg(x)],g[f(x)].

0x<0

解因为yu)x),所以小u)ww=；

Xx>0

因为g(x)VO,所以g[g(x)]=O;

因为g(x)VO,所以.儿?(x)]=0；

0x<0

因为凡r)20,所以g[fl,x)]=-f\x)=

-x2x>0'

5.利用产sinx的图形作出下列函数的图形:

(l)y=lsinxl;

(2),y=sinkl;

(3)y=2si吟.

6.把半径为R的一圆形铁片，自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的

体积表为a的函数.

解设围成的圆锥的底半径为广，高为h,依题意有

RQ九一a)

R(2TZ^O)=2Ter,r=----------,

2兀

R2(2万一a)2_£4兀a—a1

h=d睦―72=

R2—-------o----=尺----Z-------.

47r2--------2%2万

圆锥的体积为

34兀2~2万

—R5(2乃一Q)2•J4万。—4、(0<a<27t).

24;产

7.根据函数极限的定义证明limx2-x~6=5.

13X—3

证明对于任意给定的£>0,要使I立专§-51<£,只需k-3kM取8=£,当0<k-3k<5时，就有

x-3

1X-3K.,即|上孝一5k£,所以lim立¥=5.

X—3x—3x—3

8.求下列极限：

2

⑴limx-x+l

x->ld)2

(2)limx(vx2+l-x)；

Xf+oc

⑶lim(善!产；

Xf82x+l

tanxsinr

(4)lim；

x->0%3

.Z7.VIkAIX1

(5)lin^(-----------C--)x(«>o,z?>o,c>o)；

(6)lim(sinx)tanA.

解(1)因为lim0=0,所以lim：~~：：1=QO.

22

X->1x-x+l11(x-l)

X(VX24-1-X)(A/X24-1+X)

(2)limx(Vx2+l-x)=lim

X-»+COX->4-00(JT+I+X)

=lim/x—=lim।.

一位J/+i+xi用J+W+i2

(3)lim(竺玲川二］im(l+——产=1而(1+晨一)理马

XT82x4-1XT82x+lXT82x+l

72和191

=lim(l+-^-)2(l+-^-)2

Xf82x+l2x+l

72K+171

=lim(l+-^-)2.1加(1+$)2=e.

x-»82x+lx->002x4-1

⑷lim里叱茶叱=所sn*(畸I。=皿si2邛二竺也

x->0x510XTx->0x5COSX

22

sinx-2sin^2x-(^-)1

=lim-----z-------=lim-----—=—

X—OX^COSX10炉2

(提示：用等价无穷小换).

X,lXiX1xxx3

n1ra+b+c-3^ax+bx+cx-33x，因为

叫邮吧。+3

3

谈+万+优―3xxx

^a+b+c-3=e

㈣(1+3

。'+扰+。'-3

lim

Xf03x

■^■[Intzlim—--4-ln/?lim-—--+lnclim—~~-]

3/->oln(l+r)«->oln(l+w)v->oln(l+v)

=g(lna+lnO+lnc)=ln血力c,

所以1吗(“+；+。户=*%而=y/ahc.

提示：求极限过程中作了变换"-1乜"-1R.

...------(sinx-l)tanx

(6)hm(smx产”=hm[1+(sinx-1)]sinx-i,因为

22

lim[l+(sinx-l)]sin.i=e,

[./.八,「sinx(sinx-l)

lim(sinx-l)tanx=lim------------

X”XT工COSX

2

=limsinx(sinx-l)^_—sinxcosx=。,

XT匹cosx(sinx+l)江sinx+1

22

所以lim(sinx)tanv=e°=l.

X*

xsinlx>0

9.设/(])={'X，要使/U)在(T»,y)内连续，应怎样选择数a?

a+x2x<0

解要使函数连续，必须使函数在x=0处连续.

因为

人0)/lim/(x)=lim(a+x2)=a,lim/(x)=limxsin-=0,

10-10-.10+.30+x

所以当a=0时,/)在x=0处连续.因此选取a=0时,/)在(-8,+8)内连续.

"J_

10.设/。)=在1x>°,求五X)的间断点，并说明间断点所属类形.

ln(l+x)-l<x<0

解因为函数«r)在x=l处无定义，所以是函数的一个间断点.

-----I

因为lim/(x)=lime-=0(提示lim——-=-oo),

x-x—x->1X—1

--1

limf(x)=limex~l=8(提示lim——-=+oo),

x-*l+x->l+x—>1+X—1

所以X=1是函数的第二类间断点.

------1

又因为lim/(x)=limln(x+l)=0,limf(x)=limex~l=—,

x->0-x—CTxf0+JC->0+e

所以x=0也是函数的间断点，且为第一类间断点.

11.证明lim(」~/1+…+/1)=1.

〃T8J〃2+]J〃2+2y/n2+n

证明因为〃4/1+/1+…+/1)<,/},且

yjn2+n>/川+1J-2+2VH2+H

所以limf-/1T—］1+,,•4—/1）—1.

J〃2+］J〃2+2

12.证明方程sinx+x+l=0在开区间（W）内至少有一个根.

证明设兀v）=sinx+x+l,则函数Ax）在［一段,5］上连续.

因为/（—多=一1—尹1=后，/（春）=1+A1=2+泉/（—春）./（3<0,

乙乙乙乙乙乙乙乙

所以由零点定理，在区间（一停,5）内至少存在一点［使A@=o.

这说明方程sinx+x+l=0在开区间（一长,会）内至少有一个根.

13.如果存在直线L:y=kx+b,使得当X-KO（或xf+=o,x->-8）时，曲线产於）上的动点M（x,y）到直线L

的距离或MDf0,则称L为曲线）Mx）的渐近线.当直线L的斜率后0时，称L为斜渐近线.

（I）证明：直线L-.y=kx+b为曲线,Mx）的渐近线的充分必要条件是

k=蚂咤，b=lim[f^-kx].

(xfgXfF)(X-»+00,Xf-<X>)

1

（2）求曲线y=（2x-l）e、的斜渐近线.

证明（I）仅就Xf8的情况进行证明.

按渐近线的定义,y=kx+b是曲线），J（x）的渐近线的充要条件是

lim[/(x)-(fcx+^)]=O.

Xf8

必要性：设广履+b是曲线闫U)的渐近线，则lim"(x)-(履+。)]=0,

于是有limx[-^—k—2]=0=lim^--k=0=k=lim,

xf8XXX->CCXXf8X

同时有hm[f\x)-kx-b]=O^b=\im[f(<x)-kx].

X->OCX->8

充分性：如果k=lim以2，Z?=lim"(x)-kx],则

x-8Xx—>OC

hm[f(x)-(kx+b)]=\im[f(x)-kx-b]=hm[f(x')-kx]-b=b-b=Q,

Xfoox—>00x-»co

因此是曲线yMx)的渐近线.

(2)因为k=lim—=lim空』=2,

x->ooxx->oox

b=hm[y-2x]=lim[(2x-l)^-2x]=21imx(^-l)-l=21im—J~~-1=1,

A->COA->00Xfoof->0ln(l+z)

1

所以曲线y=(2x—l)ex的斜渐近线为产2%+i.

总习题二

1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：

（I求x）在点Xo可导是4r）在点Xo连续的条件.凡丫）在点Xo连续是Ax）在点Xo可导的

____________条件.

（2）_/（x）在点xo的左导数户，（X。）及右导数介〈X。）都存在且相等是J（x）在点与可导的条件.

（3）式x）在点xo可导是/（x）在点的可微的条件.

解（1）充分，必要.

（2）充分必要.

（3）充分必要.

2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论：

设犬x）在x=a的某个邻域内有定义，则兀0在x=a处可导的一个充分条件是（）.

..1X》..f（a+2h）-f（a+h'）

⑷hm/?"（〃+丁）一/（。）］存在；（8）hm〃----铝］——存在；

/?—+<»n/?->oh

（Olim^---匕八-----存在；（。）hm7v,------存在.

『02/?/?->oh

解正确结论是D.

提示：Hm一9+一寸⑷(f

2。hhfO-hAtfOAx

3.设有•根细棒，取棒的，端作为原点，棒上任•点的做标工为，于是分布在区间［O,x］上细棒的质量

，〃是x的函数〃z=〃?(x),应怎样确定细棒在点沏处的线密度(对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这

细棒的线密度)？

解△/77=W?(X()+Ax)-〃2。0).

在区间［沏,沏+以］上的平均线密度为

-Amm(xQ+\x)-m{xQ)

°F一Ar

于是，在点与处的线密度为

m(x()+Ar)-m(x)

p-lim纭1=lim()=m<Xo).

-AxAA—>oAx

4.根据导数的定义，求/(x)=上的导数.

X

1___1

解y，=lim上应」二lim—上—=lim_=1_=」

AxfOAxADAX(X+AA•口Aso(x+Ax)xXz

5.求下列函数«v)的<(0)及//(O),又/(0)是否存在？

sinxx<Q

“)/(%)=

ln(l+x)x>0;

⑵/(X)=l+e；

0x=0

解⑴因为E(0)=lim"x)_*=lim®二。=],

XT。-X—0XT。-X

X

力(0)=lim)(x)-'=iiln(l+x)-0

mlimln(l+x)A=lne=l,

+10+x-0x->0+X10+

而且£(0)=&(0),所以尸(0)存在，且((0)=1.

-^-0

⑵因为£(())=%皆泮1+打

=lim八lim-----r=l，

x-»0-x-0XTO-1

l+ex

-^y-0

力(0)=lim"')—，(■=lim任姓一=lim」T=0,

XT0+X-0XTO+X-010+1

l+0i

而£(0)工片(0),所以广(0)不存在.

6.讨论函数

f.1n

rz、xsin—xw()

0x=0

在40处的连续性与可导性.

解因为｛0)=0,lim/(x)=limxsin-=O=f(0),所以")在x=o处连续;

x->0x-0X

xsi・n——10n

因为极限lim/x=limsinL不存在，所以凡r)在x=o处不可导.

A->0xx-0Xxfox

7.求卜.列函数的导数：

(1))=arcsin(sinx);

1-4-r

(2)y=arctan-----；

1-x

(3)y=lntan-^--cosx4ntanx；

(4)y=ln(e，+Jl+，x)；

(5)y=y[x(x>0).

解⑴y'=/1・(sinx)'=r1・cosx=|COSx

Vl-sin2xvl-sin2xIcosxl

⑵v，=!____(1±A)，=!_____(l-x)+(l+x)=1

1+(1+3)2i~X]।(1+与2(1-尤)2l+X?

1~X\—x

11

(3)yf=-------(tanx—)r+sin"ntanx-cosx--------(tanx)’

'tan3213nx

2

--——sec?三2+sinx・lntanx-cosx•―--sec2x=sinxlntanx.

t呜22-x

⑷y'=71玄•e+k)'=^卡五塞/=言.

(5)Iny=—Inx,——^-lnx+—,yf=yfx{—Irlnxd■-Inx).

xyxzxxxlxLxL

8.求下列函数的二阶导数:

(l)y=cos2jInx;

⑵尸立

解2

(1)y'=-2cosxsinx・lnx+cos2x.-l=_sjn2x-lnx+cosx~,

xx

y=-2cos2x-lnx-sin2x--2cosxsinx--cos2

x“xxz

2

=-2cos2x*lnx-2sin2xcosx

xX2

y/l-x2-X•--X—

Z_3

⑵六一=(1-X2)~2

l-xz

23X

/=-^(1-X)~2.(-2X)=.

9.求下列函数的〃阶导数:

⑴尸蚯77;

⑵尸缶

___j_

解(l)y=Wl+x=(l+x)m,

1J--111-1--2'w=—(--1)(—-2)(l+x)^-3

y=-L(i+x)〃？，y〃=J_(_L_D(i+xy〃，

mmmymmm

1111J__n

y(,,)=—(—-1)(--2)---(--n+l)(l+x)">

tnmmm

(”卅1+3,

y=2(-l)(I+x『,)，"=2(-1)(-2)(I+x)-3,y»=2(-D(-2)(-3)(l+工―,…,

严)=2(—1)(—2)(-3)…)(1+x)-("i)=；二皆

10.设函数y=y(x)|137TSey+xy=e所确定，求)"(0).

解方程两边求导得

/'y'+)，+盯'=0,----(1)

于是

―_X+/'

)•，=y'(x+e')-y(l+e'¥)

.—(2)

x+ey~(x+e)')2

当x=0时，由原方程得)，(0)=1,由⑴式得y'(0)=-L由⑵式得y"(0)=4.

eeL

11.求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数半及二阶导数嗅：

axdxL

x=aco^0

(DI

y=asin30'

x=lnJ1+产

y=arctanr

解⑴半=如噌」型变改_=—tan。

dx3cos3。)3acos2^(-sin

续=上坦纥=re*jsec，夕esc，

dx2(acos3^)-3acos?Osin。3a

1

dy_(arctan/)，_]+,_]

1+t2

Uy1

两=掌¥=1+1

dx1[lnjl+产了.J_/

1+r2

y—?0t

12.求曲线,,在Z=o相的点处的切线方程及法线方程.

y=e~>

“峰—d:y——-(-<--?----'-)-'------e-----'-——-----1---

dx(2er)'2e'2e^

当f=0时，半=-《，x=2,y=l.

dx2

所求切线的方程为>一1=一"(％—2),即x+2y-4=0;

所求法线的方程为y-l=2(x-2).

13.甲船以6km/h的速率向东行驶，乙船以8km/h的速率向南行驶，在中午十二点正，乙船位于甲船

之北16km处.问下午一点正两船相离的速率为多少？

解设从中午十二点开始，经过，小时，两船之间的距离为S,则有

§2=(16-8产+(6产,

2s华=-16(16-8/)+7%,

at

dS=—16(16—8/)+72/

~dt~2S,

当日时,s=io,

^1=^28£72=_2.

cltl/=i20

即下午一点正两船相离的速度为-2.8km/h.

14.利用函数的微分代替函数的增量求VT瓦'的近似值.

解设f(x)=y[x,则有/(1+Ar)-/(1)«/,(1)AX=1AX,或于是

VT02=Vl+0.02=l+|-0.02=1.007.

15.已知单摆的振动周期T=2肛P-,其中g=980cm/s2,/为摆长(单位为cm).设原摆长为20cm,为

使周期T增大0.05s,摆长约需加长多少？

解因为AT~dT——•AZ/,

而

所以△八吗巫k20=2.23(cm),

即摆长约需加长2.23cm.

总习题三

I.填空：

Y

设常数心>0,函数/(x)=lnx——+左在(0,+oo)内零点的个数为.

e

解应填写2.

提示：f"(x)=--^.

Xe丁

在(o,+8)内，令/a)=o,得唯一驻点大日.

x

因为/〃a)<0,所以曲线/(x)=lnx--+女在(0,+8)内是凸的，且驻点一定是最大值点，最大值

e

为人e)M〉0.

又因为lim/(x)=-oo,lim/(x)=-oo,所以曲线经过x轴两次，即零点的个数为2.

XT40Xf+OO

2.选择以下题中给出的四个结论中一•个正确的结论：

设在［0,1］上广。)>0,则广(0),广⑴,4190)或式OHU)几个数的大小顺序为().

(A)广⑴T'(0)/1)/0)；(By，⑴/1)/0)旷(0);

-i)-o)k'⑴k'(o);⑴次o)d1)k'(o)・

解选择5.

提示：因为/”(x)>0,所以;(x)在［0,1］上单调增加,从而广⑴寸⑴歹⑼.

又由拉格朗日中值定理，有式DdOHrdge。1］,所以

-DTW(O).

3.列举一个函数应()满足:£v)在［a,b］L连续,在(a,6)内除某一点外处处可导,但在(“,与内不存在点以

使加)T(a)y'©S-a).

解取K0=Ld,xe［-l,1］.

易知人x)在［-1,I］上连续，且当x>0时;(x)=l;当x>0时/(x)=-l;r(0)不存在，即危)在［-1,1］上除%=0

外处处可导.

注意川)/-1)=0,所以要使川)成立，即广(臾0,是不可能的.

因此在(-1,1)内不存在点使用)比-1)m

4.设lim/'(x)=k,求lim［/(x+a)-/(x)］.

x—>8X—>8

解根据拉格朗日中值公式,介于x+a与X之间.

当XfCO时，彳―8,于是

lim［/(x+a)-/(x)］=lim-a=alimf'(^)=ak.

XTOOXTOO岁TOO

5.证明多项式/(x)=/-3x+a在［0,1］上不可能有两个零点.

证明/(x)=3『-3=3(/-l),因为当xe(0,1)时,/(x)<0,所以/(x)在［0.1］上单调减少.因此，犬x)在［0,

1］上至多有一-个零点.

6.®6Z+—+•-•+—=0,证明多项式式x)=ao+a|X+-一+aX在(0,1)内至少有一个零点.

02〃+1

证明设厂+…+&_炉+1,则尸(X)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且

2n+\

£(0)=F(l)=0.由罗尔定理，在(0,1)内至少有一个点久使F«)=0・而尸所以«v)在(0,1)内至少有

一个零点.

7.设贝x)在［0,0上连续，在(0,a)内可导，且｛a)=0,证明存在一点矣(0,a),使

一乡+―=0.

证明设尸(x)=MU),则F(x)在［0,a］上连续,在(0,a)内可导,且F(O)=F(a)=O.由罗尔定理，在(0,a)内

至少有一个点4,使广代)=0.而尸(xh/(x)+x/(x),所以五。+歹，©=0.

8.设0<“4函数Ax)在［a,句上连续，在(a,6)内可导，试利用柯西中值定理,证明存在一点生(a,b)使

a

证明对于_/U)和1nx在［a,上用柯西中值定理，有

\nb-lna

即“a)-f(b)=/4)ln2,矢伍㈤.

a

9.设yw、g(x)都是可导函数，且『'a)ivg'a),证明：当心*〃时,!/a)M〃)ivg(x)-g(a).

证明由条件jT(x)kg'(x)得知，且有g'(x)>O,g(x)是单调增加的，当x>a时,

/(打

g(x)>g(a).

因为/a)、ga)都是可导函数，所以/a)、ga)在立灯上连续，在(。,月内可导，根据柯西中值定理，至

/(口)-/(〃)_/@

少存在一点表(a,x),使

g(x)-g(a)g'(。)

因此与⑷.

g(x)-g(a)|g6)|

10.求下列极限:

(l)lim”―一

n1-x+lnx

(2)lim[———--];

XTOln(l+x)x

2

(3)lim(—arctanxr).

Xf+OCJi

111

(4)lim[(aJ+…+若)/〃产(其中…，%>O),

A->00

xv

解(1)(x7=(e(jnx+1)=x(Inx+1).

..x-xx..(x-xxy..l-x'(lnx4-l)「1(lnx+1)

lim-------------=hm-----------------=lim-------------------=lim----------------------

nl-x+lnxxf।(l-x+lnx)'xfi11xf1-x

-n—

x

l-xx+'(lnx+l+-)(lnx+l)-xv

=lim-------------------------------------------=2.

Xfi-1

1--—

13=limgnQ+x)1l+x

(2)lim[=lim

z

ioln(l+x)xXTOxln(l+x)io[xln(14-x)].v->0ln(l+x)+-X

1+x

=lim-----------------------=lim-------------------=—

xfO(l+x)ln(l+/)+xx-^oln(l+x)+14-l2

2^(Inarctanx+ln—)

(3)lim(—arctanx)A=lime”

XT+8JIXT+8

因为

2,11

r(lnarctanx+ln—)------------------+

limx(lnarctanx+In—)=lim----------------------=lima】ctanx|+”

XT+OOJIXf+<»(1)，XT+001

XX2

所以

2

2x(lnarctanx+ln—)

lim(—arctanx)A=lime，=e

X->+8JIX-

•L_11111

(4)令y=[3J+•••+〃；)/〃]"".则Iny=〃R[ln(〃J+〃$+•••+〃；)一ln〃],因为

JL11

叩n(〃『+以+•••+〃,：)…〃]

limlny=lim-----------------------------------------

XT8A-40OI

X

n•—j---j---------In%+4”na2+3+ajlna“>(一)'

=hm——!---=--------------------------------------------------

i(-)-

X

=lnQ］+Ina2+'•+ln%=ln(a「a2•一%).

111

x

即limInyTnQg…斯)，从而lim［(a1+〃£+…+〃,：)/川〃'=limy=a}-a1'-an.

.r—>oo*—>oo.v—>oo

11.证明下列不等式：

(1)当0<再工时，tanX->—;

2tanx1%1

(2)：当x>0时，ln(l+x)>-------.

1+x

证明(l)^/(x)=—,X€(0,-).

x2

2

E“…、xsecx-tanxx-tanx八

因为f(x)=-------2------>———>0,

XX

TTTT

所以在(0,5)内外)为单调增加的.因此当0</<12<］时有］

tanXj<tan%2即tanx2〉工2

%)x2tanxjXj

(2)要证(1+x)ln(1+x)>arctanx,即证(1+x)ln(1+x)-arctanx>0.

设/U)=(l+x)ln(l+x)-arctanx,则/(x)在［0,+8)上连续，/'(x)=ln(l+x)---二.

1+厂

因为当心>0时,ln(l+x)>0,1——二>。，所以在［0,+8)上单调增加.

l+x2

因此，当心>0时,40»(0),而次0)=0,从而小AO,HP(1+.x)ln(1+x)-arctanx>0.

r2xY>0

12.设/口)=《'，求/)的极值.

x+2x<0

解40是函数的间断点.

当x<0时，/(x)=l;当x>0时/a)=2x2'(lnx+1).

令尸(x)=0,得函数的驻点工=」.

e

列表：

£A

Xy,o)0(0.-)(一,+00)

eee

f'(x)+不存在-0+

2

/2极大值/

ee极小值

函数的极大值为"0)=2,极小值为f(-)=e~.

e

13.求椭圆+)，=3上纵坐标最大和最小的点.

解2x-y-xy'+2yy'=O,y'=^—^-.当时,y=0.

x-2y2-

将X=gy代入椭圆方程，得;y2-gy2+y2=3,y=±2.

于是得驻点4-1,x=l.因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在，且在驻点处取得，又当x=-i时，y

=-2,当x=l时,y=2,所以纵坐标最大和最小的点分别为(1,2)和(-1,-2).

14.求数列｛折;｝的最大项.

解4,f{x]-y[x=Xx(X>0),则

Inf(x)=—\nx,

x

.八―T(l』x)

fM

f'(x)=xx(1-lnx).

令/(1)=0,得唯一驻点x=e.

因为当0<x<e吐尸(x)>0;当x>e时,尸。)<0,所以唯•驻点『为最大值点.

因此所求最大项为max(V2,V3｝=V3.

15.曲线弧尸inx(0o<4)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.

解yr=cosx,>,,z=-sinx,

(l+y'2严(l+cos2x)3/2

p=---:------(0<%〈初

y\yn\sinx

(l+cos2x)2(-2cosxsinx)sinx-(l+cos2x)2cosx

,=2_________________________________

sin2x

-(l+cos2x)2cosx(3sin2x+cos2x+l)

sin2x

在(0,乃)内，令4=0、得驻点X=”

2

TTTTTT

因为当0cxe—时，“<0;当一<x<乃时，”>0,所以x=—是P的极小值点，同时也是/?的最小值点,

222

(1+cos2-)3/2

最小值为p-------------=1.

.71

sin—

2

16.证明方程/_5尸2=0只有一个正根.并求此正根的近似值，使精确到本世纪末103

解设/(X)=X3_5X-2,则

f3=3/-5J〃a)=6x.

当x>0时，/〃@>0,所以在(0,+8)内曲线是凹的，又式0)=-2,lim(x3-x-2)=+oo,所以在(0,+oo)

内方程?-5x-2=0只能有一个根.

(求根的近似值略)

17.设/”(即)存在，证明limJ史/7)+」(xy/二2/(勺)=1,()

6—0h2

证明]im/(/+")+。(/j)-2/(x。)1(与+仆尸(/i)

力一>002a-。2h

lfXx+h)-f\x-h)

=­lrim-----Q-----------0----

2万foh

1[fXxo+h)-f'(Xo)]+[f(Xo)-f\xo-h)]

2oh

+丛中^得八丈。)+小。)]=1°).

2ohh2

18.设产也)存在,且〃即用'(沏)=…歹叱崂=0,证明/)R[(xf/]afo).

证明因为

八X)।

34(工一工0)〃Xfo"0—冗0)〃।

=lim-----------———=•••=lim------

M2

f°n(n-l)(x-x0)~f。H!(X-X0)

_1lim/""⑴-尸？％)-1心()-0

一一；urn--------------------