几个函数模型的比较高一数学教学课件（2019）3（完整版）2

8.2.1几个函数模型的比较

学习目标1.掌握常见增函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质．3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．复习引入问题1.我们学习了哪些基本函数?这些函数的图象是怎样的?在解决实际问题时,你如何选择函数模型?一次函数：二次函数：指数函数：对数函数：幂函数：图象为直线,有单增单减两种情况.图象为抛物线,有增减两区间.图象为过定点的曲线,有单增单减两种情况.图象为过定点的曲线,有单增单减两种情况.图象为直线或曲线,正指数幂在[0,+∞)上是增函数.如何选择函数模型来刻画实际问题,我们举例说明.三角函数：图象为周期曲线.合作探究例1.某人有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供选择,这三种投资方案的回报如下:方案一:每天回报40元;

方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;

方案三:第一天回报0.4元,以后每天回报比前一天翻一番.

请问:选择哪种投资方案收益最好?解:设第x

天所得回报为

y元,方案一:y=40

(xN*),方案二:y=0.42x-1(xN*).方案三:y=10x

(xN*),三种方案中,方案一无增长,若投资5天以下,方案一的每天收益最大;若投资5~8天,方案二的每天收益最大;若投资8天以上,方案三最好.画图象观察.增长最快的是方案三,51.2204.81090102.4401051xyo84y=40y=10xy=0.42x-1方案1方案2方案3合作探究例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?解:在奖励模型中,其定义域为{x|10≤x≤1000}.按要求,三个函数的最大值不能超过5万元,同时,y又不能超过x

的25%.三个函数在[10,1000]上都是增函数,其最大值分别是:y1=0.251000=250(万元),y2=log71000+1≈4.55(万元),y3=1.0021000≈7.37(万元).只有第二个函数y=log7x+1符合第一条要求.合作探究例2.

某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?解:在奖励模型中,其定义域为{x|10≤x≤1000}.按要求,三函数的最大值不能超过5万元,同时,y又不能超过x

的25%.三函数在[10,1000]上都是增函数,其最大值分别是:y1=0.251000=250(万元),y2=log71000+1≈4.55(万元),y3=1.0021000≈7.37(万元).只有第二个函数y=log7x+1符合第一条要求.再看函数y=log7x+1是否满足第二个条:y≤25%x,即log7x+1≤25%x,

log7x≤0.25x-1,log7x和0.25x-1都是增函数,如图:x102004006008001000yo1.51.182.373.55y=log7xy=0.25x-124在[10,1000]内,log7x≤0.25x-1成立.∴模型y=log7x+1符合要求.100合作探究在[10,1000]内,最大值不能超过5万元,①y不能超过x

的25%,用计算器算得

y=log71000+1≈4.55<5,y=1.0021000≈7.37>5,∴

y=log7x+1符合条件.另解:利用几何画板画出三个函数的图象进行分析.即

y≤0.25x,②很明显,y=0.25x

不满足①.用计算器算得y=1.002x

不满足①.指数函数随着x

的增大增长速度很快,10y=log7x+1是增函数,且在[10,1000]内log7x+1<0.25x.合作探究

上述例子中,我们接触到了常数函数y=40,一次函数y=10x,y=0.25x-1,指数函数y=0.410x,y=1.002x,对数函数y=log7x.

这些函数中增长最快的是指数函数,增长最慢的是对数函数,常函数没有增长.

应用函数的图象,通过分析函数的增长速度,函数的值域等来选择函数模型.合作探究问题2.我们学过的几种基本函数,当它们同时是增函数时,它们的增长快慢如何?如y=2x,y=x2,y=2x,y=log2x,当x>0时,随着x的增大,各函数y的增长速度如何?xyo1234567812345678-1-2-3-4y=2xy=x2y=2xy=log2x增长速度最慢的是:对数函数.增长速度最快的是:指数函数.幂函数y=x2

与一次函数y=2x比较:尽管开始时,y=x2的增长不如y=2x,但到某个数以后,y=x2

的增长速度比y=2x

快得多.指数函数y=2x

与幂函数y=x2也是如此.合作探究一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn

(n>0),在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内,ax会小于xn,但ax增长快于xn,总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.同样地,对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,随着x

的增大,logax增长越来越慢.尽管在x

的一定范围内,logax

可能会大于xn,但总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn.合作探究特例如图:xyox32xlog2x125512100012313225610242048581011y=x3y=2xy=log2xx5810113225610242048125512100012312.3233.323.461指数函数y

=2x幂函数y

=

x3对数函数y

=log2x随着x

的增大,2x的图象几乎垂直向上,增速很大.合作探究

在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1ex-100,x

[1,10];(2)y=20lnx+100,x

[1,10];(3)y=20x,x

[1,10].x147100.1ex-100-99.7-94.59.72102.620lnx+100100127.7138.9146.120x2080140200xyo1234562078910406080100120140160180200-20-40-60-80-100y=0.1ex-100y=20lnx+100y=20x在[1,5],一次函数y=20x在[5,10],指数型函数增长最快,y=0.1ex-100增长最快.合作探究

在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1ex-100,x

[1,10];(2)y=20lnx+100,x

[1,10];(3)y=20x,x

[1,10].xyo1234562078910406080100120140160180200-20-40-60-80-100y=0.1ex-100y=20lnx+100y=20x约在x<7时,y=20lnx+100最大.约在7<x<7.8时,y=20x最大.约在x>7.8时,y=0.1ex-100

最大.x147100.1ex-100-99.7-94.59.72102.620lnx+100100127.7138.9146.120x2080140200合作探究几种函数模型的增长特点(1)各自特点:xyo1234567812345678-1-2-3-4y=2xy=x2y=2xy=log2x①指数函数和二次幂函数先慢后快.②一次函数均匀增长.③对数函数先快后慢.合作探究几种函数模型的增长特点(2)相互比较:xyo1234567812345678-1-2-3-4y=2xy=x2y=2xy=log2x①x

很小时,对数函数增速最快,但是负值.②x很小时,直线快于③x

较小时,幂函数快幂函数和指数函数.于指数函数.④x

增大到一定数值时,指数函数最快,对数函数最慢.“直线上升,指数爆炸,对数增长.”课堂达标1.四个变量y1、y2、y3、y4

随变量x

变化的数据如下表:关于x

呈指数型函数变化的变量是

.x051015202530y151305051130200531304505y2594.478