专题5四边形中的将军饮马模型八年级数学下册聚焦课本培优专题训练讲义（原卷版）

专题5四边形中的将军饮马模型型专题5四边形中的将军饮马模型型知识梳理知识梳理“将军饮马”问题是一个经典的数学问题，它涉及到了几何学中的最短路径问题。这个问题的背景是：古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从A地出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。

“将军饮马”模型问题是我们解决最值问题最基本的模型。这个问题可以通过轴对称来处理最短距离问题，在此轴对称是工具，最短距离是题中的题眼，通过轴对称“化折为直”，再利用“两点之间线段最短”来达到问题的解决。“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中出现，而且大多以压轴题的形式出现。模型分析模型一：将军饮马模型模型分析将军饮马模型概念：“将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题。解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折对称。解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。解题思路：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。口诀：同侧两点做对称，异侧两点直接连，若求线段差最大，处理方法刚好反，若用一句来总结，何必两侧差同边。模型展示模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）模型展示【模型解读】两点一线之点A、B在直线异侧：（1）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？【模型解析】解：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：法一：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.法二：假设点P不在AB与l的交点上，此时由三角形三边关系可得，而当A、P、B三点共线时，PA＋PB＝AB，∴当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小.【模型解读】两点一线之点A、B再直线同侧:（2）如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？【模型解析】解：【分析】和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：∵点A与A’始终关于直线l对称，∴PA＋PB的长度可转化为PA’＋PB的长度，由1中的结论可得当A’、P、B三点共线时，PA’＋PB的值最小，即为A’B的长度.【最值原理】两点之间线段最短。模型2.求多条线段和（周长）最小值【模型解读】一定两动之两个点都在直线上：（3）如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？【模型解析】构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示： 【模型解读】一定两动之一个点在直线上，一个点在直线外：（4）如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？【模型解析】构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.【模型解读】两定两动之两个点都在直线内侧：（5）如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？【模型解析】构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：【模型解读】两定两动之台球两次碰壁模型（6）已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.【模型解析】构图：分别作点A、B关于n、m的对称点A’、B’，连接A’B’分别交n、m于点D、E，此时四边形ADBE的周长最小值为AB＋A’B’，如图所示：【最值原理】两点之间线段最短。模型3.求两条线段差最大值【模型解读】两点一线之点A、B在直线m同侧：（7）如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？【模型解析】解：连接AB并延长，交直线l的交点即为点P；证明如下：如图，P'为l上异于P的一点，连接P'A、P'B，在△ABP'中，由三角形的三边关系得：|P'A﹣P'B|＜AB，∵PA﹣PB＝AB，∴|P'A﹣P'B|＜|PA＝PB|，∴当A、B、P三点共线时，|PA﹣PB|的值最大．【模型解读】两点一线之点A、B在直线m异侧：（8）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？【模型解析】构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：【最值原理】在三角形中两边之差小于第三边.【模型解读】两点一线之点A、B在直线m同侧：（9）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？【模型解析】构图：连接AB，作线段AB的垂直平分线与直线的交点即为点P，如图所示：【最值原理】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.经典例题经典例题精析【经典例题】问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为；（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）模型分析模型二.将军遛马模型分析图形特征：两定两动。基本策略：同侧化异侧、折线化直线。基本方法：N个动点N条河，N次对称跑不脱。基本原理：两点之间线段最短解题关键：根据结论抓点、线。模型三.造桥选址图形特征：两定两动。基本策略：同侧化异侧、折线化直线。基本方法：将一定点沿定长方向平移定长距离，再用将军饮马模型解决问题。基本原理：两点之间线段最短解题关键：根据结论抓点、线。模型展示模型二：将军遛马模型模型展示【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】两定两动点A、B在直线m异侧：（1）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)【模型解析】如图，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。如图所示：【模型解读】两定两动点A、B在直线m同侧：（2）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)【模型解析】如图，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。如图所示：【最值原理】两点之间线段最短。模型三：将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】两定两动一座桥已知，如图，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？【模型解析】考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图1）．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图2）．如图所示：图1图2【模型解读】两定两动两座桥（4）已知，如图，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？【模型解析】考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'（如图5）．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置（如图6）．如图所示：图5图6【最值原理】两点之间线段最短。经典例题经典例题精析【经典例题】（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．（2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．（3）如图③，在正方形中，，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是．

典型典型例题例1、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．130°例2、已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．例3、如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是(

)A． B． C． D．例4、如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为．例5、如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．例6、如图，矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是．例7、菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．例8、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．（1）求证：BD垂直平分AC；（2）求BE的长；（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为（直接写出结果）．例9、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．例10、如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是。例11、李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀《古从军行》，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小．【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．【模型应用】问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是．问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．（1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出点的坐标；（2）请直接写出的最小值．【模型迁移】问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值．例12、如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD=2，则PE+PB的最小值为（A．22 B．23 C．10 例13、如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________课后专题练课后专题练练1、如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（

）A．2 B．3 C．2 D．1练2、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5练3、如图，五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的周长的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．5练4、如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为。练5、如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分别是AD、BC边上的动点，且∠ABC=∠MNB=60°，则BM+MN+ND的最小值是．练6、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足,则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为。练7、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PF−PE的最大值为．练8、如图，正方形ABCD中，点G是BC边上一定点，点E、F、H分别是边AD、AB、CD上的动点，若CG=14BC=1，则四边形EFGH的周长最小时练9、在▱ABCD中，AB⊥AC，点E在边AD上，连接BE．

(1)如图1，AC交BE于点G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=4，请求出四边形(2)如图2，点F在对角线AC上，且AF=AB，连接BF，过点F作FH⊥BE于点H，连接AH，求证：HF+2(3)如图3，线段PQ在线段BE上运动，点R在BC上，连接CQ，PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=3练10、如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．(1)当点P是的中点时，求证：；(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．练11、如图，在矩形中，，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终经过矩形的对称中心，则周长的最小值为．练12、如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．练13、【问题提出】（1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一