电工电子技术基础 王慧丽 第2版 课件 第2章 正弦交流电路

第2章正弦交流电路（1）2.1正弦交流电路的基本概念2.1.1正弦交流电的三要素2.1.2正弦交流电的相量表示法2.2单相交流电路2.2.1单一元件的正弦交流电路2.2.2RLC串联电路2.2.3日光灯电路分析2.1正弦交流电的基本概念2.1.1

正弦量的三要素

一、正弦量

大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流和电动势统称为正弦量。

正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号。

当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号。i=Iｍsin(ωt+

)

其波形如图

ti

mI

T从表达式可以看出,当Im、T、

确定后,正弦量就被唯一地确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素。正弦电流i

用三角函数表示为二正弦量的三要素1.周期T、频率f和角频率ω2.最大值和有效值3.相位、初相、相位差周期T

:正弦量变化一次所需要的时间称为周期。单位是秒(s）。频率f

:

1秒钟正弦量变化的次数称为频率。单位是赫兹（HZ)。显然f=1/T

或T=1/f

1.周期Ｔ、频率f和角频率ω角频率ω

:

单位时间里正弦量变化的角度称为角频率。单位是弧度/秒（rad/s）.

ω=2π/T=2πf

周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。２．最大值和有效值

正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬时值中最大的称为最大值。Im、Um、

Em分别表示电流、电压和电动势的最大值。

表示交流电的大小常用有效值的概念。

把两个等值电阻分别通一交流电流i和直流电流Ｉ。如果在相同的时间Ｔ内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流Ｉ定义为交流电流的有效值。所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。即将电流的三角式带入上式中有:同理:3.相位、初相、相位差相位：我们把ωt+

称为相位。初相：t=0时的相位称为初相

。相位差：任意两个同频率的正弦量的相位之差。用φ

表示。

例：两者的相位差为:>0电压超前电流φ角

(或电流滞后电压φ

角)

=0

电压与电流同相位

<0

电流超前电压φ角

=±π

电流与电压反相若:φiu.iωt

φ>0φ

φ<0φ

φ=π

φ=0解：

ω=314rad/s，ω=2πf

f=ω/2π=50(Hz），T=1/f

=0.02s

i=30°,

u=－45°

φ=

U－

i=－75°Im=10A,Um=220√2VI=Im／√2=5√2A,U=Um／√2=220V

例：已知：i=10sin(314t+30°)A,

u=220√2sin(314t－45°)V,试指出它们的角频率、周期、幅值、有效值和初相，相位差，并画出波形图。ωt30°u、i10如图所示：

45°u

滞后i75°,i超前u75°。220√2

2.1.2正弦交流电的相量表示法一、相量图二、相量表示（复数表示）一、相量图正弦信号可用一旋转矢量来表示，令矢量长度＝Im

矢量初始角＝Ψ

矢量旋转速度＝ω如图：ωωtiyx该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值一般我们研究的是同频率的正弦量，用相量表示时，它们同以ω速度旋转相对位置保持不变。因此，在同一相量图中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。相量的写法为大写字母的上方加一个“.”

例：用相量图来表示下列正弦量解：120°120°·1U·3U·2UVtUuom)120sin(3+=ωVtUuom)120sin(2-=ωVUumωsin1=120°t

注意只有正弦量才能用相量表示；几个同频率正弦量可以画在同一相量图上；

任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求。

二、相量表示（复数表示）

我们知道一个相量可以用复数表示，而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量可以用复数表示。１、复数表示法：ajbr

φA+1A=a+jb

代数式A=r(cosφ

+jsinφ)三角式

A=rejφ

指数式

A=r∠φ

极坐标式其中φ=arctan(b/a)a=rcosφb=rsinφ2、有关复数的计算

加减运算用代数式,实部与实部,

虚部与虚部分别相加减。乘除运算用指数式或极坐标式，模相乘或相除，辐角相加或减。3.正弦量的相量表示

一个复数的幅角等于正弦量的初相角，复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量.R=a+jb是t=0固定相量的复数形式∴u≠Um·例：写出下列正弦量的相量，并求出：i=i1+i2,画出相量图。解：İ1=20∠60°Aİ2=10∠-30°Aİ=İ1+İ2=20∠60°+10∠－30°=20(cos60°

+jsin60°)+10[cos(－30°)+jsin(－30°)=22.36∠33.4o(A)=18.66+j12.39=10+j17.39+8.66－j5相量图为:·2I2.2单相交流电路2.2.1单一元件的正弦交流电路

一、电阻电路

二、电感电路

三、电容电路2.2.1单一元件的正弦交流电路

一、电阻电路

二、电感电路

三、电容电路设一、电阻电路u1、电压与电流关系i为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。u、i满足欧姆定律Im、Um（Ｕ、Ｉ）同样满足欧姆定律复数形式复数形式欧姆定律可见：电压与电流同相位·Uiuuiφ＝０相量图可见:P≥0

电阻是一个耗能元件。2．功率关系⑴瞬时功率p=ui=UmImsin2ωt=UI(1-cos2ωt)(2)平均功率

=UI=I2R=U2/RiuωtU，iωtpUI二.电感电路ui1.电压与电流关系

设i=Imsinωt

u=Ldi/dt=ωLImcosωt=Umsin(ωt+90°)Um=ωLIm

感抗U=XLIXL=ωL因此:相量表达式为:LjXIUU=Ð=o90I..IjXUL=..90°Ð=UU.0°Ð=II.U.I.电感中的电流滞后电压90°

（电压超前电流90°）。相量图2．功率关系(1)瞬时功率

在正弦交流电路中，电感功率以２ω按正弦规律变化。

tUIω2sin=波形如图所示P＝ui=Im·Umsinωt·

cosωt显然,第一个1/4周期P>0,电感吸收能量,第二个1/4周期P<0,放出能量.它与电源间进行能量的互相交换.ωtU，iωtpiu⑵平均功率(有功功率)电感是储能元件,不消耗电能。⑶无功功率

无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。QL=UI=I2XL=U2／XL

单位:乏尔（var）解：XL=ωL=520ΩIL=UL/XL=0.336A

电感中电流落后电压90ºQL=ULIL=69.54variL=0.336√2sin(314t+20º－90º)=0.336√2sin(314t-70º)例：设电感Ｌ＝1.65H,ω=314rad/suＬ=190√2sin(ωt+20o)Ｖ求XL、i

L、QL。三、电容电路uiC1、电压与电流关系设：容抗电容中的电流超前电压相量图∴相量表达式为：2、功率关系（1）瞬时功率ωtuiωtp

显然,第一个1/4周期p>0,电容储存能量,第二个1/4周期p<0,放出能量。ui（2）平均功率（有功功率）电容是储能元件，不消耗电能。（3）无功功率

无功功率反映的是电容与电源间能量互相交换的规模。单位是乏尔（var）例：设电容C＝0.1μF,ω=6280rad/suC=10sin(ωt+30o)Ｖ,求XC、İC、QC。解：XC=1／ωC=1.59KΩIC=UC/XC=10／(√2×1.59)电容中电流超前电压90ºİC=4.45∠30º+90º=4.45∠120ºmAQC=XCIC2

=31.6×10－3(var)=4.45mA2.2.2RLC串联电路

一、电压与电流关系

二、功率关系一.电压与电流关系iRLCu以电流为参考正弦量，

i=Imsinωt即İ=I∠0°1、相量图法相量图为：··+CLUU·RU·CU·LU·I·UφRXXarctanUUUarctanCLRCL-=-=φ可见：φURUL-UCU电压三角形总电压有效值

U2=UR2+（UL—UC）2电抗与阻抗式中X=XL－XC

称为电抗称为阻抗∴U=Iz相位关系URUUarctanRXXarctanCLCL-=-=φ可见φ

是由R、L、C及ω决定的。90°>φ>0

电压超前电流电路呈感性。－90°<φ<0电流超前电压电路呈容性。φ=0

电压与电流同相,电路呈纯阻性。2、复数形式分析法Z为复阻抗Z=R+j(XL－XC)=z∠φφ=arctan(XL-XC)/R复数形式欧姆定律阻抗三角形

φ角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角.RXL-XCzφ

在RLC串联交流电路中，R=15Ω，

L=12mH,C=5μF,电源电压求:⑴电路中的电流i和各部分电uR

,uL,uC;(2)画相量图。例1、解：=60Ω=5000×12×10－3XL=ωL=40Ω=1／5000×5×10－6XC=1/ωC2015)(jXXjRZCL+=-+=1520201522arctanÐ+=o1353.25Ð=oOoZUI13.53413.53250100-Ð=ÐÐ==··oRRIU13.5360-Ð==··ooLLIXjU13.534×60×90-ÐÐ==··o8.36240Ð=ooCCIXjU13.534×40×90-Ð-Ð=-=··o13.143160-Ð=（2）相量图如图：·CU·LU1、平均功率(有功功率）在RLC电路中，只有电阻消耗功率所以电路的有功功率为：P=∑URIR

P=UIcosφ式中cosφ为功率因数。

在正弦交流电路中，不管阻抗如何联接，电路的功率等于各元件功率之和。Z=R+jX二、功率关系2、无功功率

电路中无功功率包括电感和电容两个元件的无功功率。QL=ULI

QC=UCIQ=QL－QCZ=R+j(XL-XC)

Q=UIsinφφ

＞0，Q＞0电路呈感性

φ

＜0，Q＜0电路呈容性P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssin

φ3、视在功率S=UI单位是伏安（VA）一般它表示发电设备的容量。得出功率三角形：PQSφ

阻抗三角形,电压三角形和功率三角形是三个相似的三角形。φUURUL－UCSPQφRXL-XCzφ总结：例：某感性负载端电压

P=7.5kW,Q=5.5kvar,试求感性负载的功率因数及其串联参数.解：=0.81∴φ=35.9°电路为串联=42.1AR=P／I

2=4.2ΩXL=R·tanφ=3.04ΩL=XL／ω

=9.7mH2.2.3日光灯电路分析

一、负载的功率因数cosφ

低

带来的问题二、提高功率因数的方法一.负载的功率因数cosφ低带来的问题

1.电源设备的容量不能充分利用交流电源的额定容量为SN=UNIN，因为P=SNcosφ

,发电机能够输出的有功功率和负载的功率因数cosφ

成正比。所以，负载的功率因数低，电源发出的有功功率就小，电源的容量得不到充分利用。例：一个SN=50kVA的电源，向功率因数cosφ1=0.5的日光灯供电，它能供应40W的日光灯_____只,如果用来供应cosφ2=1的40W日光灯，则可供应_______只？

P=n×40=SNcosφ

n1=50×103×0.5/40=625n2=50×103×1/40=12506251250

2.供电效率低（输电耗能大）P=UIcosφI=P/Ucosφ

当输电线路的电压和负载的功率一定时，输电线上的电流与cosφ

成反比。cosφ

越小，I越大。设输电线的电阻为r,则它引起的功率耗损为：ΔP=I2r=(P/Ucosφ)2rcosφ

低，功率损耗大。降低了供电效率。二.提高功率因数的方法工业负载多数是感性负载，因此提高负载功率因数可在其两端并联电容。提高功率因数的基本思想是减少无功功率。RLuiCφ作相量图：φ′显然：cosφ

＜

cosφ′I′＜I电容的选择：UIsinφ－UI′sinφ′=QC=U2／XC=U2ωcI=P／Ucosφ

I′=P／Ucosφ′∴C=（P／ωU2）(tgφ－tgφ′)例：某发电厂以22万伏的高压向某地输送24

万千瓦电力,若输电线路的总电阻r=10Ω，试计算当电路的功率因数由0.6提高到0.9

时,输电线上一年少损耗多少电能?解:当cosφ1=0.6时,线路中的电流

I1=P/Ucosφ1=1818.2A

当cosφ=0.9时,线路中的电流

I=P/Ucosφ=1212A

一年输电线上少损耗的电能为:

W=(I12-I2)rt=1.609×1011W·h=1.609×108kW·h第2章正弦交流电路（2）2.3三相交流电路2.3.1三相电源2.3.2三相负载2.3.3三相电路的功率2.4安全用电2.4.1触电对人体的伤害2.4.2安全电流和安全用电2.4.3触电的原因和方式2.4.4触电的紧急救护返回

2.3三相交流电源2.3.1三相交流电源一．三相交流电源

我们把幅值相等，频率相同，彼此之间的相位差角相差120°的三个电源称为对称三相电源.1.时域形式:

3.相量表达式：2.波形图:4.相量图:返回uA=Umsinωt

uB=Umsin(ωt－120°)

uC=Umsin

(ωt－240°)其中uA的初相为零，uB滞后uA120°,uC滞后uB120°，所以相序为A-B-C。1.时域形式:返回2.波形图ωtuuAuBuC返回3.相量表达式：.UA=U∠0°=U.返回4.相量图:·UC·UB·UA120°120°120°返回1.星形联结A.B.C分别为三相绕组的首端,X.Y.Z分别为三相绕组的尾端,将三个尾端接在一起用O表示.三个首端引出三根线与负载相联.电压UA,UB,UC的参考方向规定首端指向尾端..

二、三相交流发电机绕组的星形联结..返回2.各点与线的名称.

O为中性点(零点),由O点引出的线叫中性线(零线).由A、B、C三端引出的线为端线

(火线).3.相、线电压的定义.

相电压:各端线与中性线之间的电压就是相电压。用有效值UA,UB,UC

表示。一般用UP表示,如图所示。

线电压:各端线之间的电压为线电压.

用有效值UAB,UBC,UCA表示。一般用UL表示.如图所示.返回ACOB.UA.UB.UC.UABUBC..UCA(X.Y.Z)端线中性线端线端线返回星形联结的三相电源,相线电压之间的关系,

由KVL知：返回UA=UB=UC=UPUAB=UBC=UCA=UL返回可见:在星形联结的对称三相电源中,

线电压有效值是相电压有效值的√3倍,线电压超前相电压30°。线电压也是对称的。.UA.UBC.UCA.UC.UB300UAB.返回相量图为：组成等边三角形300300线电压之间相位差仍为120°例：已知星形联结的对称三相电源的相电压为6kV，求它的线电压是多少，如以A相为参考相，试写出所有相电压与线电压的向量表达式。解：返回UP=6kV∴UL=√3UP=10.4kV返回

2.3三相交流电源2.3.2三相负载（星形连接）相电压:每相负载两端的电压用UP

表示。线电压:各端线之间的电压用UL表示.相电流:每相负载流过的电流用IP

表示.线电流:电源端线流过的电流用IL表示.返回

一、三相四线制（有中性线）

三相四线制电路，电源的相、线电压就是负载上的相、线电压。电源对称，则：线电压超前相电压30°,且AOBC.IA..IC.IBIOZAZBZC返回○○○○UA.UB.UC.UBC.UCA.UAB.相电压：线电压：相电流：İAİBİC线电流：İAİBİCUA.UB.UC.UAB.UBC.UCA.显然，IP=IL1.对称负载设：ZA=zA∠φA

ZB=zB∠φB

ZC=zC∠φC

若满足{zA=zB=zCφA=φB=φC这样的负载称为对称三相负载。当电源对称，负载也对称时，返回İA、İB、İC互差120°显然三个电流也是对称关系.返回IL=IP=UP／z

=UL／√3z

相量图为:

结论:三相对称负载作星形联结时,计算时只需计算一相,另外两相根据对称关系直接写出。返回UAUBUCIAICIB......φφφİO=İA+İB+İC=02.负载不对称在三相四线制电路中，不管负载是否对称，电源的相电压和线电压总是对称的，所以负载各相电压对称.由于负载不对称，各相电流不对称，中性线电流不为零.计算时需要三相分别计算。返回例

.有一对称三相负载星形联结的电路.

三相电源对称.每相负载中,L=25.5mH,R=6Ω.uAB=380√2sin(314t+30°)(V)

求各相电流iA,iB,iC

。返回ZA=ZB=ZC=R+jXL=R+jωL=6+j314×25.5×10－3=6+j8Ω=10∠53.1°Ω解:.IA=UAZA=220∠0°10∠53.1°=22∠

53.1°A.

根据对称关系有:iA=22√2sin(314t－53.1°)A返回

iB=22√2sin(314t－173.1°)AiC=22√2sin(314t+66.9°)A

二．三相三线制.

将三相四线制里的中性线断开,这时称为三相三线制.返回1.负载对称.

由三相四线制负载对称情况知，中性线电流IO=0。所以中性线去掉,计算方法相同。各电流对称。2.负载不对称.要根据具体情况分析。返回

在无中性线且负载不对称的电路中，三相电压相差很大，有效值不等。实际的三相供电系统中，负载大都不对称，因此，多采用三相四线制供电方式。所以，中性线上不能开路，也不能装开关和保险丝。返回

2.3三相交流电源2.3.2三相负载（三角形联结）一.负载对称ABCZCAZABZBCIC.IB.IBC.IAB.IA.ICA.显然IP≠IL

UP=UL返回相电压：线电压：相电流：İABİBCİCA线电流：İAİBİCUAB.UBC.UCA.UBC.UCA.UAB.UAB.UBC.UCA.由KCL知：İA=İAB－İCAİB=İBC

－İABİC=İCA－İBC

由负载对称，可得IAB=IBC=ICA=IP=UL／z

=UP／z

相位上互差120°İA=İAB－İCA=IP∠0°－IP∠120°以İAB为参考相量返回=√3IP∠－30°可见：对称三相负载作三角形联结时各相、线电压，相、线电流都对称。UL=UP返回

线电流是相电流的√3倍,线电流滞后相电流30°。计算时