2019-2020年高中数学 立体几何部分教案 新人教B版必修2

第一章立体几何初步

1.1空间几何体

1.1.1构成空间集合体的基本元素

一、知识点总结

1、平面

(1)平面的概念

平面和点、直线一样是构成空间图形的基本元素之一，是一个只描述而不加定义的原

始概念。

【注意】a、立体几何中所见到的平面与我们日常生活中的平面是有区别的，立体几

何里所说的平面是从生活中常见的平面里抽象出来的。立体几何中的平面是理想的、

绝对的平且无限延展的。

b、几何平面是无大小、无厚薄之分的。

(2)平面的画法

立体几何中，我们通常画平行四边形来表示平面。

【注意】a、画的平行四边形表示整个平面

b、画平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°,横边画成是临边的两倍。

c、两个相交平面的画法：当一个平面被另一个平面遮住时，应该把遮住部分线段画

成虚线或者不画，以增强立体感。

(3)平面的表示方法

通常用一个小写的希腊字母表示。

2、长方体的有关概念

长方体由六个矩形围成，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面，相邻两个面的公共

边，叫做长方体的棱，棱和棱的公共点叫做长方体的顶点。

3、空间基本图形之间的关系

点动成线，线动成面，面动成体。

二、重点、难点、考点

重点：从运动观点来初步认识点、线、面、体之间的生成关系和位置关系

难点：通过几何体的直观图观察其基本元素间的关系以及注意到共建中存在既不平行也

不相交的直线。

1、对于构成空间几何体的基本元素的学习，要通过以下几个途径：

(1)充分利用模型和画出的图形，在直观感知基础上，体会空间的点、线、面

之间的关系，体会他们如何构成了空间图形。

(2)了解轨迹和图形的关系。

2、注意在直观感知基础上展开交流讨论。

3、学习制作几何模板，通过模板认识几何机构。

考点：平面的概念、构成几何体的基本元素、长方体中基本元素间的位置关系。

三、随堂练习

例1、下列说法中正确的是()

(1)平行四边形是一个平面；

(2)任何一个平面图形都是一个平面；

(3)平静的太平洋就是一个平面；

(4)圆和平行四边形都可以表示平面。

例2、下列叙述中，一定是平面的是()

A.一条直线平行移动形成的面

B.三角形经过延展得到的平面

C.组成圆锥的面

D.正方形围绕一条边旋转形成的面

例3、下列是几何体的是()

A.方砖

B.足球

C.圆锥

D.魔方

例4、长方体六个面中，与面垂直的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

例5、在长方体的棱中，与既不相交也不平行的不是下面哪条棱()

A.ABB.BCC.D.CD

例6、如图所示，一个长方体的图形，并指出其中:

(1)一组互相平行的面。

(2)一组互相垂直的面。

(3)一条直线与一个平面平行o

(4)一条直线与一个平面垂直o

(5)一个点到一个平面的距离。

(6)两条既不相交，也不平行的直线o

1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征

一、知识点总结

1＞多面体

(1)多面体是由若干个平面多边形围成的几何体。

(2)多面体的元素

a、围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

b、相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

c、棱和棱的公共点叫做多面体的顶点。

d、连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

(3)凸多面体

凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同

一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。

(4)多面体的分类

按多面体是否在任一面的同侧来分，可分为凸多面体和非凸多面体。(注意：我们所研

究饿多面体若不特殊说明，都是指凸多面体)

(5)多面体的截面

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形，叫做这个几何体的截面。

2、棱柱的结构特征

(1)定义

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的交线都互

相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面,

简称底，其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共

顶点叫做棱柱的顶点；棱柱中不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。

(2)准确理解棱柱的概念要注意它的两大特征

a、有两个互相平行(底面)

b、其余各面每相邻两个四边形的公共边都是互相平行的。

(3)棱柱的性质

a、侧棱都相等，侧面是平行四边形；b、两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;

c、过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

(4)棱柱的分类

a、按底面多边形的边数分类

底面是三角形、四边形、五边形等等的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱等等

b、按侧棱与地面关系分类

侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多

(斜棱柱

边形的直棱柱叫做正棱柱。即棱柱土,+,、(正棱柱

直棱柱一人―

<I其他棱柱

(5)特殊的四棱柱

a、底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；b、侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直

平行六面体；c、底面是矩形的直平行六面体是长方体；d、棱长都相等的长方体是正方体。

(6)棱柱的记法

a、用表示底面各顶点的字母表示棱柱；b、用棱柱的对角线表示棱柱。

3、棱锥的结构特征

(1)定义

一般地，有一个面试多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，有这些面所围成

的几何体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的

侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

说明：棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：a、有一个面是多边形b、其

余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。

(2)记法

棱锥可用表示顶点和底面的字母表示。

(3)分类

底面为三角形、四边形等等的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥等等，其中三棱锥又叫四面

体。

(4)正棱锥

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫

做正棱锥。

(5)正棱锥的性质

a、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；b、棱锥的高、斜高和斜高在地面上的

射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

4、棱台的结构特征

(1)定义

底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台.

(2)棱台中的有关概念

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他的各面叫做棱台的侧面；相

邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；当棱台的地面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线

段叫做棱台的高；正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。

(3)正棱台

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

(4)正棱台的性质

a、各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形。

b、两底面以及平行于底面的截面是相似多边形。

c、两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形。

d、两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆相应的半径组成一个直角梯形。

e、正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高。

f、正四棱台的对角面是等腰梯形。

二、重点、难点、考点

重点：多面体概念、棱柱定义和性质、棱锥与棱台的有关定义、性质及他们之间的关系。

逐步培养空间与平面问题相互转化的思想方法。

难点：特殊棱柱(如长方体、正方体、平行六面体、正四棱柱、直四棱柱等)的特征性

质的区别。

1、要准确理解和把握棱柱的本质特征：

(1)有两个面互相平行；

(2)其余各面每相邻两面的公共边都互相平行，进而弄清楚棱柱的侧面都是平行四

边形。区分概念：直棱柱、直四棱柱、正四棱柱、平行六面体、直平行六面体、

长方体、正方体。

2、从运动变化的角度认识棱柱

有一个平面多边形及其内部各点沿同一方向平移形成空间几何体叫做棱柱，平移起止位

置的两个面叫做底面，多边形的边平移形成的面叫做侧面，多边形的顶点平移形成的线

段叫做侧棱

3、注意通过实物、现代信息工具、图形，观察体会棱柱的各种位置截面及形状特征。

4、正棱锥、正棱台特征性质的应用；能够反映他们特征性质的直角三角形、直角梯形这些

核心图形的掌握；棱锥、棱台的特殊截面。

考点：棱柱、棱锥定义，长方体对角线问题，截面问题，正棱锥概念与性质，棱锥、棱

台中的计算，多面体展开与折叠。

三、随堂练习

例1、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是()

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥

例2、下列命题正确的是()

A.四棱柱是平行六面体B.直平行六面体是长方体

C.六个面都是矩形的六面体是长方体D.底面是矩形的四棱柱是长方体

例3、如图，已知长方体，过BC和AD分别作一个平面交底/j,Fc,

面与EF、PQ,则长方体被分成三个几何体中，棱柱的个数是o

A.OB.1C.2D.3/：./\'\

例4、如图所示，直平行六面体的侧棱长是100cm,底面两邻边的长分别是23cm和11cm,

底面的两条对角线的比为2:3,求它的两个对角面的面积。

［解析］因/1g是直平行六面体.所以两对角面都是

矩形，其侧棱<4就是矩形的高.

由题意■，得/1ZJ=23em,AD--IIcm,/Vt,——100cm.

BD:AC=2:3.设BD=2x,则AC=3x.在平行四边

形XHCD中，HD2+AC2=2(Afi2+A/)2),即(2x)2+(3.v)2

=2(23?+II2),角单得x=10.

J./"J=20cm,=30cm.

2

=BD-BBt=2000(em),

•AA।=30(X)(<'n>2).

例5、已知正三棱锥V-ABC,底面边长为8,侧棱长为2,计算它的高和斜

眉1。

［角翠析］设C是底面中心.“为笈。的中点.

△1<4<?和△\(：!)是直角三角形.

;底面边长为8.侧棱长为2后.

二/I"=孚x8=.CD=4.

()=VV42-A()z=J(2®2_(与司

_2J6

ID=\/VC2-C/J2=V(2-42=2j2.

即正三棱锥的高是斜高是2J2.

例6、长方体中，AB=4,BC=3,=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行

的最短路线。

［解析］分三种情况展成平面图形求解一

沿长方体的一条棱剪开.使a和G展在同一平面上，

求线段/ic,的长即可，有如图所示的三种剪法：

(1)若将。"乙剪开，使面八名与面4G共面，可求得

A(Jt-\/2+(5+3)2=^01

(2)若将1/7剪开.使面八C与面/“；,共两，可求得

AC：,=\/32-•-(54-4)2=

(3)若，序CC\的开，便面BC、与面An,共面.可求彳导

4C,=\/(4+3)2+天=V741

相I•匕较可彳导蚂蚁爬行白勺最短是各线长为^/74.

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球

一、知识点总结

1.圆柱、圆锥、圆台的结构特征

（1）圆柱的结构特征

a、定义

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面和平面所围成的几何体叫

圆柱。

b、性质

与圆柱的底面平行的截面是圆；与轴平行的截面是矩形；与轴斜交的截面，如果不与两底面

相交，交线是椭圆。

c、记法

用表示轴的字母表示。

（2）圆锥的结构特征

a、定义

以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面和平面所围

成的几何体叫做圆锥。

b、性质

与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的锥面是等腰三角形，两个腰都是母线，顶角最

大的是轴截面。

一般圆锥底面半径用r来表示，母线长用I来表示，高用h表示，且

c、记法

用表示轴的字母表示。

（3）圆台的结构特征

a、定义

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

b、性质

平行于底面的截面都是圆。

过轴的截面是全等的等腰梯形。

圆台的母线长都相等，每条母线延长后，都与轴的延长线交于一点。

c^记法

用表示轴的字母表示

2、球

（1）球的结构特征

定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称

球。

球心：形成球的半圆的圆心叫做球的球心。

球的半径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫做球的直径。

球的记法：用表示球心的字母表示。

（2）球的截面的性质

a、，其中r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心0到截面圆的距离。

（3）球面上两点间的距离（球面距离）

经过球面上两点的大圆（即过球心的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫

做两点间球面的距离。

（4）组合体

二、重点、难点、考点分析

重点：对旋转体概念的再认识

难点：1、从运动变化的角度认识几何体之间的联系。

2、注意有关截面的问题的广泛展开讨论探究。

3、弄清柱、锥、台的侧面展开图中的几何量之间的关系

4、球的问题除了上面已涉及内容外，还有几点要清楚：

（1）球面与球体的区别：球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球

面所围成的空间。

（2）地球仪上的经纬度。

（3）球面上两点的球面距离可结合实物搞清楚，必须是过该两点的球的大圆上的位于这两

点间的劣弧长。

5、深刻领会空间问题是如何向平面问题转化的，截面问题，展开问题等都是空间问题向平

面转化的途径。

6、注意了解几类组合体

（1）球的内接正方体（）；正方体内切球（2R=a）；球与正方体的各棱相切（）；球内接长方

体（）.

（2）球内接圆柱（球与圆柱的侧面及两底面均相切）；圆锥内接正方体的轴截面。

考点：旋转体的概念；圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及运算；球面距离，旋转体侧面展

开图形；旋转体轴截面的结构特征及简单组合体。

三、随堂练习

例1、边长为5cm的正方形EFGH是圆锥的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的

最短距离是（）

A.10cmB.cmC.cmD.cm

［角车析］圆柱的侧面展开图如图所示，展开后

E'<；=TT）--^―X/TT，+4（<-iii）.

例2、有一个半径为5的半圆，将它卷成一个圆锥的侧面，求圆锥的高。

［角牟析］如图，由题知，半圆的半径

等于圆锥的母线长，即SA=5.二六圆的弧

长等于圆锥底面冏长，1殳半径为贝U宥

ur5

*.*5TT=2TT/\r=,

即圆锥的高是2f

例3、圆台的母线长为8,母线与轴的夹角为30°,下底面半径是上底面半径的2倍，求两

底面面积和轴截面面积。

［角牟析］-设圆台上底面半径为.贝I］下底

面半径为2丁，阳圆台还厚成圆至隹，车由音殳面

女口I名所示-WJZLASC)=30

在Rgsxs中，S4=w6o0=o

在中.S/l==4八

AA'=SA—SAz=2,，R|J2，=8,u=4.

S=TT，-2=16TT,S尸=TT(2，-)2=4TT/-2=6>4-TT.

过zl'tk/y于。,贝|J/1'«「=,<X：=<?zz4z,«:

为白勺K—，原,AC=,-=4,在KiZX4'4Q中，A，《尸=4,4之—

=82—4?=46一•.4'Q=45

贝1J、'、…•=---(2/1'3+2/1。)xW:=12x4J3=

48J3.

月『以［四台k,底.T&7T67秒1为16IT.底,T&7T&J邛只为64TT.车山丞戈

面面积为48氏

例4、在地球北纬60°圈上有A、B两点，它们的经度相差180°,A、B两地沿纬线圈的弧

长与A、B两点的球面距离之比为()

A.3:2B.2:3C.l:3D.3:l

L角平析］木幽主曜七诲王衣而R巨食白勺求法，求王求•7用是

二代王式W*巨,白勺关钓电.

人/«【对地白勺建而界巨？^是乙=^^r-rr/e=

1<Skf_+

而人/«TW上也幺韦z受「阕白勺引R长为不、r®白勺半个r®网,

.，*1.一

---/_2=TT--—=——TT/r.

Z2:Zj=——rr/?:—^―TT/?=3:2.

例5、一个球的内接圆台上、下底半径与高分别为1、2、3,求球大圆的面积。

［角单木斤］

«八、、《〉另U沟阈合W7/氐T©1IMJ><?J<TX

大生«〉《〉a="，贝ij«、=3—x

•••<7/1=«=/e,r?zi2=，〃片，

艮［J1+<3—“>2=4+“2.J・e=1.

琲*彳至//=冰大I园询积TT/“5>TT

例6、两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9n和16n,则这两个平面间的距离

是（）

A.lB.7C.3或4D.1或7

［角翠析］如图（1，所示，若两个平彳亍平面在球心同侧,

贝ij（：/）=X/52^32-—\/52^42=1.

7寸—3?-4-\/53—42=7.

例7、在北纬450圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140。与西经130°,设地球

半径为R,则甲、乙两地的球面距离是nR3

［角卒析］1殳引匕2书45。圈刁、圆I.®心，乙.贝ijN/1O,n=90。，

..1^13两地白勺肆面是巨离为3R,

O1<SvJ

・・.4、〃白勺球面是巨为q-代.

例8、在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49冗cm?和400ncn?,求此球的半

径。

［角年析］力普W旅；商仔n于m求，<?白勺同彳则，&口「药（1》月亍示

门2:'11-7'■I11''''.I'

白勺闻，一，1殳子求白勺/修彳圣为/“存弋商［即白勺径分另为/-、/「.

TFT/-；=49TT,社号/•J="7.「hjTT，？=4«X)TT,f')'7*=20.

在Rl△on.中，CQj=IY—/-：=x/N—49,

诈Ki△one:中,=V/e2—，-2=V/e2—4(M).

由逝意可知，CC、—CC=9,

即7Y一4。—5/—4CC=9,

解彳导ze=25.

C2)考^王^，NErW崔tTST21『司,女口田(2>月厅,

<)<二、=7/B-4。,cc=V/e2—4<x).

由是理毒可矢口,QC[+<><7=D,

即J7「庆W-49-4-x/7ea—4()0=9,

7r针—49=D—7M—4co,

整壬里,彳导400=—15,止匕方程.无角率,

__t月斤d?g.,止匕王求"白勺—1^-彳至：为25e-tii.

例9、圆锥底面半径为1,高为，轴截面为PAB,如图，从A点拉一绳子

作/V>J_AA',贝〔J4八""=60°,

AA'=24Z>=2x3xsiii6O。=3万，

最短绳,长为3后.

例10、圆台的一个地面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2,母线与

轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径。

［解析］圆台的轴截面如图所示.

,

设圆台上、下底面半径分另J为xcmX2xcni^3xcm,

延长/L4i交()0,的延长线于S.

在1^1△*><?.!中，N/1S。=45°,贝ijNS/1。=45<

SC=/40=3«,「.(j=2.V.

S，由“而=——(6:*+2.v)-2.v=392.彳导,v=7.

故圆台白勺高C«八=14<iii,

"fO7必治/\].4=>,=14♦I]].

TW7^.T&-^r-f至另1为7fin、21<,m.

1.1.4投影与直观图

一、知识点总结

1、有关概念

（1）平行投影

a、点的平行投影

b、图形的平行投影

如果图形F上的所有点在平面内关于直线i的平行投影构成图形产。则F叫做图形F在内关

于直线I的平行投影。平面叫做投射面，直线I叫做投射线。

（2）当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：

a、直线或线段的平行投影仍是直线或者线段。

b、平行直线的平行投影式平行或重合的直线。

c、平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长。

d、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等。

e、在同一直线或者平行线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。

2、直观图

（1）空间图形的直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。

（2）斜二测画法：一种画直观图的方法。

（3）正等测画法。

3、中心投影

中心投影:一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上

的中心投影。

【注意】a、画实际效果图时，一般用中心投影法。

b、中心投影和平行投影的区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交

于同一点。

c、中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法。

d、画实际效果图时，一般用中心投影法；画立体几何中的图形时一般用平行投影法。

二、重点、难点、考点分析

重点：平行投影的性质，斜二测画法规则。

难点：斜二测画法要点的掌握。

1、中心投影与平行投影的区别与联系：

（1）中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法。平行投影包括斜二测画法和三

视图。中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与

人的视觉效果一致，最像原来的物体。

（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投

影法。

（3）平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线交于一点。

2、圆的直观图通常用正等测画法，实际画图时常用模板画。

考点：（1）水平放置平面图形直观图画法

（2）与投影和直观图有关的计算问题

（3）几何体的直观图画法

三、随堂练习

例1、下列命题正确的是（）

A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一点是梯形

C.两条相交直线的投影可能平行D.一条线段中点的平行投影认识这条线段投影的中点

例2、下面命题中真命题的个数是()

①正方形的平行投影一定是菱形；

②平行四边形的平行投影一定是平行四边形

③三角形的平行投影一定是三角形

④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影仍是这个三角形平

行投影的中位线。

A.0个B.1个C.2个D.3个

例3、水平放置的矩形ABCD长AB=4,宽BC=2,以AB、AD为轴作出斜二测直观图AEC3,

则四边形AEUD，的面积为()

例4、已知正AABC的边长为a,以它的一边为x轴，对应的高线为y轴，画出它的水平放

置的直观图△AWC7,则△AWC的面积是()

A.B.C,D.

E角牟析］决口LS为.及手上直观LSA'U'C'-

S-()'C'-^ii>45o=xx4=

2242

三〃2,故选1).

1O

例5、如图所示，有一灯0,在它前面有一物体AB,灯所发出的光使物

体AB在离灯O为10m的墙上形成了一个放大了3倍的影子AT,试求灯

与物体之间的距离。

［角军析］如图所示,作OHJ_AH于〃.延长OH交4'

于〃'.贝"on即为所求.

由平面几何及光线沿直线传播知，△OA'/f.

A13_OHI/?g,且OH'=IOin.

…A'B'=75T77*'A'B'

OH=孚“i.即火丁与物体AH之间的距离为孚in.

例6、ZXABC的直观图是边长为acm的正△AWC,求AABC的面积。

r*赖*Afcb件逑'赖*图募流b*&nb。5*ia与气

±±c:r作c'/>j_/rzr,垂足为ir,

-.■正△/1'zrc'Gi.长为“，

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例7、小坤和小鹏两人站成一列，背着墙，面朝太阳，小坤靠近墙，在太阳光照射下，小坤

的头部影子正好落在墙角处。如果小坤身高为L6m,离墙距离为3m,小鹏的身高1.5m,离

墙的距离为5m,则小鹏的身影是否在小坤的脚下，请通过计算说明。

［解析］如图设小鹏的影长为XIH,

小鹏小昆

根据太阳光平行的特征有三=品

1.51.6

x—2.81,2.81m+3n】=5.81m>5m,

所以小鹏的身影会在小昆的脚下.

1.1.5三视图

一、知识点总结

1、正投影

（1）定义：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投

影。

（2）正投影的性质：垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；垂直于投射面的平面图形

饿正投影是直线或者直线的一部分。

【注意】正投影还具有以下一些性质：

直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

平行直线的平行投影式平行或重合的直线；

平行于投射面的线段，它的投影与这个图形全等；

与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的长度等于这两条线段的长度比。

2、三视图

（1）三视图的定义

a、水平投射面、俯视图：一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图

形叫做俯视图。

b、直立投射面、主视图：一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面；投射到

这个平面内的图形叫做主视图。

c、侧立投射面、左视图：和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常

把这个平面放在直立投射面右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图。

d、将空间图形向水平投射面、直立投射面、侧立投射面作正投影，然后把这三个投影按一

定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图。

（2）三视图的画法要求

a、三视图的主视图、俯视图、左视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物

体轮廓线的正投影围成的平面图形。

b、一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图下面，长度与主视图一样，左视图

放在主视图右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样。

c、记忆口诀

主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽。

d、在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；

【注意】柱、锥、台、球的三视图

①圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图为圆

②圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心

③圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆

④球的三视图都是圆

（3）简单组合体的三视图

对于简单空间几何体的组合体，一定要认真的观察，先认识它的基本结构，然后再画三视图

（4）重点提示:画简单的组合体的三视图时注意一下问题：

①确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同

②看清简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意他们的生成方式，特别是他们的交

线位置

③要检验画出的三视图是否符合“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽“的基本特征，特

别注意几何体中与投射面垂直或平行的线及面的位置。

二、重点、难点、考点总结

重点：三视图画法规则及其原理

难点：三视图画法规则及其应用

考点：正投影问题；简单几何体的三视图；简单组合体的三视图；由三视图画直观图；三视

图的简单应用

三、随堂练习

例1、给出下列命题，正确的有（）

①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；

②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方形；

③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方形；

④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台。

A.0个B.1个C.2个D.3个

例2、当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的

是（）

A.直线或线段的平行投影仍是直线或线段

B,平行直线的平行投影仍是平行的直线

C.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等

D.在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

例3、对几何体的三视图，下列说法正确的是（）

A.主视图反映物体的长和宽

B.俯视图反映物体的长和高

C.左视图反映物体的高和宽

D.主视图反映物体的高和宽

例4、已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是（）

A.长方体

B.圆柱

C.立方体

D.圆锥

例5、如图，正方体中，E、F分别是，的中点，G是正方形的中心，则空间四边形AEFG在

该正方体各面上的正投影不可能是（B）

A.正六棱柱主视图左视图的视图

B,正四棱柱

C.圆柱

D.正五棱柱

例7、（08广东理）若正三棱柱截去三个角（如图1所示A,B,C分别是△GHI三边的中点）得

到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）

ABCD

例8、如图，直三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形，正

视图是边长为2的正方形，则其左视图的面积为（）

A.4B.C.D.

B.

例9、给出以下结论，其中正确的结论的序号是（）

①一个点光源把一个平面图形照射到一个平面上，它的投影与这个图形全等

②平行于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形全等

③垂直于投射面的平面图形，在平行投影下，它的投影与原图形相似。

④在平行投影下，不平行、也不垂直于投射面的线段的投影仍是线段，但与原线段不等长

例10、如图是一个空间几何体的三视图，该几何体是（正六面体）

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

一、知识点总结

1、直棱柱的表面积

直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形面积公式可得直棱柱的侧面积公式为，其中棱柱的高为

h,底面多边形的周长为c。

（1）语言表述：直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。

（2）直棱柱的表面积等于侧面积与上下底面积的和

（3）求斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面周长与

侧棱长的乘积表示，其中直截面是指垂直于侧棱的截面，即（其中直截面周长为4

侧棱长为I）

2,正棱锥的表面积

正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，如果设它的底面边长

为a,底面周长周长为c,斜高为h一则正n棱锥的侧面积公式为：

（1）语言表述：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半0

（2）正棱锥的全面积等于正棱锥的侧面积与底面积的和

（3）一般棱锥的每个侧面都是三角形，因此求出他们各自的面积然后相加，即可求

出它的侧面积

3、正棱台的表面积

正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，底面是正多边形，如果设棱台下底面边长为a,

周长为c,上底面边长为a，，周长为M斜高为h一则正n棱台的侧面积公式为

S初校台=1n（a+a,）h,=|（na+na,）h,=|（c+c'）h，

（1）正棱台的表面积公式亦可由两个棱锥表面积之差得出

（2）正棱台的表面积等于侧面积与底面积的和

（3）一半棱台的侧面积可分别先求出每个侧面的面积然后相加

【重点提示】正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，可转化为求梯形面积的问题来求

解

4、球的表面积

公式：，其中R为球的半径。

（1）语言表述：球面面积等于它的大圆面积的4倍。

（2）推导过程以后再加以研究，本书只要求记住结论，并会运用。

（3）球面不能展开成平面图形，因此不能根据棱柱、棱锥、棱台的导出方法求出面

积

5、圆柱、圆锥、圆台的面积

我们知道计算直棱柱和正棱锥以及正棱台的表面积的关键是计算它们的侧面积，其侧面

积的计算方法是利用它们的侧面展开图来计算。同样，利用侧面展开图的方法也可以计

算圆柱、圆锥、圆台的侧面积，从而计算它们的表面积

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式

（1）圆柱的侧面展开图为矩形，因此侧面积公式为（其中R为底面圆半径，h为圆柱

的高）

（2）圆锥的侧面展开图为扇形，因此侧面积公式为（其中C为圆锥底面周长，I为母

线长，R为底面圆半径）

二、重点、难点、考点

重点：直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式的推导方法。进一步加强空间与平面问题

相互转化的思想方法的应用。

难点：棱柱、棱锥、棱台、和球的面积公式的应用

1、求面积问题，要充分照顾到几何体的性质

2、圆锥、圆台饿侧面积公式

（1）底面半径为r,母线长为I的圆锥侧面积为

（2）设圆台上、下底面半径为r、R,母线长为I,则

考点：柱体、椎体的侧面积；球的表面积问题；椎体、台体的平行于底面的截面性质；

圆柱、圆锥、圆台的组合问题。

三、随堂练习

例1、将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积正加了（）

A.6a2B.12a2C.18a2D.24a2

［角早析］癖来正方体表面积为.S,=6<产,切割成27个

全等的小正方体后.每一个小正方体的棱长为­<i,翼表

面积为6x(.总表面'积S2=27x=

22

18<z:!■曾力口了$2-.S1=I2</.

例2、正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全

面积之比为()

A.B.C.D.

［角牟析］士殳正力•体0勺1麦-长河〃.

S..你；=而正prjW体自句/麦-氏为后，.

-SH-,,,;=4XX(J2f!)2=2,

=6。==反

、”3；2京产

例3、长方体一顶点上三条棱的长分别是3、4、5,且它的顶点都在同一球面上，则这个球

的表面积是()

A.B.25C.50D.200

［解析］球的直彳空就是长方体的对角线，

2.R=\/32+42+52=5叵，二代=多巨.

表面积4TT/?2=50TT.

例4、设球内切于圆柱，则此圆柱的表面积与球的表面积之比是()

A.l:lB.2:lC.3:2D.4:3

［解析］圆柱的底面直径与高都等于球的直径设为

2/L贝ij圆柱全面积S］=2F/F+2FK・2R=6TT/?2，球表面

2

积S2=4TT/?，.二\=

例5、(xx潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示，根

据图中标出数据，可得这个几何体的表面积为()

A.4+4B.4+4C.D.12

［角卒衍JthfV.r«.-iz>n.pr已，士，氏mi力n.诲正视图左视图俯视图

fi

i>ftjil："7''r.<>••/•=.IKn<：仃勺P.-K.(.

«.1i.7“力llI-；，'臼1.

K-SO-N.-I.Z2=5.

：：

2x2+4xyx2x.^=4+4&

例6、如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R,中截面把圆台分为上、下两个圆台，

它们的侧面积之比为1：2,那么R等于()

A.10B.15C.20D.25

例7、过球的一条半径的中点，做垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之

比为()

A.B.D.

［角牟析］设球半径为/<.贝所得截面O,八的半彳圣，-=

此球的表面积为4TT/铲截面圆面积为

例8、(08,山东理)下图是一个几何体的三视

图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

()

A.9nB.10nC.llJtD.12n

IK几句体力-微*蝴撕始都如

侧(左)视图俯视图

xl2+irxl2x2+2irxlx3=12ifttD.

例9、矩形的边长分别为2和4,绕其一边旋转360°成圆柱，则此圆柱的全面积为()

A.24nB.48nC.16nD.24”或48”

例10、在一个圆柱内作一个内接正三棱柱，又在这正三棱柱内作一内切圆柱，那么这两个

圆柱的侧面积之比是()

A.3:2B.3:lC.2:lD.2：

［解析］正三棱柱底面正三角形的中心到顶点的距

离为外接圆柱的底面半径A,到边的距离(边心距)为

内切圆柱的底面半径r,.\/<=2r,

由侧面积公式知孕手=3■，选C.

2TT/71

例11,若球的表面积为16Jr,则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为(灭)

例12、圆台的母线长是3cm,侧面展开后所得扇环的圆心角为180。，侧面积为10“cm2,

则圆台的高为(cm),上、下底面半径分别为(cm)、(cm)o

［角牟析］如图所示，设上、下底面的半径分别为f2

商为广一(言一档)=为

.:74,?21

!4卷的组合体，力求棱第的斜高/,'=25<-iii.

K-表面料.S=42+4x4x2+(-y-x4x2fijx」

=48+16j2(<,iiiJ).

例14、有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第

三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。

［角牟析］作出截面图，分别求出三个球的半径.

设正方体的棱长为a

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六

个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面女口图

所,^)X以2r］=ft,/•1=-^―,所以.S,=4TTZ-2=TT“2.

(2)球与口/体的各梗的切点在每■卷性的中点,过球

2.7"2=《,月亍=4TT/专=2TTVN-

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r4=7__H_攵口z>>(z"az，3=1:2:

1.1.7柱、锥、台和球的体积

—•、知识点总结

1、柱体的体积公式

，其中S为柱体(圆柱、棱柱)的底面积，h为高。

,其中r为圆柱的底面圆半径，h为圆柱的高。

2、椎体的体积公式

,其中S为椎体的底面积，h为椎体的高。

,其中r为圆锥的底面圆半径，h为高。

3、台体的体积

V台==；h(S+底-+S)，其中S、S，分别为台体上、下底面面积，h为台体的高。

V回台=；他(产+/7+J2)，其中，r、「分别为圆台上、下底面半径，h为圆台的高。

【说明】(1)公式的证明可由两个椎体的差来证明。

(3)台体的体积公式中，如果设S，=S,就得到柱体的体积公式；如果设S，=0,就

得到椎体的体积公式。由此可见，柱体、椎体的体积公式是台体的体积公

式的特例。

4、球体的体积公式

,其中R为球的半径。

5、求体积的几种方法

体积的求解与计算式立体几何学习的重点，也是高考考查的重点和热点，其方法灵活多样，

而分割、补形和等积变换是我们中学阶段常见的三种求体积的方法。其中分割、补形也称为

“割补法”。

(1)分割求和法

把不规则的图形分成规则的图形，然后惊醒体积求和。

(2)补形法

把不规则的形体补成规则的形体，不熟悉的形体补成熟悉的形体，便于计算其体积。

(3)等积法

等积法也称等积变形或等积转换法，它是通过选择合适的底面来求体积的一种方法。

二、重点、难点、考点总结

重点：柱、锥和台的体积公式的推导方法

难点：对祖眶原理的理解和柱、锥、台和球的体积公式的运用

考点：柱体、椎体、台体和球的体积计算、等积变换

三、随堂练习

例1、若长方体过同一顶点的三个面的面积分别为、。则长方体的体积为（）

A.B.C.D.

例2、若圆锥、圆柱的底面半径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积

之比为（）

A.l:3:4B.l:3:2C.l:2:4D.l:4:2

例3、如图，有一中心角为90°的扇形AOB