特色题型专练01 尺规作图（解析版）（江苏专用）

中考特色题型专练之尺规作图几何篇题型一、与三角形结合1．在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线交于点E，交于点F，当时，则必有．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规在图的基础上作，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）(2)证明：∵为等边三角形，∴，______①在和中，，∴，∴______③，又∵∴______④，∴．【答案】(1)见解析；(2)等边三角形的性质，，，．【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．（1）根据题意作出图形即可；（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示，即为所作的角；（2）证明：∵为等边三角形，∴（等边三角形的性质），在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案为：等边三角形的性质，，，．2．如图，在中，．(1)用尺规作图作边上的中垂线，交于点D，交于点E，再连接（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）题的基础上，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（2）直接利用中垂线的性质结合角平分线的性质得出．【详解】（1）解：如图所示：（2）证明：∵∴又∵DE垂直平分AB∴∴∴∵∴3．如图，在中，，点在的延长线上，连接．(1)在线段上确定点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，如果，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）在右侧作，交于点，点P即为所求；（2）利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：如图，点P即为所求；由作图可得：，，，，，，；（2）解：，，，，．4．（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．（2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围．【答案】（1）图见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意，确定圆心的位置，再以为半径画圆即可；（2）当以为直径的圆与相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可．【详解】解：（1）作的角平分线，交于点，过点作，交于点，以为圆心，以为半径画圆，即为所求，如图：（2）当以为直径的圆与相切时：如图∵，∴，设的半径为，则：，∵，∴，∴，∴，∴；当存在1个点时，此时与相离，或B、D两点重合，，当存在2个点时，此时与相切，，当存在3个点时，此时与相交，，【点睛】本题考查复杂作图—作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．题型二、与四边形结合1．已知，矩形．(1)若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）(2)在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究）【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，勾股定理：（1）以点B为圆心，长为半径画弧交于点即可；（2）根据矩形的性质可得，由（1）可得，根据勾股定理可得结论．【详解】（1）解：如图，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴；∴点E即为所求；（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，由（1）可知：，在中，根据勾股定理得：∴∴．2．如图，在中，．(1)按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．①作线段的垂直平分线，交线段于点D，连接．②以点B为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于另一点E．③连接．请作出四边形．(2)在（1）的条件下，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意用尺规作图即可；（2）由作图可知，则四边形是菱形，设与的交点为F，在中，求出,求出，，即可得到，在和中，由勾股定理得到，则，解得，即可得到答案．【详解】（1）如图所示即为所求，（2）解：∵垂直平分，∴，∵，∴，∴四边形是菱形，设与的交点为F，∴，，在中，，∴,∴，，∴，在和中，由勾股定理得到，，∴，解得，∴，即的长为．【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、线段垂直平分线的作图、勾股定理、解直角三角形等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．3．如图，已知．(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上分别确定点，使四边形是菱形，并画出菱形（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)若，求（1）中所作菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)边长为6【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质与判定，角平分线，线段的垂直平分线以及相似三角形的判定与性质等知识．（1）作的角平分线交于点E，作线段的垂直平分线交于点F，交于点D，连接，四边形即为所求．（2）根据菱形性质可得∠，进一步证明得，代入相关数据可得结论．【详解】（1）解：如图所示，菱形为所求．（2）解：∵四边形是菱形，∴，，∴，∴．设，则，∴，解得，∴（1）中所作菱形的边长为6．4．如图1，在矩形中，，点P是边上的一个动点，连接，点Q是边上的一点，且满足．(1)在图1中作出点Q；（要求：尺规作图，保留作图痕迹并用黑笔描黑加粗，不写作法）(2)当时，则；(3)随着点P的运动，是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)详见解析(2)(3)存在最大值为【分析】（1）过点P作，交于点Q，即点Q为所求；（2）通过证明，可得，即可求解；（3）由相似三角形的性质可得，由二次函数的性质可求解．【详解】（1）如图，点Q为所求点；（2）∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，故答案为:．（3）存在最大值；理由：∵，∴，∴当时，存在最大值为．【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．题型三、与圆结合1．在中，，连接．

(1)尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：为的切线；(3)若，，则的半径为______.【答案】(1)图见解析(2)证明见解析(3)2【分析】本题考查了圆的综合，熟悉相关的知识点是解题的关键，（1）以A为圆心，长为半径画弧，以C为圆心长为半径画弧交于点P，连接，延长交于点D即可；（2）连接并延长交于点M，证明是线段的垂直平分线即可；（3）证明即可．【详解】（1）如图所示：

（2）如图连接并延长交于点M，

∵，；∴是线段的垂直平分线；∴；∵；∴；∴为的切线．（3）设，；∵；∴；∵；∴；即；解得：；∴；∴；∴；故答案为：2．2．如图，是的直径，点在上．(1)请在图1中的上作一点（异于点），使，连接并延长交的延长线于点，过作的垂线交于点；（作图使用没有刻度的真尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母）(2)在（1）中所作的图形中，求证：．（如需画草图，请使用图2）(3)在（1）中所作的图形中，若，，求的长．（如需画草图，请使用图2）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10【分析】本题考查了弧与弦的关系，垂线的作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用（1）以点A为圆心，为半径画弧，得到即得，再根据垂线的基本作图，利用圆规，规范画出即可．（2）根据证明即可．（3）过点A作于点H，根据得到，利用等腰三角形的三线合一性质，得到，，得到，根据，，得，根据，得到，继而利用，求得的长．【详解】（1）以点A为圆心，为半径画弧，得到即得，再根据垂线的基本作图，利用圆规，直尺画图如下：．（2）设与得交点为点E，∵是的直径，，∴，∴，∵∴，∵，∴．（3）过点A作于点H，∵∴，∴，，∵，∴，∴∴，∵是的直径，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．3．尺规作图：如图，已知，在中，，(1)已知点O在边上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）(2)若与切于点D，与的另一个交点为E，若，的半径为2，求劣弧与线段所围成的图形的面积．（结果保留）【答案】(1)见解析(2)【分析】本题是一道圆的知识的综合题，考查了切线的判定和性质、尺规作图、勾股定理等知识：（1）作的平分线与的交点即为圆心O，然后以点O为圆心，以的长为半径作圆O即可；（2）连接，根据切线的性质可得，可得，从而得到，再由劣弧与线段所围成的图形的面积为，即可求解．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，连接，∵是圆O的切线，∴，∴，∵，∴，∵的半径为2，∴，∴，∴，∴劣弧与线段所围成的图形的面积为．4．已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作，(1)点在边上时（如图1）①求证：点在边的垂直平分线上；②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长；③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长：(2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积．【答案】(1)①证明见解析；②见解析，；③点运动的轨迹为线段，线段(2)【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等．此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．（1）①证明即可证明点在边的垂直平分线上；②作的垂直平分线，作切点与A所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由是等腰直角三角形，证明，进而即可求解；（2）先证明，设，则，，，进而即可求解．【详解】（1）解：①为直径，；点在圆上，连接，，点在的垂直平分线上；②设与边相切于点E，则，如图所示：

设，则，∴，解得：，∴，∵是的中位线，∴；③连接，；始终是的中点，是等腰直角三角形，∴，连接、交于点，则，∴，∵，∴，；当点与点重合，点与点重合，当点与点重合，点与点重合，点运动的轨迹为线段，．（2）解：连接,，过点H作，由（1）③可得：，，，∴，∵，设，则，，，解得：，，∴．题型四、与相似结合1．如图，中，．

(1)作的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，点D在上且与点C位于异侧，连接并延长交的垂直平分线于点E，过点E作交延长线于点．①求证：；②若，求的值．【答案】(1)见详解；(2)①见详解；②的值为．【分析】（1）由知是的直径，先作线段的垂直平分线，垂直平分线与的交点即为圆心O，再以O为圆心，长为半径作圆即可；（2）①由是的垂直平分线，可证，得，再结合，可以得出，再证明出，进而证明出；②由和圆内接四边形得出，再证明得出，可设，则，，证明，通过平行线分线段成比例得，再设，在中，通过勾股定理可求出，则，，再通过线段加减关系求出，，由得，再利用勾股定理依次求出，，进而得出．【详解】（1）解：如图所示：

（2）①连接，，

是的直径，，是的垂直平分线，，，，，，，，，，，，，．②延长，交的延长线于M，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，设，则，在中，，，，，，，在中，，在中，，．【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线模型的常见辅助线的做法，平行线分线段成比例，勾股定理求边长；2．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…【问题提出】（1）如图①，是的角平分线，求证．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【作图应用】（2）如图②，是的弦，在优弧上作出点P，使得．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹．【结论应用】（3）在中，最大角是最小角的2倍，且，求．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）小明思路，作，利用平行线分线段成比例定理得到，再利用等角对等边求得，即可证明结论；小红思路，作，利用面积法即可证明结论；（2）作弦的垂直平分线，再作线段的垂直平分线，利用垂径定理即可求解；（3）利用相似三角形，利用相似三角形的性质，即可求出的长．【详解】（1）解：小明思路：过点B作交的延长线于点D，∴，，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴；小红思路：分别过点P，C作，垂足为D，E，F，∵是的角平分线，∴，∵，，∴．∴；（2）解：①作弦的垂直平分线，交弦于点D，交点E，由垂径定理得，②再作线段的垂直平分线，交弦于点C，③连接并延长交点P，点P即为所求；∵，∴平分，∵，∴，由（1）的结论得，同理，点也为所求；（3）如图所示，作的平分线交于点D，∵，，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴即∴，∴（负值舍去）．【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定等知识，解决问题的关键是掌握题意，正确的作出图形．3．如图，中，，分别为边的点，，．

(1)用圆规和没有刻度的直尺在线段上求作一点，使（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，过点作交于，，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，平行线的性质．（1）以点为圆心，为半径画弧交于点，连接交于一点,该点即为点；（2）由（1）可证明，得到，推出，再证明，得到，最后证明，得到，进而得到，即可求解．【详解】（1）如图所示即为所求，

（2）连接，由（1）可得，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，．

4．如图，在菱形中，于．(1)尺规作图：求作，使得分别切于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，设分别交于点，连接．求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键；（1）先作的垂直平分线，得到的中点O然后以O点为圆心，为半径作圆，则根据切线的判定方法可得到、分别切于点P、D；（2）先利用圆周角定理得到，，再证明，在证，然后利用相似三角形的性质可得到结论．【详解】（1）的为所求作的圆，（2）证明：连接，为直径，，，由作图得，是的切线，为的直径，，，又，，，．题型五、与三角函数结合1．如图，海中有一个小岛A，该岛四周内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行后到达该岛的南偏西的C处之后，货轮继续向东航行．（，）

(1)请用尺规作图，找到货轮距离小岛A最近时的位置点P（不写过程，需保留作图痕迹）；(2)当货轮航行到P点位置时，距离小岛A有多远，货轮有触礁危险吗？【答案】(1)见解析(2)货轮航行到P点位置时，距离小岛A，货轮没有触礁危险【分析】本题考查作图一作垂线，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．（1）根据要求画出图形；（2）设，则，根据，构建方程求解即可．【详解】（1）解：如图，点P即为所求，

（2）在中，设，则，，解得：，经检验，是方程的解，，，货轮航行到P点位置时，距离小岛A，货轮没有触礁危险．2．小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果；（2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置；（3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为．【详解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，在不断变化，∴当最大时，的值最大．由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，∴的最大值为．故答案为：【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．3．为了加强树木的稳定性，园林部门常常在树的周围打上木撑子（如图，若木撑在地面上的三个落脚点构成等边三角形，即图中的，树的根部正好在等边三角形的中心处．

(1)若的长为，求的边长．(2)如图2，已知树根部及木撑的落脚点确定，试只用圆规确定另两个落脚点、．（不写作法，保留作图的痕迹）【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）如图2中，连接，，过点作于点．解直角三角形求出，可得结论；（2）构造等边，等边，等边，等边三角形，点，点即为所求．【详解】（1）解：如图2中，连接，，过点作于点．

是等边三角形的中心，，，，；（2）如图，点，点即为所求．

【点睛】本题考查作图应用与设计作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．（1）如图，射线与直线垂直相交，交点为，且，，请你在直线和射线上找出一点，使得为等腰三角形，请用尺规作图，在图中作出所有满足条件的点用，，表示；保留作图痕迹，不必写作法（2）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距50m，在建筑物的顶部处测得铁塔顶部的仰角为，铁塔底部的俯角为，求铁塔的高度.参考数据：，，，，，

【答案】（1）见解析（2）铁塔的高度约为68.5m【分析】（1）根据等腰三角形的定义分三种情况画出图形：①，此时点、符合题意；②，此时点、符合题意；③，可作的垂直平分线，点符合题意；（2）过点作于点，解直角三角形分别求出，即可．【详解】解：（1）如图，，，，，即为所求．

（2）如图，过点作于点，由题意．在中，，，在中，，，．答：铁塔的高度约为．【点睛】本题考查基本作图，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．函数篇题型一、与一次函数结合1．已知一次函数（、为常数，）的图像如图所示．

(1)若图像经过点和．①求与的函数表达式；②当时，的取值范围是______．(2)尺规作图：在同一坐标系中作的函数图像．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）【答案】(1)①；②(2)见详解【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．（1）①利用待定系数法求一次函数的解析式即可；②利用解析式计算出自变量为和1所对应的函数值，然后根据一次函数的性质求解；（2）直线与轴、轴分别交于点、，在轴的负半轴上截取，在轴的负半轴上截取，则直线满足条件．【详解】（1）解：①根据题意得，解得，与的函数表达式为；②当时，；当时，，当时，的取值范围是；故答案为：；（2）如图，在轴的负半轴上截取，在轴的负半轴上截取，则直线为函数的图象．

2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像为直线，已知两点、．(1)在直线找一点，使得．（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）；(2)直接写出点的坐标为______；(3)若点在直线上，点关于轴的对称点为，且，则点的坐标是______．【答案】(1)见详解(2)(3)或【分析】（1）作线段的垂直平分线交直线于点，点即为所求；（2）由线段垂直平分线的定义得点是线段的中点，则，轴，将代入正比例函数，即可求得点的坐标；（3）设，根据题意可知，结合可得，求得的值，即可获得答案．【详解】（1）解：如下图，作线段的垂直平分线交直线于点，点即为所求，∵是线段的垂直平分线，∴，∴；（2）∵是线段的垂直平分线，∴点是线段的中点，轴，∵、，∴，将代入正比例函数，可得，解得，∴点的坐标为．故答案为：；（3）设，∵点为点关于轴的对称点，∴，又∵，∴，∴，当时，点坐标为，当时，点坐标为，所以，点的坐标是或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、正比例函数图像上点的坐标特征、关于轴对称的点的坐标特征等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．

(1)上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；(2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作于点即可；（2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解．【详解】（1）如图，点即为所求；

（2）∽，：：，，，，，，，，，，，，直线的解析式为，，，，，，，直线的解析式为，由，解得，【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标．4．如图，直线yx+m（m＞0）与x轴交于A，与y轴交于B，AC平分∠BAO．(1)尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：ADBD+AO；(3)若m＝4，点E、F分别为AC、AO上的动点，求OE+EF的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）延长AC，以C为圆心，任意长为半径画弧，与直线AC交于两点，再分别以这两个点为圆心，以大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接这个点与点C，与AB交于一点，即为D点，则CD即为所求；（2）根据角平分线的性质得出，证明，利用一次函数图象的性质，结合三角函数，得出∠BAO=60°，通过已知条件得出∠DCG=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，得出，再证明CD=BD，即可得出结论；（3）作OH⊥AC于点M，并延长交AB于点H，过点H作HF⊥OA于点F，交AC于点E，证明AM垂直平分OH，从而说明HF的长为OE+EF的最小值，说明为等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出HF的长，即可得出OE+EF的最小值．【详解】（1）如图所示：CD即为所求；（2）过点C作CG⊥AB于点G，如图所示：∴，∵平分∠BAO，，∵，，，∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴，，，，∴，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，；（3）作OH⊥AC于点M，并延长交AB于点H，如图所示：∵平分∠BAO，OH⊥AC，，，，，，，∴AM垂直平分OH，，过点H作HF⊥OA于点F，交AC于点E，此时OE+EF的值最小，，，，，，为等边三角形，，，∵HF⊥OA，∴，∴OE+EF的最小值为．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，一次函数图象的性质，正确作出辅助线是解题的关键．题型二、与反比例函数结合1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求这两个函数的表达式；(2)点为x轴上一动点，请用无刻度的直尺和圆规，过图中所标的P点作x轴的垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于C，D两点（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）．(3)在（2）的条件下，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．【答案】(1)，(2)见解析(3)或【分析】本题主要考查了一次函数和反比例综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．（1）先将点代入求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入，求出和b的值，即可得出一次函数解析式；（2）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交y轴于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过两弧交点作直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于C，D两点，直线即为所求；（3）根据，，结合C，D两点的位置，数形结合即可求解．【详解】（1）解：把代入得；∴，∴反比例函数的解析式为．把代入．得：．∴，把，代入得：，解得：，∴一次函数的解析式为：；（2）解：如图所示，直线即为所求作的直线．（3）解：∵，，∴由图可知，当或时，点C位于点D上方．∴的取值范围为：或．2．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为，为轴上一点，点的坐标为，连接．(1)求反比例函数的解析式．(2)请用无刻度的直尺和圆规在图中找出的中点（保留作图痕迹，不写作法）．(3)在（2）的条件下，连接，求的面积．【答案】(1)反比例函数的解析式为；(2)见解析(3)的面积为．【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，还考查了待定系数法求函数解析式，线段垂直平分线作图，数形结合思想是解题的关键．（1）把代入求得，再把点A的坐标代入反比例函数解析式得到k的值，即可得到反比例函数解析式；（2）作线段的垂直平分线，垂足D即为所求；（3）由点，点B的坐标，即可得到点D的横坐标是1，，利用三角形面积公式即可得到答案．【详解】（1）解：把代入得到，∴点，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）解：如图所示，点D即为所求，；（3）解：∵点，点B的坐标，∴点D的横坐标是1，，∴的面积是．3．如图，已知反比例函数的图象经过点，点P为该图象上一动点，连接．

(1)求该反比例函数解析式；(2)在图中请你利用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交x轴于点A．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）．(3)当时，求点A的坐标．【答案】(1)；(2)见解析；(3)．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两个弧交于点、，连接，则为的中垂线；（3）求出点，由，即可求解．【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得：，则反比例函数的解析式为：；（2）解：分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两个弧交于点、，连接，则为的中垂线，如图；

（3）解：过点作轴于点，

设点，则，，则，解得：（负值已舍去），则点，设点，连接，则，即，解得：，即点．【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法、一次函数与坐标轴的交点特征，解直角三角形等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题关键．4．如图，已知，，，．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线的对称点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)若反比例函数的图象过点D，求此反比例函数的解析式；(3)求的值．【答案】(1)图见详解(2)(3)【分析】（1）分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧交点即为所作的点；（2）由勾股定理求出长，由轴对称的性质可以推出四边形是菱形，推出，即可得到的坐标，从而求出反比例函数的解析式；（3）由，得到，由勾股定理求出长，即可求出．【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点；

（2）解：、关于直线对称，，，，，，，，，，，，四边形是菱形，，，，的坐标是，反比例函数的图象过点，，，反比例函数的解析式是；（3）解：，，，，，，．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数关系式，解直角三角形，勾股定理，菱形的判定和性质，基本作图，关键是证明四边形是菱形，由菱形的性质得到的坐标；由，得到．题型三、与二次函数结合1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线上，若使得的点恰好只有三个，求的值；(3)请使用圆规和无刻度直尺，在轴下方的抛物线上确定一点，使得，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】(1)(2)9(3)详见解析【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）若使得的点恰好只有三个，则点在下方时，只有一个点，进而求解；（3）证明，得到，进而求解．【详解】（1）解：由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：①；（2）解：若使得的点P恰好只有三个，则点P在AB下方时，只有一个P点，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：，过点P作PN交y轴于点N使，

则设直线PN的表达式为：②，联立①②并整理得：，则，则，则点，则，过点N作交于点H，由直线AB的表达式知，，则，则，，则；（3）解：设，则，在线段AO上取点H，使，

则，∵，∴，∴，即，则，即，∵，即，设非常接近2，令、，则以点A为圆心，以的长度为半径作弧，交x轴于点H，以点H为圆心，以，长度为半径作弧，交抛物线于点D，则点D为所求点．【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到函数作图、解直角三角形、三角形相似等，综合性强，难度适中．2．在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：(1)作图探究：①下表是y与x的几组对应值：x…01234…y…830m00n8…___________，___________；②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：

(2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题：①方程的解是___________；②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是___________；(3)延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程．【答案】(1)①；3；②图见解析(2)①或或；②

(3)将函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到的图象【分析】（1）①把与代入进行计算即可得到答案；②先描点，再连线即可；（2）①根据函数图象与轴交点的横坐标即可得到答案；②根据函数图象可得答案；（3）根据函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，可得答案.【详解】（1）解：①当时，；当时，；答案为：；3；②描点，连线，该函数的图象如图，

（2）①由函数图象可得方程的解是或或；②根据的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是；答案为：①或或；②；（3）根据函数图象的平移规则可得：将函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到的图象；【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，画二次函数的图象，二次函数与轴的交点坐标，二次函数图象的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.3．对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整．【作图】①列表x…0123456…y…920m029…其中，______．②描点并连线：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出该函数的图象．

【应用】①平行于x轴的一条直线与的图象有两个交点，则k的取值范围为______．②已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程的解为______．【答案】（作图）①1；②见解析；（应用）①或；②【分析】（作图）①将点的横坐标直接代入函数解析式求出纵坐标即可；②描点画图即可