高中数理化知识点总结

焉中散孽羯钥点总偌

1、对于集合,一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},C={（x,y）|y=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。

注重借助于数轴与文氏图解集合问题。

空集就是一切集合的子集，就是一切非空集合的真子集。

如：集合A=卜|*2-2x—3=0},B={x|ax=l}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

(答：4—1,0,)

3、注意下列性质：

（1）集合{a-a2,……，an}的所有子集的个数是2、

（2）若AqB=AnB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AHB）=（CuA）U（CuB）

4、您会用补集思想解决问题不？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式笠三<0的解集为M,若3GM且5史M,求实数a

x-a

的取值范围。

（V3eM,二<0

=>ae1,目U（9,25））

a•5-5L

:5位M,/>0

52-a

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且”（A）和

“非”（「）.

说Aq为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「p为真，当且仅当p为假

6、命题的四种形式及其相互关系就是什么？

(互为逆否关系的命题就是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

7、对映射的概念了解不？映射f:A-B,就是否注意到A中元素的任意性与B中与之对应

元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

(一对一,多对一，允许B中有元素无原象。)

8、函数的三要素就是什么？如何比较两个函数就是否相同？

(定义域、对应法则、值域)

9、求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y业g2的定义域是

lg(x-3)-

(答：(0，2)U(2,3)U(3,4))

10、如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定

义域就是。

(答：[a,-a])

11、求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了不？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令t=Jx+1,贝！Jt>0

x=t—-1

.•.f(t)=e'2-1+t2-l

.,.f(x)=ex<1+x2-l(x>0)

12、反函数存在的条件就是什么？

(---对应函数)

求反函数的步骤掌握了不？

(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)

1+x(x>0)

如：求函数f(X)=2)(的反函数

x-1(x>1)

(答：fT(X)=<

(x<0)

13、反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y=x对称;

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,beC,贝ijf(a)=bof(b)=a

.•.f'[f(a)]=fi(b)=a,f[f-'(b)]=f(a)=b

14、如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性？

(y=f(u),u=(p(x),则丫=.中小)]

(外层)(内层)

当内、夕卜层函数单调性相同时f[(p(x)]为增函数，否则斗(p(x)]为减函数。)

如：求y=log](—x?+2x)的单调区间

2

(设u=—x?+2x,由u>0贝ij0<x<2

且log]uJ,u=-(x-l)2+1,如图：

当xe(O,1]时，uT,又log】uJ,.,.yJ

2

当xe[l,2)时，uJ,又log】uJ,.,.yT

2

……)

15、如何利用导数判断函数的单调性？

在区间(a,b)内，若总有f<x"0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f，(x)WO呢？

如：已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+8)上是单调增函数，贝如的最大

值就是()

A、0B、1C、2D、3

(令『(x)=3x2-a=3(x+以x-卧0

则xW—

由已知f(x)在［1,+8)上为增函数，则,|<1，即a<3

，a的最大值为3)

16、函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件就是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立=f(x)为奇函数=函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数=函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积就是偶函数;两个偶函数的乘积就是偶函数;一个

偶函数与奇函数的乘积就是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，贝肝(0)=0。

如：若=为奇函数'则实数”一

(Tf(x)为奇函数,XGR,又OeR,Af(0)=0

nna,20+a—2

即----n-------0,.".a=1)

2°+l

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xe(0,1)时，f(x)=-----,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

(令X0),则一X£(0,1),f(-x)=~-

又f(x)为奇函数，，f(x)=-匕二=-上q

4-+11+4

2Xxe(-l,0)

4X+1v-n

又f(0)=0,.丁⑻胃)

2X

-----XG(0,1)

l4x+1I'

17、您熟悉周期函数的定义不？

(若存在实数T(TWO),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数,T就是一个周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),则

(答：f(x)是周期函数，1=22为£仪)的一个周期)

又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(o)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

18、您掌握常用的图象变换了不？

f(x)与f(-X)的图象关于y轴对称

f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与-f(-X)的图象关于原点对称

f(x)与ft(x)的图象关于直线y=x对称

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称

将y=心)图象左移止。)个单位,丫=矽+.

右移a(a>0)个单位y=f(x-a)

上移b(b〉0)个单位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”变换:

f(x)——>|f(x)|

f(x)—>f(|x|)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=gg2(x+1)及y=k>g2|x+1|的图象

y=log2x

19、您熟练掌握常用函数的图象与性质了不？

(1)一次函数：y=kx+b(kwo)

VV

(2)反比例函数：y=—(kw0)推广为y=b+----(kwO)是中心O，(a,b)

xx-a

的双曲线。

(3)二次函数y=ax?+bx+c(aH0)=a(x+穿图象为抛物线

2

顶点坐标为卜A4ac-b,对称轴x=-2

4a

h?

开口方向：a>0,向上，函数丫皿认=------

4ac-b2

a<0,向下,y

max4a

应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一一二次方程

ax2+bx+c=O,△>()时，两根X］、X2为二次函数y=a\2+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程ax?

一根大于k,一根小于kof(k)<0

(4)才旨数函数：y=aX(a>0,a^l)

(5)对数函数y=logax(a>0,awl)

由图象记性质！(注意底数的限定！)

(6)“对勾函数"y=x+1(k>0)

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别就是什么？

20、您在基本运算上常出现错误不？

指数运算：a°=l(a*0),a-P=J(a*0)

a

an=Va™*(a>0),an=—(a>0)

Vam

对数运算：log：,M,N=logaM+k)gaN(M>0,N>0)

loga或=logaM-logaN,loga由=-logaM

Nn

对数恒等式：2幅*=*

10gcbn

对数换底公式：logab==>lograb=—logab

a

logcam

21、如何解抽象函数问题？

(赋值法、结构变换法)

如：⑴XGR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=—t=f[(—1)(—t)]=f(t,t)

/.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

Af(-t)=f(t)……)

(3)证明单调性:f(x2)=f[(x2-x,)+x2]=...

22、掌握求函数值域的常用方法了不？

(二次函数法(配方法)，反函数法,换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法

等。)

如求下列函数的最值：

(1)y=2x—3+J13—4x

2Vx-4

(2)y=V77T

(3)x>3,y=&^

(4)y=x+4+，9-x?(设x=3cos。,0e[0,可)

/、9

(5)y=4x+—,xe(0,1]

x

23、您记得弧度的定义不？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式与扇形面积公式不？

(Z=|a|•R,S扇=g/•R=Ja|•RD

24、熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

…JT

如：若---<0<0,则sin。，cos0,tan。的大小顺序是

8

71

又如：求函数y=1-V^cos------X的定义域和值域。

2,

(V1-V2)-1—V2sinx>0

6

/.sinx<——，如图:

2

2k兀-<x42k7r+：(keZ),0<y<Jl+叵

25、您能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象不？并由图象写出单调区间、对称点、

对称轴不？

|sinx|<1,|cosx|<1

对称点为(k二,0),keZ

y=sinx的增区间为2kjr-,2卜兀+曰(keZ)

减区间为2k兀+二,2kn+—(k〃)

22

图象的对称点为(km0),对称轴为*=1＜兀+5化62)

y=cosx的增区间为［2k7i,2k兀+兀］(kGZ)

减区间为［2k兀+兀，2k兀+27t］(kGZ)

图象的对称点为3兀+叁，0j,对称轴为x=k兀(k$Z)

y=tanx的增区间为(k兀一］,ku4-kGZ

26.正弦型函数y=Asin(cox+(p)的图象和性质要熟记。[或y=Acos((ox+(p)]

2TC

(1)振幅|A|,周期T=

|w|

若f(X。)=土A,则x=x0为对称轴。

若f(Xo)=O,则(X。，0)为对称点，反之也对。

TT3TT

(2)五点作图：令cox+(p依次为0,—,71,一，2兀，求出x与y,依点

22

(x,y)作图象。

(3)根据图象求解析式。(求A、3、＜p值)

(B(X］)+(p=0

如图列出，兀

(O(X2)+(p=-

、乙

解条件组求8、中值

A正切型函数y=Atan(cox+(p),T=-j—j

27、在三角函数中求一个角时要注意两个方面一一先求出某一个三角函数值，再判定角的

范围。如：cosfx+—,xe7t,—,求x值。

.7兀兀5K

•-----<X4------<----，••X4------=

6364

28、在解含有正、余弦函数的问题时,您注意(到)运用函数的有界性了不？

如：函数y=sinx+sin|x|的值域是

(xNO时，y=2sinxe[-2,2],x<0时，y=0,.*.ye[-2,2p

29、熟练掌握三角函数图象变换了不？

(平移变换、伸缩变换)

平移公式：

(1)点P(x,y)>P'(x'，y'),则

平移至[y'=y+k

(2)曲线f(x,丫)=0沿向量:=(3k)平移后的方程为f(x-h,y-k)=O

如：函数y=2sin(2x-三)-1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的

图象？

=2sin(2x--B1横坐标伸长到原来的2倍,,=2sin2|

纵坐标缩短到原来的上倍

--------------------------2----->y=sinx)

30、熟练掌握同角三角函数关系与诱导公式了不？

如：1=sin-a+cos-a=sec"a-tan-a=tana•cota=cosa•seca=tan—

4

TT

=sin—=cosO=......称为1的代换。

2

“k•巴士a”化为a的三角函数一一“奇变，偶不变，符号看象限”，

2

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

,9兀(।一V)+sin(21兀)

如rl：cos—+tan|

dai〜皿sina+tana加

又如：函数y=-----------------，贝叼的值为

cosa+cota----------------

A、正值或负值B、负值C、非负值D、正值

.sina

sina+sin2a(cosa+1)八..八、

(y=----------强*L=_-----------^>0,Va^O)

…~।cosacos-a(sina+1)

cosa+------'，

sina

31、熟练掌握两角与、差、倍、降幕公式及其逆向应用了不？

理解公式之间的联系：

令a=B

sin(a±p)=sinacosp±cosasin0>sin2a=2sinacosa

令a邛

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp->cos2a=cos2a-sin2a

taK”tana±tanj

=2cos2a-1=1-2sin2a=>

1+tana•tanp

2l+cos2a

Vcosa=-------------

2tana2

tan2a=

1-tan2a.1-cos2a

sin-2a=-------------

2

asina+bcosa=7a2+b2sin(a+(p),tan(p=—

sina+cosa=V2sin^a+—

sina+V3cosa=2sin[a+]

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少，分母中不含三角

函数，能求值,尽可能求值。)

具体方法：

(1)角的变换：如p=(a+B)-a,巴生

(2)名的变换:化弦或化切

(3)次数的变换:升、降基公式

(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

如：已知；naco;a_tan(a-[3)=-2,求tan(p-2a)的值。

sinacosacosa2

（由已知得:1,tana

2sin2a2sina2

2

又tan(p-a)

3

2」

・'一2。)=-«)-«]=

,21

1+—・

32

32、正、余弦定理的各种表达形式您还记得不？如何实现边、角转化，而解斜三角形?

u2.2_2

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=>cosA=-----------------

2be

（应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。）

a=2RsinA

b

正弦定理：———=2R<=><b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S.=­a,bsinC

A2

'/A+B+C=7t>/.A+B=7t-C

A+BC

sin(A+B)=sinC,sin=cos一

22

A+B

如AABC中，2sin2--------+cos2c=1

2

（1）求角C；

c

(2)若a?=b?+—，求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得：1—8S(A+B)+2COS2C—1=1

XA+B=兀-C,.*.2cos2C+cosC-1=0

・・・cosC='或cosC=—l(舍)

2

IT

又0<C<7T,.*.C=-

3

(2)由正弦定理及a2=b?+」c2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—=—

34

3

1—cos2A—1+cos2B——

4

，cos2A-cos2B=——)

4

33、用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinxG--,],xG[-1,1]

反余弦：arccosx40,可，xe[-L1]

反正切：arctanx小，(xE^)

34、不等式的性质有哪些？

,、c>00ac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b-i-d

(3)a>b>0,c>d>0=>ac>bd

(4)a>b>0=>—<—,a<b<0=>—>—

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)|x|<a(a>0)o-a<x<a,|x|>aoxv-a或x>a

如：若工<L<0,则下列结论不正确的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

ab

C.|a|+|b|>|a+b|D.-+->2

ba

答案:C

35、利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,beR')；a+b>2Vab;abW1a:‘求最值时，你是否注

意到“a,beR+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定

值？(一正、二定、三相等)

注意如下结论：

忙j等2配篝(a，b，R+)

当且仅当a=b时等号成立。

a2+b2+c2>ab-l-be+ca(a,beR)

当且仅当a=b=c时取等号。

a>b>0,m>0,n>0,贝lj

bb+m.a+na

—<----<1<----<—

aa+mb+nb

如：若x>0,2-3x-&的最大值为

X------------------

(设y=2—卜x+±)W2—2^=2—4g

2V3

当且仅当3x=3,又x>0,...x=时，丫皿=2-46）

x3

又如：x+2y=L则2*+4丫的最小值为

（V2X+22y>2亚通=26,：.最小值为2班）

36、不等式证明的基本方法都掌握了不？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：证明l+[y+3+…+斗<2

2232n2

(1+1+4+……+』<一+，+……+-1_

2232n21x22x3(n-l)n

=1+1-……+

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式*>a（aH0）的一般步骤是什么？

（移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。）

38、用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

1是偶重根

12

如：(x+l)(x-1)2(x-2)3<0

39、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a>1或0<a<1讨论

40、对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号,最后取各段的并集。）

例如:解不等式|x-3-|x+l|<l

4

如：若x>0,2-3x-一的最大值为

x---------

（设y=2—（3x+4142-2疝=2—

当且仅当3x=±又x>0,.•0=空时，=2-473)

又如：x+2y=l,则2*+4，的最小值为

(V2X+22y>26西=2厅，最小值为20)

36、不等式证明的基本方法都掌握了不？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：证明1+4+[+…+二<2

八111,111

(1+F+F+H亍〈Id-----1------F...+7---\-

2232n~1x22x3(n-l)n

.11111

1+1——+---++-------

223n-1n

2—<2)

n

37.解分式不等式怒〉a（a#0）的一般步骤是什么？

（移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。）

38、用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：(X+l)(x-1)2(X_2)3<0

39、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a>1或0<a<1讨论

40、对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号,最后取各段的并集。）

例如:解不等式|x-3-|x+l|<l

⑴若m+n=p+q,贝!Ja,”+a,,=ap+aq；

（2）数列包1｝，包/阿+b｝仍为等差数列;

Sn,S2n-Sn,S3n—S2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；

（4）若a”,bn是等差数列［为前11项和，则9=2叱L;

Dm12m-I

（5）,11｝为等差数歹（］0511=0112+加（a,b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

S”的最值可求二次函数S,,=an2+bn的最值；或者求出｛a0｝中的正、负分界

项，即:

la>0

当为〉0,d<0,解不等式组广一八可得S”达到最大值时的n值。

1amW0

a<0

当为<0,d>0,由“-可得S”达到最小值时的n值。

如：等差数列｛aj,Sn=18,an+an_1+an_2=3,S3=1,贝!Jn二

+a

（由+%-1n-2=3=>3an_）=3,..an_）=1

又S3=®；的）•3=3a2=1,/.a2=

.・.n=27)

44、等比数列的定义与性质

定义：殳叱=4（q为常数，q。0）,a_=a|q"T

an

等比中项：x、G、y成等比数列=>G?=xy,或6=±m^

na1(q=1)

前n项和：S（要注意！）

(qw1)

性质：｛a0｝是等比数列

⑴若m+n=p+q,贝％・an=ap,aq

(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等比数列

45.由Sn求a”时应注意什么？

(n=l时，a,=S,,nN2时，an=Sn—Sn_,)

46、您熟悉求数列通项公式的常用方法不？

例如:⑴求差(商)法

如：｛aj满足+5a2+.....+^7an-2n+5<1>

解：n=l口寸，—a.=2x1+5,/.a,=14

2

nN2时，ya,+p-a2+....+^^”1=211-1+5<2>

<1>—<2>得：—a,、=2

2"

14(n=1)

2n+l(n>2)

［练习］

数列{aj满足S0+Sn+i=gan+"a1=4,求a”

（注意到2向=5用-511代入得：》=4

又勒=4,...{Sj是等比数列，Sn=4n

n>2Bj-,an=Sn-Sn_,=3•4

(2)叠乘法

例如：数列｛aj中，a,=3,生旦=」一,求丁

ann+1

a

解.阻.阻....n_j_.2.........n-],.an_1

H|a2an_j23nn

.3

・乂a[=3，••3—

nn

(3)等差型递推公式

由-a「i=f(n)，a(=a0,求用迭加法

nN2时,a2-aj=f(2)

%一22T⑶,两边相加，得:

an-an-!=f(n).

an-a,=f(2)+f(3)+……+f(n)

/.an=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)

[练习]

n_1

数列｛aj,at=l,an=3+an.,(n>2),施口

(an=l(3"-l))

(4)等比型递推公式

an=can_1+dd为常数，c#0,crl,d#O)

可转化为等比数列，设a。+x=c(an_,+x)

na”=cae+(c-l)x

令(c-l)x=d,x=—-

c-1

...八+旦］是首项为由+a,c为公比的等比数列

Ic-1c-1

.,dd•Cn-1

,・a”Fa,+c^l

［练习］

数列｛a,,｝满足a1=9,3an+1+an=4,求3门

(5)倒数法

2a

例如：a,=1,a=—^7，求a“

n+la”+2

I__.>1U+211

由已知得：——=—n—=-+—

^n+l2an2Hn

1_____

an+|an2

.一,为等差数列，-=1,公差为1

lan]2

J1+("1)•g=g(n+l)

a.

.2

••an=---7

n+1

47、您熟悉求数列前n项与的常用方法不？

例如：(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之与，使之出现成对互为相反数的项。

如：｛a/是公差为d的等差数列，求£」一

k=l^k^k+l

解:由~~7=-［-———(dH0)

ak-ak+1ak(ak+d)d<akak+1；

k=ldkdk+lk=luVdkdk+R

平」)

dva,an+l；

［练习］

求和：1+」一+——-——++---------------

1+21+2+31+2+3+....+n

(2)错位相减法：

若｛a0｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，求数列｛a,,bn｝(差比数列)前n项

和，可由Sn-qS”求S。，其中q为｛bj的公比。

23n-1

如：Sn=l+2x+3x+4x+....+nx<1>

234n-111

x,Sn=x+2x+3x+4x4-....+(n—l)x4-nx<2>

2n-1n

<l>-<2>:(1-X)Sn=1+X+X+....+x-nx

,n(n+1)

x=l时，Sn=1+2+3+...+n=-^——

n2

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S„=a,+a+...+a„,+a.

11'22nn｝相加

Sn=an+an-l+.............+a2+ai.

2Sn=(a,+an)+(a2+an_I)+....+(a,+an)....

［练习］

已知f(X)=,则f(1)+f(2)+f(g)+f(3)+f(g)+f(4)+f(j=

(MA、/nx2IxJ_x2

_L_=1

1x71+x2i+(l)1+x1+x2

.•.原式=£⑴+f(2)+f(1]+f(3)+f^+_f(4)+f&)_

=-+l+l+l=3-)

22

48、您知道储蓄、贷款问题不？

△零存整取储蓄(单利)本利与计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利与为：

卜咂±Dr］……等差问题

S=p(l+r)+p(l+2r)+....+p(l+nr)=pn-

n2

△若按复利，如贷款问题一一按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款一一分期等额归

还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)P元，采用分期等额还款方式,从借款H算起，一期(如一年)后为第一

次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元，满足

p(l+r)"=x(l+r)"-1+x(l+r)n-2+........+x(l+r)+x

l-(l+r)n

=X

l-O+r)

.、pr(l+r)n

••X—

(l+r)"-1

p----贷款数,r-----利率,n-----还款期数

49、解排列、组合问题的依据就是:分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

(1)分类计数原理：N=ni]+m2+........+mn

(m1为各类办法中的方法数)

分步计数原理：N=ni]•m2.......mn

(m1为各步骤中的方法数)

⑵排列：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A：：.

Ar=n(n-l)(n-2)......(n-m+1)=-~~n'(m<n)

(n—m)!

规定：0!=l

(3)组合：从n个不同元素中任取m(mWn)个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C：.

…A：n(n-1)……(n-m+1)n!

C--------------------------------------------------

"A：m!m!(n-m)!

规定：C：=l

(4)组合数性质:

mn-mni1111n,

Cn=Cn，Cn+Cn-=Cn+l,,C0n+Cn++C：=2”

50、解排列与组合问题的规律就是：

相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间

接法;相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩

Xje{89,90,91,92,93卜(i=l,2,3,4)且满足x1<x?<X3<X4,

则这四位同学考试成绩的所有可能情况就是()

A、24B、15C、12D、10

解析:可分成两类：

(1)中间两个分数不相等，

□□□□

X1<x2<x3<x4

有C；=5(种)

(2)中间两个分数相等

X]<x2=x3<x4

相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,...有10种。

，共有5+10=15(种)情况

51、二项式定理

(a+b)n=C：a"+C>n-'b+C；an-2b2+—+C>n-I'br+-+C^bn

nrr

二项展开式的通项公式：Tr+1-C>-b(r=0,1……n)

C：为二项式系数(区别于该项的系数)

性质：

(1)对称性：C：=C7(r=0,1,2,……，n)

(2)系数和：c^+c^+-+q=2n

C：+C：+C：+…=C：+C：+C：+…=2^

(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

项，二项式系数为C：；n为奇数时，(n+1)为偶数，中间两项的二项式

1_u[n-1n+1

系数最大即第项及第项，其二项式系数为cF=cj

22

如：在二项式(x-l)”的展开式中，系数最小的项系数为(用数字

表示)

(Vn=ll

共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第匕=6或第7项

2

由C；H~(T)r，，取T=5即第6项系数为负值为最小：

Y=V=-426

1042()<M

又如：(1-2X)"=a()+a|X+a2X?+....+a20(Mx(xeR),贝U

a

(o+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+....+(a0+a2004)=(用数字作答)

(令x=0,得：a0=1

令x=L得：a0+a2+....+a2(XM—1

原式=2003a0+(a()+a1+....+a2004^=2003x1+1=2004)

52、您对随机事件之间的关系熟悉不？

(1)必然事件Q,P(Q)=1,不可能事件6P(4>)=0

(2)包含关系：AuB,“A发生必导致B发生”称B包含A。

(3)事件的和(并)：A+B或AUB“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的与(并)。

(4)事件的积(交)：A-BgKAnB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件)：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A•B=(|)

AB

(6)对立事件(互逆事件)：

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件，A

AljA=dAAA—(j>

(7)独立