魏宗舒版《概率论与数理统计教程》课后习题解答 - 副本

第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。解(1)记9个合格品分别为正1,正2正9，记不合格为次，则Ω={(正1，正2)A={(正1，次)2，次)(正9，次)}(2)记2个白球分别为负1，负2，3个黑球分别为b1，1，1，21.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。 (2)在什么条件下ABC=C成立？(3)什么时候关系式C一B是正确的？ 解(1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)ABC=C等价于C一AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。1.3一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。nAi;i=1nnAinn[Ai(Aj)];nAiAj；nnAii1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为A=8根7。所得分数为既约分数必须分子分13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以1.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(A)= 。1.7一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。求概率为891.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是A7 9。97然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？1.11任取一个正数，求下列事件的概率：(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后含的样本点只有71这一点，于是。1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故2连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4.2。所以A包含的样本点数为(5.3.1)(4.2)，于是(2)2n根草的情形和(1)类似得1.13把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。解所求概率为P(A)=1.15在ΔABC中任取一点P，证明ΔABPn2解截取CD,=1CD，当且仅当点P落入ΔCA,B,之内时ΔABP与ΔABC的面nn于n于 22 CD,n22CD11.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等2421x2321x2222422位于x1与x3之间的概率。,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。1.18在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d求三角形与平行线相交的概率。解分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)=P(A2)=0.所求概率为P(A3)。分别用P(A3acP(Ac)=P(Aac)+P(Abc)。所以1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。b个解负1表示白，负2表示黑白，负3表示黑黑白，…负b+1表示黑黑白，2babaa3aab+1 1.21设事件A,B及A不B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB)A2为两个随机事件，证明：=1P(A1)P(A2)+P(A1A2);P(A2)<P(A1A2)<P(A1不A2)<P(A1)+P(A2).2)=1P(A1)P(A2)+P(A1A2) 之0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC)一P(BC)<P(A)证明P(A)之P[A(B不C)]=P(AB)+P(AC)一P(ABC)之P(AB)+P(AC)一P(BC)1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(5)至少订一种报纸的；解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。 (1)P(ABC)=P(A一(AB不AC))=P(A)一P(AB不AC)=30% (3)P(BAC)=P(B)一[P(AB)+P(BC)一P(ABC)]=23% P(CAB)=P(C)一[P(AC)+P(BC)一P(ABC)]=20%P(ABC不+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% 1.26某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？Ni=1n，P(AiAj)=nnn1(AiAj)=nn1.27从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1ia2iani，当且仅当1,2,,n的排列(i1i2in)中存在k使ik=k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则i-11.29已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：Ω={(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，则1.30设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，B表示“所取产(m)(m)(M-m)(m)(m)(M-m)(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”，D表示“所取产品中有一1.31n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：(1)已知前k1(k<n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率；(2)第k(k<n)个人摸到的概率。k|A1Ak1)鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为(λp)reλp。r(1p)krλλλ(1p)=(λp)reλp级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解用Ak表示“任选一名射手为k级”，k=1,2,3,4，B表示“任选一名射手 20 7 20 1 201.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任337 22取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率解用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”A2表示“任取一只产品是乙台机器生产”A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”B表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯公式：=P(A2|B)P(Ak)P(B|Ak)定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？P(A1) , P(A2 2P(A3)= 2 1 P(B|A1) 1 ,7 2 ,7P(B|A3)由贝时叶斯公式得 P(A1)P(B|A1)4P(Ak)P(B|Ak) 1 7，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘1.37证明：若三个事件A、B、C独立，则A不B、AB及A-B都与C独证明（1）P((A不B)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A不B)P(C)（2）PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)（3）P((A_B)C)=P((A_AB)C)=P(AC_ABC)=P(A_B)P(C)1.38试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。54==P(A)P(B)P(C)子P(A)P(B)列事件的概率：(2)n个事件中至少发生一件；(3)n个事件中恰好发生一件。(1_pk)n(1_pk)(3)P[(AkAj)]=Σ(AkAj)=Σ[pk(1_pj)].1.40已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)解一方面P(A),P(B)之0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))=0.现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O型，两个人为A型；为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一2221.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。 2)1-0.42=0.84取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中1.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。n-1(1-p)m.pn(1-p)m1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1<r<n）的概率。了2nr次火柴，且第2nr次是从甲盒中取的，即在前2nr1在甲盒中取了n1，其余在乙盒中取。所以P(A0BrC)=n1.nr.由对称性知P(ArB0C)=P(A0BrD)，所求概率为：2nr1第二章离散型随机变量2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？30.35)0.25)2解)))(11n()))(11n(1)22(1)2 |) |)（2)（（2)（2)2n22（3)2（3)2（3)>0,n为自然数，且n=1，所以它是随机变量的分布列。解「2(2)2(2)3]所以C27解「2(2)2(2)3]所以C272.4随机变量ξ只取正整数N，且P(ξ=N)与N2成反比，求 6，N取正整数。n-m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。解k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则ξ的分布列为：m(m-1)(m-k+1)(n-m)n(n-1)(n-k)32.6设某批电子管的合格品率为4不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第ξ次为首次测到合格品，求ξ的分布列。（4)42.7一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。解解2.8抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，设ξ为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求ξ的分布列。k-1p+pk-1q,k=2,3,，其中q=1-p。2.9两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解设ξ,η表示第二名队员的投篮次数，则k-10.4k-10.4+0.6k0.4k-10.6=0.76.0.24k-1,k=1,2,；222。2.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。2.12如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解设ξ为时间t内通过交叉路口的汽车数，则2.13一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率p=，因而，至少出现三个错误的概率为kk500一k2．14某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装100+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使0.9<10+x0.03k0.97100+x-k，利用普哇松分布定理求近似值，取λ=(100+x)根0.03~3，于是上式相当于0.9<e-3，查普哇松分布数值表，得x=5。求边际分布列。解P(ξ=n)=P(ξ=n,η=m)=λne-λn!m(1-p)n-m(λp)me-λpm!2.17在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为ξ、自的边际分布列。m0.54-m，m=0,1,2,3,4；n0.74-n，n=0,1,2,3,4；k0.84-k，k=0,1,2,3,4。2.18抛掷三次均匀的硬币，以ξ表示出现正面的次数，以η表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(ξ,η)的联合分布列及边际分布列。l0222证明ζ,ξ,η两两独立，但不相互独立。 2 2所以ζ,ξ相互独立。同理η与ζ相互独立。 1q6 1 p2q5++p6q1= 1 (2)6q6布列。布列。2.27设独立随机变量ξ与η分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求解设ξ为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)=pη为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)=p而ξ与η相互独立，所以ξ+η为n1+n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而2.28设ξ与η为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为2。22222)+=E(ξ2)2Eξ2+4Eξ+=2k__12_(Eξ)2=22.31设离散型随机变量ξ的分布列为：P[ξ是否有数学期望？ k伪因为级数 k伪因为级数(_1)k]发散，所以ξ没有数学期望。2.32用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中物品的重量（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，Eξ2Eξ3所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。2且222.34对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为p1、p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学p1+p2+p3。l0第i架仪器发生故障第i架仪器未发生故障1+p2+p3。检查，求查得不合格品数的数学期望。则ηi的分布列为则，因而Eηi=。设ξ为查得的不合格品数，ii=12.38从数字0，1，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。22.39把数字1,2,,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。k的分布列为：2.40设ξ为取非负整数值的随机变量，证明：证明(1)由于Eξ=nP(ξ=n)存在，所以该级数绝对收敛。从而Eξ=nP(ξ(2)Dξ存在，所以级数Eξ2=n2P(ξ=n)也绝对收敛，从而2.41在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为ξ,则1pn)=pn1n1,n1)+ΣP(ξ之n)=1+Σ(pn一1+qn=2nn=2 =2.42从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。2.43对一批产品进行检验，如果检查到第n0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第n0件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？2.44流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解设第i1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为ξi，=jqj1p12p。2.46设随机变量ξ与η独立，且方差存在，则有2.Dη+Dξ.(Eη)2（由此并可得D(ξη)之Dξ.Dη)2Eη2-Eξ2(Eη)2+Eξ2(Eη)2-(Eξ)2(Eη)22.47在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为ξ和一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在2.49在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令l0在第i次试验中A不出现l0在第i次试验中A不出现i2n)i1i2n)rqn-1rqn-rn2n试证：证明P(ξ12kn-kP(ξ11P(ξ1P(ξ12P(ξ1=P(ξ12由普哇松分布的可加性知ξ1+ξ2服从参数为λ1+λ2的普哇松分布，所以kn-k几何分布，即有P(ξi=k)=qpk-1,k=1,2,,(1<i<r),其中q=1-p。试证明在=n的条件下，(ξ1,ξ2,,ξr)的分布是P(ξ1rrr1(n-1)|(n-1)r1rr1r)rr相互独立且服从同一几何分布，所以rknrpn-r。rpn-r=1。rpn-r第三章连续型随机变量3.1设随机变数ξ的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：3.2函数F(x)=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果解1）F(x)在（-伪,伪）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；（2）F(x)在（0，伪）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；则(x)可以是某一随机变量的分布函数。3.3函数sinx是不是某个随机变数ξ的分布密度？如果ξ的取值范围为π解1）当x=[0,]时，sinx>0且sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度；（2）因为sinxdx=2产1，所以sinx不是随机变量的分布密度；（3）当x=[π,π]时，sinx<0，所以sinx不是随机变量的分布密度。3.4设随机变数ξ具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)=p(一x),证明：对任意的p(x)dx=1p(x)dxp(x)dxp(x)dx2p(x)dx=1p(x)dx；21-F(a)=-p(x)dx故上式右端=2F(a)-1；也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？x2)，(x1)x2)，于是F(x1)(x1)(x1)(x2)(x2)又limF(x)=lim[aF1(x)+bF2(x)]=0x喻-mx喻mx喻mx喻m所以，F(x)也是分布函数。1l1x2这时显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。(xe(xe-xx>0求相应的密度函数，并求P(ξ<1)。解：[1-(1+x)e-x]=xe-x，所以相应的密度函数为求常数A及密度函数。3.8随机变数ξ的分布函数为F(x)=A+Barctgx，求常数A与B及相应的密度函x喻-伪2所以2)（1）求相应的分布函数F(x)；x(2-y)dy=2x-1x2-11<x<23.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。Acosxdx=2Acosxdx=2A=1，所以A=;所以3|Rl13.13某城市每天用电量不超过一百万度，以ξ表示每天的耗电率（即用电量除以一万度它具有分布密度为2其若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？12x(1-x)2dx=0.02720.9因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.14设随机变数ξ服从（0，5）上的均匀分布，求方程4x2有实根的概率。解：当且仅当因此，该方程有实根的概率3.17某种电池的寿命ξ服从正态N(a,σ2)分布，其中a=300（小时σ=35（小时）(1)求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9。=Φ()-Φ(-)=2Φ()-1ξ-30035x<35即所以即3.18设Φ(x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x>0时，有 e-ye-dydy所以 对每个变元单调非降，左连续，且F(-伪,y)=F(x,-伪)=0，F(-伪,+伪)=0，但是F(x,y)并不是一个分布函数。可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。limF(x-Δx,y)=limF(x,y-Δy)=0=F(x,y)，Δx专0Δy专0limF(x-Δx,y)=limF(x,y-Δy)=1=F(x,y)，Δx专0Δy专0所以F(x,y)对x、y左连续。（4）P(0<ξ<2,0<η<2)=F(2,2)-F所以F(x,y)不是一个分布函数。求(ξ,η)的分布函数。=sin(t+s)dsdt=[cot-cos(t+y)]dt=[sinx+siny-sin(x+y)],所以(0(x<0)-(y<0)(1+siny-cosy)l0其它（2）求相应的分布函数；ke-3x-4ydxdy=伪e-3xdx=，F(x,y)=12e-3t-48dtds=12(e-3tdt)(e-48ds)=(1-e-3x)(1-e-4y)，-3x)(1-e-4y)l0所以其它=F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0)=1-e-3-e-8+e-11。3．25设二维随机变数(ξ,η)有密度函数p(xy)=A求常数A及(ξ,η)的密度函数。p(x,y)dxdydxdy1所以，A=20；p(t,s)dtds)()x<y4xydxdy=4xydydx=2(x-x2)dx=;x<y求ξ与η中至少有一个小于的概率。其它3.30一个电子器件包含两个主要组件，分别以ξ和η表示这两个组件的寿命（以小时计((1-e-0.01x-e-0.01y+e-0.01(x+y)求两个组件的寿命都超过120的概率。其它1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使p(x,y)=p1(x)p2(y)+h(x,y)成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则p(x,y)dxdy=1(x,y)dxdy=0得到满足。反之，若条件（12）满足，则p(x,y)dxdy=1p(x,y)为二维分布的密度函数。因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。3.32设二维随机变数(ξ,η)具有下列密度函数，求边际分布。k-1(y-x)k-1e-y0<x<yl|0其它lpξ(x)=伪e-(x+y)dy=πe-xx1-x1-y所以，pξ(x)=2πe2。同理，pξ(y)=(y-x)k-1e-ydy=xk-1e-x,(x>0)pξ(x)=0,(x<0)pη(y)=xk1-1(y-x)k2-1dx=yk1+k2-1,(y>0)3.34证明：若随机变数ξ只取一个值a，则ξ与任意的随机变数η独立。证：ξ的分布函数为Fξ(x)设η的分布函数、(ξ,η)的联合分布函数分别为Fη(y),F(x,y)。F(x,y)=Fξ(x)Fη(y)，故ξ与η相互独立。3.35证明：若随机变数ξ与自己独立，则必有常数c，使P(ξ=c)=1。F(x)=0或1。由于F(-伪)=0,F(+伪)=l0l0x2x22其它问ξ与η是否独立？是否不相关？22由于p(x,y)产pξ(x)pη(y)，所以ξ与η不相互独立。又因p(x,y),pξ(x),pη(y)关于x或关于y都是偶函数，因而Eξ=Eη=E(ξη)=0，3.41设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解：设这类电子管的寿命为ξ,则0dx所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(23)3=827；三个这类管子全部要替换的概3.44对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。3336y3362dy。由ξ的密度函数pξ(x)=1(b-a)，a<x<b，得η的密度函数为pη(y)=33623,其它。3.45设随机变数ξ服从N(0,1)分布，求ξ的分布密度。πe-t。所以ξ的分布密度p(x)=2/π.e-x2/2,(x3.46设随机变数ξ服从N(a,σ2)分布，求eξ的分布密度。布密度为23.47随机变数ξ在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0（例如正态分布等其分布函数解：因为ξ在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0，所以Fξ(x)是严格上升函数。由于[0,1](x)，对任意的x都成立。所以ζ与ξ的分布函数相同。解（1）pξ(x)=1/(ba),a<x<b;pξ(x)=0pξ(xy).pη(y)dy=(ba)βa)dy=[min(xa,β)max(xb,a)]/[(ba)(βa)],a+a<x<b+β;pξ+η(x)=0，其pξ+η(x)==[min(x+a,a)max(x,0)]/a23.49设随机变量ξ与η独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为求ξ+η的密度函数。pξ(xy).pη(y)dy，x+ydyey+ydy](λe-(λe-λx)exae-dy+e-dy+伪e-dy]=(1-)exa所以1-|x|pξ+η(x)=4a2(a+|x1-|x|3.50设随机变量ξ与η独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为pdx[-]dx2+yarctg(x-y)]|伪22所以p1(z)2)3.51设随机变量ξ与η独立，分别具有密度函数-μxpξ+η(x)=μe-μ(x-y)λe-λydy=μλe-μxe-(λ-μ)ydy--μ)[e-μxe-λx],λ产μ|lλ2xeλx,λ=μpξ+η(x)=03.53设随机变量ξ与η独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|ξ-η|的分布。-(t1)dt(1t)dt2xx2-(t1)dt(1t)dt2xx2x0所以|ξ-η|的分布密度为p|ξ-ηp|ξ-η|(x)=3.54设随机变量ξ与η独立，分别服从参数为λ与μ的指数分布，求ξ-η的分布密pξ(y)p-η(x-y)dyμ)所以(λμeμxpξ-η(x)(λμeμxpξ-η(x)=〈-λxμ3.56设随机变量ξ与η独立，且分别具有密度函数为pξ(x)=-x22证明ξη服从N(0,1)分布。 1-x2(x)=x-3e2 1-x2(x)=x-3e2x1η|x|pξ(yx)pη(x)dxη2令12x2pξη(y)=u--udu=πe-y2所以ξη服从N(0,1)分布。3.58设随机变量ξ与η独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求ξ的密度函数。ηηpξ(xz)pηη所以 a apξη(x23.59设随机变量ξ与η独立，都服从参数为λ的指数分布，求ξξη-伪η伪p(xy)p(y)|ξξη-伪η的密度函数。λ2e-λxye-λyydy=η3.60设二维随机变量(ξ,η)的联合分布密度为证明：ξ与η不独立，但ξ2与η2独立。证：由于p(x,y)产pξ(x)pη(y)，所以ξ与η不独立。由于223.61设随机变量ξ具有密度函数2x求Eξ,Dξ。xx2cos2xdx=-3.62设随机变量ξ具有密度函数求Eξ及Dξ。Eξ2(0试确定常数(a,b)，并求Eξ与Dξ。解：由分布函数的左连续性，其它其它=12dx2dx2d2=/2sin2tdt=1/2其中a>1,β>0,求常数A,Eξ及Dξ。故122222221211123.67地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为ξ（秒则ξ服从[0,300]上的均匀分布，则.x2.dx=30000(秒2=7500(秒2rErEn为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型证明：对证：ξj/ξi同分布(j=1,,n)，又ξj/ξi<1，所以Eξj/ξi都存在且相等/ξi/ξi，所以3.72设ξ是非负连续型随机变量，证明：对x>0，有ξ(t)ξ(t)dtξ(t)dtξ(t)dtxξrrξr。x>εpξ(x)dx<x>εrr.pξ(x)dx中a,b,c,d均为常数，a,c皆不为零。1Eη1= ac.acl-p1n-11n-1。证：0<E[Σ1(ξi-Eξi)]2Σ(Dξi+Dξj)(n-1)]，n-13.84证明下述不等式（设ξ,η都是连续型或离散型随机变量p]1/pη'p]1/pp]1/pη'p]1/ppp-1(Eξp+Eηp)(2)若ξ与η都具有p>0阶矩，则ξppξpp)Eηp]1/pp]1/p[E即所谓的明可夫斯基不等式，η证明略。xx+y22x+y22即px+ypppx+yp故ηp-1(Ep+Epηpp|y|p)，故ξppξpp)Eηk=1kk=13.88设二维随机变量(ξ,η)的联合分布密度为((n-1)(n-2)|((n-1)(n-2)|其它ηl0其它n-1(n-1)(2nyηl0其它3.89设随机变量ξ服从N(m,τ2)分布，随机变量η在ξ=x时的条件分布为N(x,σ2)，求η的分布及ξ关于η的条件分布。 22)l 22)l2(σ2).pξ|η(x|y)2，故在η=y时，ξ的条件分布为N(σy,στ2)。,为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量η只取正整数值，η伪EΣξk=ΣEξk.P(η<k)证：Eξk=EE(ξkη)k=1)k=1)k)k3.91求下列连续型分布的特征函数：（1）(-a,a)上的均匀分布(a>0)，（2）柯西分布，其密度函数为（3）T-分布，其密度函数为a-1.e-βxx>0(a>0,β>0)itxitxitb由拉普拉斯积分a/a/-β3.93若Q(t)是特征函数，证明下列函数也是特征为正整数）证1）若Q(t)是随机变量ξ的特征函数，则Q(-t)是随机变量η=-ξ的特征函数；（2）若ξ与η独立同分布，其特征函数为Q(t)。则Q(t)2=Q(t).Q(-t)是随机变量（3）若ξ1,,ξn独立分布，其特征函数为Q(t)。则[Q(t)]n是随机变量η=Σ1ξi的特征函数。3.94证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：.e-it,所以cost是两点分布.e-it,所以cost是两点分布ξ-11P的特征函数。的特征函数。.e-2it+.e-2it+ξ-202P11-it（3）密度函数为p(x)=e-x,x>0;p(x)=0,11-it是密度函数为p(x)=ex,x<0;p(x)=0,x>0的分布的特征函数。sintt（4）[-sintt,所以互相独立且同为[-1,1]上均匀分布的两个随机变量和的特征函数为()2，即()2是密度函数为0的分布的特征函数。其它ikt，所以是几何分布的特征函数。 例子。解：令l0则Q(t)满足（12但Q(t)在t=0点不连续，故Q(t)不是特征函数。是特征函数，并求出它的分布函数。伪伪故欲证Q(t)是特征函数，仅须验证p(x)=伪伪e.Q(t)dt=ae-itx.是密度函数由于p(x)之0，伪伪所以Q(t)为特征函数，其分布函数为h(t)=p(t).也是特征函数。证：设ξ与η相互独立，ξ的特征函数为Q(t)，η服从[-h,h]上的均匀分布，η的特征函n为n个独立同柯西分布的随机变量，证明 ξi与ξ1 证：柯西分布p(x)=.(x-b2+a2的特征函数Q(t)=eibt-at.故.ξi的特征函数为nibt-at.所以.ξi与同分布。n为独立同T-分布的随机变量，求ξi的分布。-a。故ξi的特征函数为n-na，所以ξi也是T-分布，其密度函数为p(x)=T).xna-1.e-βx，x>0；p(x)=0，3.100设二维随机变量(ξ,η)具有联合密度函数为22)]证明：ξ+η的特征函数等于ξ,η的特征函数的乘积，但是ξ与η并不相互独立。p(x,z-x)dxξ+η的特征函数为2。sintt故ξ与sinttp(x,y)=pξ(x).pη(y)，故ξ与η不互相独立。特征函数等于ξ、η的特征函数的乘积，但ξ与η不独立。证：由ξ的特征函数Qξ(t)=e-tξη(t)。故F(x)=0或1，此与ξ服从柯西分布相矛盾，故ξ与η互不独立。3.102判别下列函数是否为特征函数（说明理由22)222)2（5）是的，拉普拉斯分布p(x)=.e-x的特征函数为，所以也是特征第四章大数定律与中心极限定理l0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？(1){D(x+n)};(2){D(x+)};(3){D(x-0},其中n=1,2,|2n|2n问F(x)=Fn(x)是分布函数吗？解：不是。4.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(-伪,伪)上一致收敛于F(x)。证：对任意的ε>0，取M充分大，使有1-F(x)<ε,vx之M;F(x)<ε,vx<-M对上述取定的M，因为F(x)在[-M,M]上一致连续，故可取它的k分点：x1x0k+1这时存在N，使得当n>N时有n(xi)>F(xi)-εFn(x)F(x)F(xi1)F(x)F(xi1)F(xi)2，Fn(x)F(x)F(xi)F(x)F(xi)F(xi1)2，即有Fn(x)F(x)2成立，结论得证。4.5设随机变量序列n同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有证：对任意的0有n，故0PPnPn0,n0即对任意的0有P0成立，于是有PPk1P0从而P()1成立，结论得证。4.6设随机变量序列n，n分别依概率收敛于随机变量与，证明：nnnnn故即n0P(nn)P0P(nP成立。nPn0,nP2M21，使有PM1成立，对取定的M，存在N，当nN时有M2Pn1Pn成立这时有ξnaξna=a2ξn-aξnaξn-aa2-aε n-ξn-ξn-ξn-ξ|n-ξ|从而有P(|ξ-ξ2|n-ξ||ξn+ξ|nn<P(|ξn-ξ|nP