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第七节、虚宗量Bessel函数一、虚宗量Bessel函数对于长为L的圆柱体的导热问题，若定解问题为：在柱标系中，定解问题表示为：再令：，则：利用分离变量法求解，令：0，在柱体两个端面为奇次边界条件，则显然有：即令：

=-h2，则：而径向方程为：令：x=rh，y(x)=R(x)，则：很显然，若做映射，则：很显然：g(x)=Jv(x)，所以：y(x)=g(ix)=Jv(ix)，即虚宗量Bessel方程的解可表示为：y(x)=i-v

Jv(ix)。令：则：我们称Iv(x)为虚宗量Bessel函数。二、虚宗量Bessel函数的性质若v为非整数，则Iv(x)与I-v

(x)线性无关，可以构成一对线性无关解，而为整数时：和Bessel函数类似，In(x)与I-n

(x)线性相关，无法构成线性无关解，所以仿照Neumann函数的定义，我们引入第二类虚宗量Bessel函数，令：则根据虚宗量Bessel函数的定义有：所以：同时有：若

为整数，则：根据Bessel函数的递推性质，可得：证明：由虚宗量的基本递推关系得：即：由此可得虚宗量Bessel函数的递推关系：例：匀质圆柱体，半径为R，高为H，柱体侧面有均匀分布的恒定热流进入，其强度为q0，柱体端面恒为0度，球柱体内温度分布。解：该问题是热传导问题，其定解问题为：系统具有轴对称性，在柱标系中，定解问题表示为：则分离变量后的常微分方程为：利用分离变量法求解，令：由此得常微分方程的定解问题：显然径向方程的本征解为：轴向方程的本征解为：则系统的通解可表示

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