福建省漳州市古农中学高三数学理期末试题含解析

福建省漳州市古农中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的大致图像是（

）A．B．C．D．参考答案：A

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象；3.函数的极限.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、图象特征，属中题；在研究函数与函数图象的对应关系时，应从函数的定义域、奇偶性、单调性、最值、渐近线等性质去考查，把握函数的整体趋势，才能准确作图或找到函数对应的图象.如本题就是先考查函数的奇偶性，再研究在与时趋势选出正确答案的.2.是x>2的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略3.已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是（1，1），则

||的最大值为（）A．3 B．4 C．3－1 D．3+1 参考答案：【分析】设A（cosθ，sinθ），B（﹣cosθ，﹣sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ＜2π，0≤α＜2π，由M（1，1），求出=（cosα﹣3，sinα﹣3），从而||==，当且仅当sin（）时，||取最大值．【解答】解：∵A，B，C是圆O：x2+y2=1上的动点，且AC⊥BC，∴设A（cosθ，sinθ），B（﹣cosθ，﹣sinθ），C（cosα，sinα），其中0≤θ＜2π，0≤α＜2π，∵M（1，1），∴=（cosθ﹣1，sinθ﹣1）+（﹣cosθ﹣1，﹣sinθ﹣1）+（cosα﹣1，sinα﹣1）=（cosα﹣3，sinα﹣3），∴||===，当且仅当sin（）时，||取最大值=3+1．故选：D．【点评】本题考查向量的模的最大值的求法，考查圆的参数方程、三角形数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4.

若复数满足（为虚数单位），则A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B5.设，则

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知，则函数的零点个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：7.已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为(

)A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数y=|f（x）|=的图象，数形分析可得实数a的取值范围为[y′|x=0，0]，求导可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴函数y=|f（x）|=的图象如下图所示：∵y′=，故y′|x=0=﹣1，故若|f（x）|≥ax，则a∈[﹣1，0]，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，恒成立问题，导数的几何意义，难度中档．8.某种动物繁殖量（只）与时间（年）的关系为,设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到

（

）

A．200只

B．300只

C．400只

D．500只参考答案：A略9.已知实数，满足．则目标函数的最大值是（

）．A．

B．

C．

D．4参考答案：D略10.设为虚数单位，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正项等比数列中，若成等差数列，则

．参考答案：12.已知，则的最大值是

参考答案：略13.设函数的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，（），则实数的取值范围是

.参考答案：14.若a，b是任意非零的常数，对于函数有以下5个命题：①是的周期函数的充要条件是；②是的周期函数的充要条件是；③若是奇函数且是的周期函数，则的图形关于直线对称；④若关于直线对称，且，则是奇函数；⑤若关于点对称，关于直线对称，则是的周期函数．其中正确命题的序号为

．参考答案：略15.设一球的半径为，则该球的表面积、体积分别为______、_________参考答案：，16.设二项式的展开式中常数项为A，则A=

．参考答案：﹣10【考点】二项式系数的性质．【专题】排列组合．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=??（﹣1）r?=（﹣1）r??．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．17.直线过点，则该直线的倾斜角为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，(Ⅰ)求证：平面⊥平面(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；(Ⅲ)若动点在底面三角形上，二面角的大小为，求的最小值.参考答案：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC

由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面.……4分（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),

……5分∴设平面PBC的法向量，由得方程组：，取

……6分∴

.∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.

……8分（3）由题意平面PAC的法向量，设平面PAM的法向量为∵又因为.∴

取.，，此时……12分19.（本题满分14分）（理科学生做）已知函数．（1）当时，求满足的的取值范围；（2）若的定义域为R，又是奇函数，求的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．参考答案：（1）由题意，，化简得，所以（2）已知定义域为R，所以，又，所以；对任意可知因为，所以，所以因此在R上递减．20.设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案：考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．21.学校对甲、乙两个班级的同学进行了体能测验，成绩统计如下（每班50人）：（1）成绩不低于80分记为“优秀”.请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“成绩优秀”与所在教学班级有关？

成绩优秀成绩不优秀总计甲班

乙班

总计

（2）从两个班级的成绩在[50,60)的所有学生中任选2人，记事件A为“选出的2人中恰有1人来自甲班”，求事件A发生的概率P(A).附：P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024参考答案：解：（1）列联表如下：所以没有的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关.（2）成绩在的学生中，甲班有3人