贵州省遵义市余庆县松烟第二中学高三数学理期末试题含解析

贵州省遵义市余庆县松烟第二中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，若向量与向量的夹角为θ，则cosθ=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据条件可先求出的坐标，进而可求出，以及的值，这样即可求出cosθ的值，从而选出正确答案．【解答】解：，；∴，，；∴．故选C．2.若函数为奇函数，则的值为（

）A．2

B．1

C．-1

D．0参考答案：B3.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③如果相交；④若其中正确的命题是（

）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D4.已知双曲线，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：A5.已知，则下列结论不正确的是(

)A．a2<b2

B．ab<b2

C．

D．|a|+|b|>|a+b|参考答案：D略6.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 A．

B．

C．

D．

参考答案：D

：根据题意得：从而所以解得，因为需使，所以，从而，所以.故选：D．7.已知函数在实数集R上具有下列性质：①是偶函数，②，③当<3时，<0，则、、的大小关系为（

）A.>>

B.>>C.>>

D.>>参考答案：D8.等比数列{an}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32 B．64 C．128 D．256参考答案：B【考点】8G：等比数列的性质．【分析】数列{an}为等比数列，可得a182=a12a24，a242=a12a36，即可得出结论．【解答】解：∵数列{an}为等比数列，∴a182=a12a24，∵a12=4，a18=8，a12，a18，a24同号∴a24=16．∴由a242=a12a36，得：a36=64，故选：B．【点评】本题考查了等比数列的性质．在等比数列中，若m+n=p+q，m，n，p，q∈Z+，则aman=apaq．9.如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形．则该几何体的体积等于

A.28πcm3

B.14πcm3

C.7πcm3

D.56πcm3

参考答案：B试题分析：由三视图可得几何体是下底面为半径等于4的半圆面，上底面为半径等于1的半圆面，高等于4的圆台的一部分，因此该几何体的体积，故答案为B.考点：由三视图求体积.10.设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则b的取值范围为（

）A.(0,4) B.C. D.参考答案：C【分析】由题意可得且,解得的范围，可得的范围，由正弦定理求得由正弦定理可求得,根据的范围确定出范围即可.【详解】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若，，,，,由正弦定理得，即则b的取值范围为,故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在是增函数,则的取值范围是

参考答案：略12.已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1?a2…ak为正整数的k（k∈N*）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为．参考答案：2036【考点】数列的函数特性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1?a2?a3…ak=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．【解答】解：∵an=logn（n+1），∴由a1?a2…ak为整数得1?log23?log34…logk（k+1）=log2（k+1）为整数，设log2（k+1）=m，则k+1=2m，∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴区间[1，2015]内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案为：2036．【点评】本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．13.已知点，点A，B是圆x2+y2=2上的两个点，则∠APB的最大值为．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意知点P在不等式表示的平面区域内（包含边界）运动，当P位于圆x2+y2=2外时，若∠APB最大，则PA，PB所在直线与圆相切，且点P位于离圆心最近的H处；由此求出∠APB的最大值．【解答】解：由已知可得点P在不等式组表示的平面如图所示（包含边界）运动，易知点P位于圆x2+y2=2外时，∠APB最大时，当PA，PB所在直线与圆相切，且点P位于离圆心最近的H处；此时，圆心到直线x+y﹣4=0的距离为，所以在Rt△OAP中|OP|=2|OA|，所以，同理，此时．故答案为：．14.已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是____▲_______．参考答案：15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则边长b的等于

．参考答案：4【考点】正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】由已知条件利用正弦定理得ba=2cb，从而得到c=2，由此利用余弦定理能求出边长b的值．【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∵，∴ba=2cb，从而a=2c，又a=4，所以c=2，∴．故答案为：4．【点评】本题考查三角形的边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．16.等腰的顶角，，以为圆心，为半径作圆，为直径，则的最大值为__________参考答案：

知识点：向量的内积，解三角形

难度：417.三视图如右的几何体的体积为

参考答案：1

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1=0，曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）将曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线交于A，B两点，求线段AB的长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x2+y2求出直线以及曲线C的普通方程即可；（2）根据点到直线的距离公式求出AB求出弦心距，从而求出弦长即可．【解答】解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x2+y2，∴直线l的直角坐标方程为曲线C的直角坐标方程为x2+y2=16（4分）（2）由（1）得：圆心（0，0）到直线的距离为，∴AB的长|AB|=（10分）【点评】本题考查了求曲线的普通方程，考查点到直线的距离公式，是一道中档题．19.已知函数.(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；(Ⅱ)求的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围参考答案：解：(1)由已知，

……2分.故曲线在处切线的斜率为.

……………4分(2).

………………5分①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为.

………………6分②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………7分（3）由已知，转化为.

………………8分

……………9分由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)

……………10分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，………11分所以，解得.

………………12分20.已知函数的最大值为3，其中。（1）求m的值；（2）若，，，求证：参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．【详解】（1）∵，∴.∴当时，取得最大值.

∴.

（2）由（Ⅰ），得，.

∵，当且仅当时等号成立，∴.

令，.则在上单调递减.∴.

∴当时，.∴.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.21.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝．(1)求椭圆C1的方程；(2)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x－7y＋1＝0上，求直线AC的方程．参考答案：(1)设M(x1，y1)，∵F2(1,0)，|MF2|＝．由抛物线定义，x1＋1＝，∴x1＝，∵y＝4x1，∴y1＝．∴M，∵M点在C1上，∴＋＝1，又b2＝a2－1，∴9a4－37a2＋4＝0，∴a2＝4或a2＝<c2(舍去)．∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C1的方程为＋＝1.(2)∵直线BD的方程为7x－7y＋1＝0，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC的方程为y＝－x＋m，则?7x2－8mx＋4m2－12＝0，∵A，C在椭圆C1上，∴Δ>0，∴m2<7.∴－<m<．设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝．y1＋y2＝(－x1＋m)＋(－x