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广东省广州市金沙中学高三数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.函数,在区间上任取一点,则的概率为().A.
B.C.
D.参考答案:A2.已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2an=39(n∈N*),那么数列{an}的前50项和S50的最小值为()A.637 B.559 C.481+25 D.492+24参考答案:C【考点】8E:数列的求和;7F:基本不等式.【分析】由已知条件推导出a1=1,a3=39,a5=1,a7=39,…,a47=39,a49=1,a2a4=39,所以a2+a4,当且仅当时取等号,故当偶数项都是时,S50取最小值,由此能求出S50的最小值.【解答】解:∵各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2an=39(n∈N*),∴a1=1,a3=39,a5=1,a7=39,…,a47=39,a49=1,a2a4=39,∴a2+a4,当且仅当时取等号,∴当偶数项都是时,S50取最小值,∴(S50)min=12×(1+39)+1+25=481+25.故选:C.3.在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是(A)
(B)(C)
(D)参考答案:D4. 若,a=,则c=(A)a<b<c (B)b<c<a (C)c<a<b (D)c<b<a参考答案:A略5.设复数,,,则复数在复平面内所对应的点位于(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限参考答案:A略6.设为等差数列的前项和,若,公差,则k=A.8
B.7
C.6
D.5参考答案:D7.已知为第二象限角,是关于x的方程的两根,则的等于
A.
B.
C.
D.参考答案:【知识点】已知三角函数式的值,求另一个三角函数式的值.
C7A
解析:由已知得又为第二象限角,所以==,故选A.【思路点拨】由已知得,又为第二象限角,所以==.8.右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:C略9.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是(
)A.20π B. C.25π D.22π参考答案:B由三视图得,几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形,侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示,矩形ABCD中心为M,球心为O,F为BE中点,OG⊥AF.设OM=x,由题得在直角△OME中,,又MF=OG=1,AF=,,解(1)(2)得故选B.点睛:本题的难点在于作图找到关于R的方程,本题条件复杂,要通过两个三角形得到关于R的两个方程、(2),再解方程得到R的值.10.若,,则角的终边在
(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限参考答案:D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线的方程为(不同时为零),则下列命题正确的是______.(1)以方程的解为坐标的点都在直线上;(2)方程可以表示平面坐标系中的任意一条直线;(3)直线的一个法向量为;(4)直线的倾斜角为.参考答案:(1)、(2)、(3)略12.已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
个.
参考答案:213.已知,若单位向量与共线,则向量的坐标为
参考答案:
答案:
14.已知数列的通项公式为,其前
n项和为,则在数列中,有理数项的项数为________.参考答案:略15.已知函数(),若函数的图象在点处切线的倾斜角为,则
.参考答案:416.向量在向量方向上的投影为
.参考答案: 17.已知O是坐标原点,点A(-1,1)若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知分别是三角形的三个内角A,B,C的对边,.(1)求角A的大小;(2)求函数的值域.参考答案:(1)由题意得(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理得:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)即2sinBcosA=sinB,所以cosA=.A是三角形的内角,所以A=.
(2)因为函数y=sinB+sin(C-)=sinB+cosB=2sin(B+),而<B+<,所以函数y=2sin(B+)的值域(1,2].略19.已知椭圆的离心率为,F1,F2分别是它的左、右焦点,.(1)求椭圆E的方程;(2)过椭圆E的上顶点A作斜率为,的两条直线AB,AC,两直线分别与椭圆交于B,C两点,当时,直线BC是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由。参考答案:(1);(2)【分析】(1)由题意,,结合的关系即可求解。(2)设直线,,,联立方程可得,又,结合韦达定理可得,化简计算即可求解。【详解】(1)因为,所以,又,所以,椭圆的方程为;(2)因为,所以直线斜率存在设直线,,消理得,(*)又理得即所以(*)代入得整理的得,所以直线定点【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,直线恒过定点问题,意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平,属中档题。20.(本小题满分10分)已知圆C1的参数方程为为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)圆C1,C2是否相交?若相交,请求出公共弦长,若不相交,请说明理由.参考答案:21.(本小题满分14分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的面积.参考答案:解:(1)∵,∴.即.∴.
则,∴,因为则.
…………7分(2)又,由得,
…………14分22.已知函数(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数的值域为[0,+∞),求a的取值范围.参考答案:(1)增区间是,单调减区间是;(2)或【分析】(1)利用导数求出的单调区间以及,时的范围,即可得到函数的单调区间;(2)先利用有解求出的大致范围,再证明在该范围内即可。【详解】(1)当,,所以,由于,可得.当时,,是减函数;当时,,是增函数;因为当时,;当时,所以函数的单调增区间是,单调减区间是(2)由题意知必有解,即有解,所以,即直线与曲线有交点.则,令得和;令得和.所以和,为增函数;和,为减函数.,当时,恒成立;所以时,;当时,,所以时,;,即
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