广东省梅州市瑶上中学高一数学理月考试题含解析

广东省梅州市瑶上中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a＞0，a≠1，f（x）=x2﹣ax．当x∈（﹣1，1）时，均有f（x）＜，则实数a的取值范围是(

)A．（0，]∪[2，+∞） B．[，1）∪（1，2] C．（0，]∪[4，+∞） D．[，1）∪（1，4]参考答案：B【考点】指、对数不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可知，ax＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，令g（x）=ax，m（x）=x2﹣，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：若当x∈（﹣1，1）时，均有f（x）＜，即ax＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，令g（x）=ax，m（x）=x2﹣，由图象知：若0＜a＜1时，g（1）≥m（1），即a≥1﹣=，此时≤a＜1；当a＞1时，g（﹣1）≥m（1），即a﹣1≥1﹣=，此时a≤2，此时1＜a≤2．综上≤a＜1或1＜a≤2．故选：B．【点评】本题考查不等式组的解法，将不等式关系转化为函数的图象关系是解决本题的关键．，体现了数形结合和转化的数学思想．2.已知数列，它的第5项的值为

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D3.在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，，，，，则三棱锥P-ABC外接球的体积为(

)A.100π B. C.125π D.参考答案：B【分析】在三棱锥中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，所以球的体积为，故选B.【点睛】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.4.（5分）设A={x∈N|1≤x＜6}，则下列正确的是（） A． 6∈A B． 0∈A C． 3?A D． 3.5?a参考答案：D考点： 元素与集合关系的判断．专题： 计算题；集合．分析： 先化简集合A，再确定元素与集合的关系．解答： A={1，2，3，4，5}，故6?A，0?A，3∈A，3.5?A；故选D．点评： 本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．5.的值是(

)A． B． C． D．参考答案：A6.已知,则是的：A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A7.在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于（

）

A．13

B．26

C．8

D．162．参考答案：A略8.圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为（）A．6πB．5πC．3πD．π参考答案：C9.函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）?f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．10.A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①?a∥b②?a∥b③?α∥β④?α∥β⑤?α∥a⑥?α∥a其中正确的命题是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④参考答案：C【考点】LS：直线与平面平行的判定；LU：平面与平面平行的判定．【分析】根据平行公理可知①的真假，根据面面平行的判定定理可知④真假，对于②列举错的原因，错在a、b可能相交或异面，对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内，即可得到答案．【解答】解：根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b可能相交或异面．对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内．故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的面积为，则角=__________.参考答案：略12.已知幂函数的图象过，则＝________．参考答案：略13.设偶函数f(x)的定义域为[－5,5].当x∈[0，5]时,f(x)的图象如图，则不等式f(x)>0的解集为__________.

参考答案：(-2,0)∪(0,2)略14.已知函数g(x)=(x2－cosx)sin，对于[,]上的任意x1，x2，有如下条件：①；②|x1|＞x2；③x1＞|x2|；④．其中能使g（x1）＞g（x2）恒成立的条件序号是

．参考答案：③④【分析】说明函数f（x）的奇偶性，利用导数说明函数f（x）单调性，由以上两性质可得f（x）图象类似于开口向上的抛物线，得出那个x离y轴远，对应的函数值就大．【解答】解：∵g（x）=[（﹣x）2﹣cos（﹣x）]=[x2﹣cosx]=g（x），∴g（x）是偶函数，∴g（x）图象关于y轴对称，∵g′（x）=x+sinx＞0，x∈（0，]，∴g（x）在（0，]上是增函数，在[﹣，0）是减函数，故③x1＞|x2|；④时，g（x1）＞g（x2）恒成立，故答案为：③④．15.函数的定义域是

参考答案：16.直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是

．参考答案：17.已知集合，,则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如果a﹣5x＞ax+7（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．参考答案：

考点： 指、对数不等式的解法．专题： 计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析： 运用指数函数的单调性，对a讨论，分a＞1，0＜a＜1两种情况，得到一次不等式，解得即可．解答： ①当a＞1时，由a﹣5x＞ax+7，得﹣5x＞x+7解得x＜﹣；②当0＜a＜1时，由a﹣5x＞ax+7，得﹣5x＜x+7解得x＞﹣；综上所述：当a＞1时，x＜﹣；当0＜a＜1时，x＞﹣．点评： 本题考查指数不等式的解法，考查指数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．19.（满分13分）某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下表：运输工具途中速度（km/h）途中费用（元/km）装卸时间（h）装卸费用（元）汽车50821000火车100442000若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中损耗为300元/h，设A、B 两地距离为km（1）设采用汽车与火车运输的总费用分别为与，求与.（2）试根据A、B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好（即运输总费用最小）．（注：总费用＝途中费用＋装卸费用＋损耗费用）参考答案：由题意可知，用汽车运输的总支出为：

………3分用火车运输的总支出为：

………6分（1）由

得；（2）由

得;（3）由

得.

……………12分答：当A、B两地距离小于时，采用汽车运输好当A、B两地距离等于时，采用汽车或火车都一样当A、B两地距离大于时，采用火车运输好

………………13分20.已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数).(1)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程；(2)已知,圆C上任意一点M,求面积的最大值.参考答案：（1）；（2）.分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程；（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【详解】(1)圆的参数方程为(为参数).所以普通方程为,∴圆的极坐标方程：.(2)设点,则点M到直线的距离为,的面积,所以面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．21.（10分）如图所示，某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD，其中AB=40米，BC=30米，根据小区业主建议，需将其扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ，EF长为y米．（1）将y表示成θ的函数；（2）求矩形区域EFGH的面积的最大值．参考答案：考点： 三角函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用．专题： 三角函数的求值．分析： （1）由几何图形结合解直角三角形知识将y表示成θ的函数；（2）直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于θ的表达式，结合三角函数的化简与求值得答案．解答： （1）如图，由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°﹣θ，再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．由AB=40（米），BC=30（米），四边形ABCD为矩形，得DC=40（米），因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；（2）+2500sinθcosθ=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．因此θ=45°时，SEFGH取到最大值，最大值为2450．因此，矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米．点评： 本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了三角函数的化简与求值，正确将y表示成θ的函数是解答该题的关键，是中档题．22.已知的三内角、、所对的边分别是，，，且，，成等比数列。（1）若，求的值；（2）求角B的最大值，并判断此时的形状。参考答案：解：（1）sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac=2a2，即