山东省烟台市莱州土山中学高三数学文联考试题含解析

山东省烟台市莱州土山中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，双曲线的中心在坐标原点O，M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点，A是双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，直线AM与FN相交于点P，若∠APF是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1+，+∞） C．（0，） D．（，+∞）参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1，求出点P的坐标，再根据∠APF是锐角，则＜0，得到b2＜ac，继而得到e2﹣e﹣1＜0，解得即可．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1，由题意可得A（a，0），F（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），故直线AF的方程为y+b=x，直线NF的方程为y﹣b=﹣x，联立方程组，解得x=，y=，即P（，），∴=（，），=（，），∵∠APF是锐角，∴=?+?＜0，∴b2＜ac，∴c2﹣a2＜ac∴e﹣＜1，即e2﹣e﹣1＜0，解得e＞，e＜（舍去），故选：A2.在区间[0,2]上任取两个数且，则使的概率是（ ）A．

B．

C.

D．参考答案：C为几何概型，测度为面积，概率是，选C.

3.某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为（）A.24

B.80

C.64

D.240参考答案：B略4.设为等比数列的前项和，已知，，则公比 （

） A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B略5.设，，，则，，的大小关系为（

）．

A． B． C． D．参考答案：A解：∵，，，∴．

故选．6.已知，点，，，则△ABC的面积的取值范围是（

）A.(0,1) B. C. D.参考答案：D【分析】可得点都在曲线上，作出图形，由点的坐标表示出△ABC的面积，再由函数的性质可求出面积的取值范围.【详解】如图，点，，都在曲线上，分别过点作轴的垂线，垂足分别为,易得，，，.设的面积为,则又，则随的增大而减小，，所以，即△ABC面积的取值范围为.故选D.【点睛】本题综合考查图形的面积，函数的最值.考查综合利用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的能力.7.已知，且，则的值为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C8.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（

）A．－7

B．－

C．7

D．参考答案：A9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．

B．1C．3

D．6参考答案：C10.等差数列中，

（

）

A．24

B．22

C．20

D．-8参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是两个单位向量，若向量，则向量与的夹角是________.参考答案：略12.如图，正四棱柱的体积为27，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为

．参考答案：9连接，易得，又，所以；易得13.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.参考答案：略14.sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°=．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值化简所求即可得解．【解答】解：sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°=sin18°?sin78°﹣cos?cos78°=sin18°?sin78°+cos18°?cos78°=cos（78°﹣18°）=cos60°=．故答案为：．15.是虚数单位，则等于

.

参考答案：答案：

16.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________．参考答案：144略17.函数的定义域为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值，从而得到f（2）的值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k=k，即a=1，…∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2

…（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，…令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e

…u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上①当u=≤0即t时，y最小=t2﹣t

…②当u=≥e即t时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t

…③当0＜＜e即时，y最小=y=﹣

…（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增

…∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），…∴由f（x）的单调性知

0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）

从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．…②当m≤0时，，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符…③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．…（13分）∴综合①、②、③得m∈（0，1）…（14分）说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．19.已知（为常数）．（1）求的递增区间；（2）若时，的最大值为4，求的值（3）求出使取最大值时的集合．

参考答案：（1）由，所以所以，递增区间为．

（2）在的最大值为，，所以．

（3）由，得，所以．

20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上．（1）求C的大小；（2）若c=7，求△ABC的周长的取值范围．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）把点（a，b）代入直线方程，利用正弦定理进行化简后求出cosC的值，由内角的范围即可求出C；（2）利用余弦定理和基本不等式化简，求出a+b的范围，再由三边的关系求出△ABC周长的取值范围．解答： 解：（1）由题意得，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上，∴a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，根据正弦定理得，a（a﹣b）+b2=c2，整理得，ab=a2+b2﹣c2，则cosC=，由0＜C＜π得，C=；（2）由（1）和余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab则49=（a+b）2﹣3ab≥，∴（a+b）2≤4×49，则a+b≤14（当且仅当a=b时等号成立），∵a+b＞7，c=7，∴△ABC的周长的取值范围是（14，21]．点评：本题考查了正弦、余弦定理，三角形三边关系，以及基本不等式的综合应用，属于中档题．21..如图，四棱锥中，是等边三角形，，分别为的中点.（1）证明:平面；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（1）取的中点，连接，∵为的中点，∴，又∵平面∵，同理平面，又，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）(法—）∵平面，∴，以为坐标原点，以分别为轴的正方向，过垂直于平面的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，

在中，，∴，∴∴，设平面的法向量为，∴∴，取，∴，即，设直线与平面所成角为，∴。∴直线与平面所成角的正弦值为.(法二）连接，∴，为的中