第28题通性通法为根基设参变换有妙招 2024年高中数学三轮复习之一题多解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第28题通性通法为根基，设参变换有妙招已知椭圆及其上的点.若直线交椭圆于，两点，直线，的斜率为、，且，2，成等比数列，求面积的最大值.在直线与圆锥曲线位置关系中，最值的研究是一个重点，也是难点，本例题干看似“简单”，但解起来却难度颇高，、是两个参变量，虽然两者由等比数列联系着，得到的是一个公式关系，但若直线若设为，又引进和两个参数.面积可由三角形面积公式（高为原点到的距离）表示，但之长不易求，高也由多参数表达，运算量大.这里提供三种思路，其中思路一是.常规解法：设直线的方程为.引进双参数，通过联立方程组消元运用方程理论求解.这显然是一种通性通法，运算量大，但容易想到，由基本不等式求最值也很自然.当然，斜率不存在时的讨论不应遗漏.（1）若直线的斜率存在，可设为，直线方程为，，，由得.从而.由韦达定理得，，∵，2，成等差数列，∴，∴，即，①∵，②，③，④将②③④式代入①式，整理得，得，即，∴或.若，则直线的方程为恒过点，舍去；若，则直线的方程为.∴，即.又∵原点到直线的距离为.∴，令，则，当且仅当时，取等号.（2）若直线的斜率不存在，设，，.∴，即，又∵点在椭圆上，则，∴，即，∴，与点重合（舍去）.综上，的面积最大值是2.（2024·全国·模拟预测）1．已知双曲线E：的一条渐近线为，左顶点为A，右焦点为，点B，C是双曲线E的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线l：交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆恰过点F．(1)求双曲线E的标准方程．(2)求面积的最小值．在直线与圆锥曲线位置关系中，最值的研究是一个重点，也是难点，本例题干看似“简单”，但解起来却难度颇高，、是两个参变量，虽然两者由等比数列联系着，得到的是一个公式关系，但若直线若设为，又引进和两个参数.面积可由三角形面积公式（高为原点到的距离）表示，但之长不易求，高也由多参数表达，运算量大.这里提供三种思路，其中思路二是.椭圆化圆，转化为单位圆中的原点为顶点的三角形面积问题.解题过程简捷，但不易想到此法.即令则椭圆方程变为.（妙思巧解：椭圆化圆，化繁为简）令则椭圆方程变为.点，转化为，，则，.∵.当且仅当时，取等号.以下验证.不妨设，∵，∴，即.当或时，成立，∴.（23-24高二上·湖北·期中）2．已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为．在直线与圆锥曲线位置关系中，最值的研究是一个重点，也是难点，本例题干看似“简单”，但解起来却难度颇高，、是两个参变量，虽然两者由等比数列联系着，得到的是一个公式关系，但若直线若设为，又引进和两个参数.面积可由三角形面积公式（高为原点到的距离）表示，但之长不易求，高也由多参数表达，运算量大.这里提供三种思路，其中思路三是.利用椭圆的参数方程和三角形面积计算的“行列式”形式，通过三角恒等变换求解，解法新颖.设，，用行列式表示的面积.已知，设，.∵，.∴，当且仅当时，.以下验证可以取得.取，则，∵，.∴，①∴，即或时①式成立.故.3．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．(1)若直线垂直于轴，求；(2)当时，在轴上方时，求、的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【点评】求解一个数学问题，一般情况下总是从常规解法考虑，就是我们常讲的通性通法，但若能找到一种快捷的解法则更好.如何才能找到简捷方便的求三角形面积最值的最优方法呢？一是在解析几何内部寻找，单位圆是一个非常好的解题载体，通过换元使椭圆化圆，把椭圆中三角形面积最大问题转化为单位圆中三角形面积的最大值问题.而在单位圆中以原点为顶点的三角形面积当与垂直时取最大值.几何关系明确，图形直观，解题过程一定简单多了.这是通过解思结合，寻找到的一种妙解，二是突破解析几何的范畴，从外部去寻找简捷的解法，比如可以把解析几何问题与三角函数联系起来，即椭圆上的点用椭圆的参数方程形式表示，顺势推出三角形面积计算的“行列式”形式运用三角变换求解，又比如把三角形的面积公式与平面向量联系起来，得到又一种巧妙的解法，读者可以一试身手！所以我们讲解题首先要审题，而审题不应简单地、孤立地去寻找条件和结论之间的联系.而要从知识体系的角度寻找联系，理顺关系，才能在新的关系下按图索骥，找到更为简捷的解题途径.4．已知、是椭圆上的两点，且满足，为的中点，射线交椭圆于点，，则正实数的值为.（2024高三·全国·专题练习）5．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，则四边形面积的最小值为．

（2023·全国·高三对口高考）6．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点距离为，若以k为斜率的直线l与椭圆C相交于两个不同的点A、B．(1)求椭圆C的方程；(2)设坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值；(3)若线段的垂直平分线过点，求k的取值范围．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）7．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，.若，求的最大值.8．已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值.（2023秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）9．已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.(1)求的方程；(2)设点是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，求的内切圆半径的范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)9【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）由题意可得直线l：是线段AF的垂直平分线，进而可得以线段MN为直径的圆恰过点A，故，设直线BC：，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出，再求出面积的表达式，进而可得出答案.【详解】（1）由题意可知，解得，∴双曲线E的标准方程为；（2）由（1）知，，则直线l：是线段AF的垂直平分线，∵以线段MN为直径的圆恰过点F，∴以线段MN为直径的圆恰过点A，∴，故，设直线BC：，，，由双曲线的对称性可得B，C必在x轴两侧，则，故，将代入，得，则，①，②，由B，C必在x轴两侧，可得，因为，所以，所以，所以，③，将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或，∴直线BC：过定点F，∴，令，则，由双勾函数的性质可得在上单调递减，∴，∴，当且仅当，即时，取等号，所以面积的最小值为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.2．1【分析】根据新定义求得仿射变换后圆的方程及点坐标，求得的面积最大值，结合定义即可求出的面积的最大值.【详解】，，，有仿射变换，椭圆方程变换为：，变换为，如图所示：

所以：而：，所以：，即的最大面积为1．故答案为：1.3．(1)(2)，(3)存在，或【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；（2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求得的坐标；（3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结合，得，再由直线的方程：，得纵坐标，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的关系，得，解得值，从而得到直线方程．【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得，则，，所以；（2）解：设，，，，所以，，又在椭圆上，满足，即，，解得，即．所以直线，联立，解得或，所以；（3）设，，，，直线，则，．联立，得．则，．由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标．若，即，，，，代入根与系数的关系，得，解得．存在直线或满足题意．【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法：（1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离；（2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.4．或【分析】法一：设，，利用已知可得，进而求得点的坐标，进而利用点在椭圆上，可求得，可求的值；法二：设直线：，与椭圆方程联立，求得点的坐标，进而利用点在椭圆上，可得，利用已知可得，可求的值.【详解】法一：设，，由得.∴.∵，，∴.代入，得.∴，由，得.若，则，即，若，则，即，综上，或.法二：设直线：，联立得.则，在椭圆上，所以化简可得，∴，即，即，解得或，故或.故答案为：或.5．【分析】分类讨论直线的斜率存在与否，当斜率存在时，联立直线和椭圆方程，根据弦长公式可求，进而根据基本等式即可求解面积的最小值，当无斜率时，可求面积为4，进而可求最小值.【详解】因为椭圆，所以，结合题图，当直线斜率k存在且不为0时，设方程为：，联立，即，设，则，由弦长公式可得，因为，所以，进而可得，所以四边形的面积为,因为，，当且仅当时等号成立，当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为所以四边形的面积取得最小值为．故答案为：.6．(1)(2)(3)【分析】（1）由离心率、椭圆参数关系列方程求标准方程；（2）设直线，由点线距离得，联立直线和椭圆，应用韦达定理，注意，求出，根据面积公式得到面积关于的关系式，最后应用基本不等式求最值，注意取值条件.（3）设中点为，结合（2）韦达公式，结合垂直关系、两点斜率公式列方程，及，求斜率范围.【详解】（1）由题设，则，故椭圆C的方程.（2）设直线，则，故，联立椭圆方程，则，，即，所以，，则，所以面积，当且仅当，即，时等号成立，所以面积最大值为.

（3）设中点为，由（2）知：，，所以，垂直平分线过，则，整理得，所以，由（2）知：，所以，则，即.7．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的几何性质，建立方程组，可得答案；（2）分情况设直线的方程，联立方程，写出韦达定理，根据斜率之间的关系，求得直线方程的参数，整理所求值的函数，利用导数，求得最值.【详解】（1）

当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值，结合及，解得，故椭圆C的标准方程为.（2）

设点，若直线PQ的斜率为零，由对称性知，，则，，，不合题意.设直线PQ的方程为，由于直线PQ不过椭圆C的左、右顶点，则联立得，由可得，，，所以解得即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点.由韦达定理可得，由平面几何知识，所以，设，则，当时，，故在单调增，因为，所以，因此，的最大值为.8．（1）详见解析（2）【详解】（1）直线，点到的距离.，所以.

（2）设，则.设，.由，得.同理.由（1），，整理得.9．(1)(2).【分析】（1）由题意得，解方程组可求出，从而可得椭圆的方程；（2）设的方程为，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点三点共线且斜率一定存在，可求得，得直线过定点，且为椭圆右焦点，所求内切圆半径为，则，化简换元后可求出其范围.【详解】（1）依题意，解得，所以的方程为.（2）因为不与轴重合，所